相关试卷

1、如图所示，把 $△ A B C$ 置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：

(1)、画出 $△ A B C$ 绕着原点O逆时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{_{1}}$ ；

(2)、在（1）的基础上求点C经过的路径长．

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2、已知 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} \neq 0$ ，求下列各式的值．

(1)、 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、 $\frac{2 a - b}{a + 2 b}$ ．

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3、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} < 4 a c$ ；③ $a - b + c < 0$ ；④ $a + b > m (a m + b) (m \neq 1)$ ；⑤若方程 $|a x^{2} + b x + c| = 1$ 有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4、将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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5、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ A O C = 110 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $120 °$ C、 $115 °$ D、 $130 °$

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6、若 $A (- \frac{13}{4}, y_{1})$ 、 $B (- 1, y_{2})$ 、 $C (0, y_{3})$ 为二次函数 $y = - {(x + 1)}^{2} + c$ 的图象上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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7、已知 $⊙ O$ 的半径是 $3 cm$ ， $O A = 4 cm$ ， P是线段 $O A$ 的中点，则点P与 $⊙ O$ 的位置关系是（　　）

A、点P在 $⊙ O$ 内 B、点P在 $⊙ O$ 上 C、点P在 $⊙ O$ 外 D、无法确定

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8、【探索发现】如图1，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线 $D E$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ．过 $B$ 作 $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $△ B E C ≌ △ C D A$ ，我们称这种全等模型为“ $k$ 型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 $y = k x + 6 (k \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点．

(1)、如图2，当 $k = - \frac{3}{4}$ 时，在第一象限构造等腰直角 $△ A B E$ ， $∠ A B E = 90 °$ ；
①直接写出 $O A =$ ， $O B =$ ；
②点 $E$ 的坐标， $△ A B E$ 的面积；

(2)、如图3，当 $k$ 的取值变化，点 $A$ 随之在 $x$ 轴负半轴上运动时，在 $y$ 轴左侧过点 $B$ 作 $B N ⊥ A B$ ，并且 $B N = A B$ ，连接 $O N$ ，问 $△ O B N$ 的面积是否发生变化？若不变，求出 $△ O B N$ 的面积；若变，请说明理由；

(3)、【拓展应用】如图4，当 $k = - \frac{3}{2}$ 时，直线 $l$ ： $y = - 4$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $P (n, - 4)$ 、 $Q$ 分别是直线 $l$ 和直线 $A B$ 上的动点，点 $C$ 在 $x$ 轴上的坐标为 $(10, 0)$ ，当 $△ P Q C$ 是以 $C Q$ 为斜边的等腰直角三角形时，点 $Q$ 的坐标是______（直接写出答案即可）．

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9、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为 $y_{1}$ 千米，出租车离甲地的距离为 $y_{2}$ 千米．两车行驶的时间为 $x$ 小时， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示：

(1)、根据图象，直接写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、当 $x$ 为何值时，两车相遇？

(3)、当 $x$ 为何值时，两车相距280千米？

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10、先阅读，再解答．由 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} - 1$ 的有理化因式是______；化简 $\frac{3}{3 - \sqrt{6}} =$ ______；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ______；

(3)、比较 $\sqrt{2023} - \sqrt{2022}$ 与 $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ 的大小，并说明理由．

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11、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (0, 2), B (2, - 2), C (4, - 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $C_{1}$ 的坐标为______；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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12、解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} = 64$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 4 x - y = 30 \\ x - y = 9 \end{matrix}$ ．

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13、如图，将对角线 $B D$ 长为 $16 \sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使点B落在 $D C$ 边的中点 $Q$ 处，点 $A$ 落在 $P$ 处，折痕为 $E F$ ．连接 $E Q$ ，则 $E Q$ 的长为．

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14、一个正数的两个平方根分别是 $a - 1$ 和 $5 - 2 a$ ，则 $a =$ ．

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15、如图，两个不同的一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = b x + a$ 的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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16、下列不是二元一次方程组的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \\ x - y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 6 \\ 2 x + y = 4 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = y - 1 \\ x + y = 1 \end{array}$

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17、如图，以直角三角形的三边为边长作三个正方形，字母B所代表的正方形的面积是（）

A、12 B、13 C、144 D、194

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18、下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ C、 $\sqrt{0.3}$ D、 $\sqrt{12}$

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19、在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将 $x^{2} - 9$ 因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将 $x^{3} - x$ 因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（）

A、141414 B、141315 C、131413 D、151415

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20、【材料：学习理解】
定义1：在平面直角坐标系中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 到点 $B (x_{2}, y_{2})$ 的“纵横值”定义为： $D (A, B) = x_{1} - x_{2} + y_{1} - y_{2}$ ．例如： $A (1, 1)$ 到 $B (2, 3)$ 的“纵横值” $D (A, B) = 1 - 2 + 1 - 3 = - 3$ ．
定义2：在平面直角坐标系中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 到射线（或线段） $l$ 的“纵横值” $D (A, l)$ 定义为：点 $A$ 到 $l$ 上所有的“纵横值”的最小值，此时 $l$ 上的对应点称为点 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”．例：求 $A (1, 1)$ 到射线 $l : y = x + 2 (x \leq 5)$ 的“纵横值” $D (A, l)$ 及 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”坐标．
分析：射线 $l$ 上任一点 $P$ 的坐标可表示为 $P (x, x + 2) (x \leq 5)$ ，则 $D (A, P) = 1 - x + 1 - (x + 2) = - 2 x$ ．结合正比例函数的图象可知，当 $x = 5$ 时， $D (A, P)$ 的最小值为 $- 10$ ，即“纵横值” $D (A, l) = - 10$ ，此时 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”为 $(5, 7)$ ．
【任务1：特值感悟】若 $A$ 坐标为 $(- 1, 2)$ ，
① $A$ 到 $B (4, 6)$ 的“纵横值” $D (A, B) =$                （直接写出）；
②求 $A$ 到线段 $l : y = - 2 x - 2 (- 1 \leq x \leq 1)$ 的“纵横值”及 $A$ 在 $l$ 上的“纵横点”坐标（写过程）；
【任务2：拓展应用】若 $A (- 1, - 3)$ ， $B (m, n)$ ，且 $D (A, B) = D (B, A)$ ，则 $n$ 与 $m$ 的关系式为：               （直接写出）；
【任务3：能力提升】若点 $P$ 在某条线段上的“纵横点”坐标为 $(2, - 6)$ ，相应的“纵横值”是8，点 $Q$ 在直线 $a : y = x + 5$ 上，
①所有满足条件的点 $P$ 和直线 $a$ 以及 $x$ 轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；
②若 $D (P, Q) = D (Q, P)$ ，过点 $Q$ 的直线 $b$ 将任务3的①中封闭图形的面积分成 $1 : 2$ 两部分，直接写出直线 $b$ 的表达式                ．

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