2.2 一元二次方程的解法（4）公式法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测

试卷更新日期：2026-03-03 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 已知方程x²-6x+9=0，那么这个方程（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、有一个实数根

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2. 若非零实数b，c满足b²=4c，则关于x的一元二次方程x²+bx+c=0的两根之差必为（）

A、-b B、c C、b+c D、0

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3. 关于x的一元二次方程x²+x-2=m，下列说法正确的是（）

A、当m=0时，此方程有两个相等的实数根 B、当m<0时，此方程没有实数根 C、当m>0时，此方程有两个不相等的实数根 D、此方程的根的情况与m的值无关

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程kx²+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A、k>-1 B、k≥-1 C、k>-1且k≠0 D、k≥-1且k≠0

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5. 在用求根公式 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 $x = \frac{3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \times 2 \times (- 1)}}{2 \times 2}$ ，则他求解的一元二次方程是（）

A、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ B、 $2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ C、 $- x^{2} - 3 x + 2 = 0$ D、 $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 2 k x + 4 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为( )

A、0 或 4
B、4 或 8
C、0
D、4

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7. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 1$ 中，判别式 $b^{2} - 4 a c$ 的值为( )

A、5
B、13
C、-13
D、-5

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ，其中正确的（）

A、只有①② B、只有①②④ C、①②③④ D、只有①②③

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二、填空题（每空3分，共18分）

9. 已知一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两根分别为m，n，则 $3 m + 3 n - m n$ 的值是．

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10. 关于x 的一元二次方程（k-1）x²-4x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的最大整数值是．

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12. 若关于x的一元二次方程kx²-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（写出一个即可）.

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13. 定义新运算： $a * b = a^{2} + 4 a b + 1$ ，例如： $2 * 3 = 2^{2} + 4 \times 2 \times 3 + 1 = 29$ ．若方程 $x * 1 = m$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为．

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14. 定义：对于任意实数 $a ， b ， c ， d$ ，有 $[a ， b] * [c ， d] = a c - b d$ ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： $[3 ， 2] * [5 ， 1] = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 1$ 对已知类于 $x$ 的方程 $[x ， m] * [x + 5 ， 5] = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题（共4题，共38分）

15. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$

(2)、 ${(3 x + 1)}^{2} = 2 (3 x + 1)$

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16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 4) x^{2} - (2 m - 1) x + m = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m$ 取满足要求的最小正整数时，求方程的解．

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17. 设一元二次方程x²+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2，c= 1；②b=3，c= 1；③b=3，c=-1；④b=2，c=2．

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18. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 一定为完全平方数．现规定 $F (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ，的两根均为整数，其“快乐数” $F (1, - 3, - 4) = \frac{4 \times 1 \times (- 4) - {(- 3)}^{2}}{4 \times 1} = - \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程” $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“快乐数” $F (p, q, r)$ ，且满足 $r \cdot F (a, b, c) = c \cdot F (p, q, r)$ ，则称 $F (a, b, c)$ 与 $F (p, q, r)$ 互为“开心数”．

(1)、“快乐方程” $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的“快乐数”为________；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0$ （ $m$ 为整数，且 $1 < m < 6$ ）是“快乐方程”，求 $m$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0$ 与 $x^{2} - (n + 2) x + 2 n = 0$ （ $m$ 、 $n$ 均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求 $n$ 的值．

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