相关试卷

1、如图，某社区计划将一块长为 $20 m$ 、宽 $10 m$ 的矩形空地改造成居民共享菜园，为方便居民照料和采摘，需要在菜园内部修建宽度相同的步道（图中阴影部分）．已知步道将菜园分成9个面积均为 $16 m^{2}$ 的矩形种植区，请求出步道的宽度．

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2、某博物馆为增强参观趣味性，推出了“文物盲盒”抽奖活动，每个盲盒中装有一件仿制文物纪念品，共有四种类型：青铜器、陶瓷、书画、玉器，且每种类型出现的可能性相等，小华和小明各购买了一个盲盒．

(1)、小华抽到“青铜器”的概率是________；

(2)、求小华和小明抽到同一种纪念品的概率．

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3、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ A B C$ 的顶点都在格点上．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于原点对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并求旋转过程中线段 $A C$ 扫过的面积．

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4、已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、补全表格，并画出二次函数的图象；
x
…

…
y
…

…

(2)、观察该图象，直接回答以下问题：
①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围；
②当 $y < 0$ 时，写出x的取值范围．

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5、在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x = b^{2} (a > 0, b > 0)$ 的图解法是：如图，作 $Rt △ A B C$ ，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = \frac{a}{2}$ ， $A C = b$ ，在斜边上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，则 $A D$ 的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x = 16 (a > 0)$ 的图解，若 $\frac{B D}{A D} = \frac{3}{2}$ ，则a的值为．

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6、在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为 $3 m$ ，水池边与跳台支柱之间的宽度为 $1 m$ （见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面 $10 m$ ，运动过程中的最高点B距离水面 $11.25 m$ ，此时与点A的水平距离为 $0.5 m$ ．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为 $m$ ．

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7、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = A D$ ．点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上，若 $∠ E A D = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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8、若事件A为必然事件，则事件A发生的概率 $P (A) =$ ．

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9、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象与 $x$ 轴的一个交点 $A$ 位于 $(- 2, 0)$ 和 $(- 1, 0)$ 之间，顶点 $P$ 为 $(1, n)$ ．下列结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $3 b > 2 c$ ；④若该二次函数的图象与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$ ，且 $△ P A B$ 是等边三角形，则 $n = - \frac{3}{a}$ ．其中正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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10、如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点D是边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ B A E$ ，连接 $E D$ ．已知 $B D = 7$ ， $△ A E D$ 的周长是15，则 $△ A B C$ 的边长是（）

A、4 B、7 C、8 D、10

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11、如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，已知这个正六边形的边心距 $O M$ 的长为3，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、6

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12、数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）

A、白球 B、红球 C、黄球 D、黑球

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13、圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰兼隔断，既好看又实用，还带着浓浓的中式韵味．如图是一款圆形拱门屏风的示意图，其中拱门最下端 $A B$ 在地面上， $C$ 为 $A B$ 的中点， $D$ 为拱门最高点，线段 $C D$ 经过拱门所在圆的圆心 $O$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $1 m$ ， $C D = 1.8 m$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、 $0.6 m$ B、 $0.8 m$ C、 $1 m$ D、 $1.2 m$

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14、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、下列数学符号是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下：
【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示．
（1）在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $B E$ ，若 $B E = B C$ ，过 $C$ 作 $C F ⊥ B E$ 交 $B E$ 于点 $F ， S_{矩形 A B C D} = 20$ ．同学们猜想 $B E \cdot C F$ 是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明．
【深入探究】同学们分组进行探究， $A$ 组选用了菱形进行探究，如图2所示．
（2）在菱形 $A B C D$ 中，过 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $\frac{A F}{A E} = \frac{1}{3}$ ．
①求证： $△ A F E ∽ △ B E C$ ；
②若 $S_{菱形 A B C D} = 24$ 时，求 $E F \cdot B C$ 的值．
【拓展提升】 $B$ 组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决．
（3）在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 在边 $C D$ 上，且 $C E = 2$ ，点 $F$ 为边 $B C$ 上一点，连接 $E F$ ，过 $E$ 作 $E G ⊥ E F$ 交平行四边形 $A B C D$ 的边于点 $G$ ，若 $E F \cdot E G = 7 \sqrt{3}$ 时，请直接写出线段 $A G$ 的长．

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17、计算： $a^{2} \cdot {(3 a)}^{2} =$ ．

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18、如图，点 $A$ ， $B$ ， $O$ 分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量 $∠ A O B = 65 °$ ，公园在学校的北偏东 $27 °$ 方向，则实践基地在学校的（）方向．

A、南偏东 $38 °$ B、南偏西 $38 °$ C、北偏东 $38 °$ D、北偏西 $38 °$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，若 $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ D O E$ 与 $△ B O C$ 的面积之比为．

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20、综合与实践探究
【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ．
【初步探究】
（1）小鸣将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，连接 $B D 、 C E$ 后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证： $B D = C E$ ，且 $B D ⊥ C E$ ；
【深入探究】
（2）若 $∠ A D B = 90 °$ ， $O$ 点为 $B C$ 的中点，旋转过程中，当点 $D 、 E 、 O$ 在一条直线上时，如图②，求证： $O E = O D + \sqrt{2} B D$ ．

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