浙教版数学八年级下册 2.3 一元二次方程根与系数的关系三阶训练

试卷更新日期：2026-03-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 关于x的方程x²+2(m-1)x+m²-m=0有两个实数根a，β，且α²+β²=12，m的值为（）

A、-1 B、-4 C、-4或1 D、-1或4

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2. 关于x的方程x²+4n（x+1）-8n-1=0的两个实数根分别为x₁ ， x₂ ，且x₁-x₂=10，则n的值为（）

A、2或3 B、3或-2 C、-3或2 D、-3或-2

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3. 设直角三角的两条直角边 $a$ ， $b$ 是方程 $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 的两个根，则该直角三角形的斜边为( )

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 中，a、b、c满足 $a + b + c = 0$ 和 $a - b + c = 0$ ，则方程的根是（）

A、1，0 B、 $- 1, 0$ C、 $1, - 1$ D、无法确定

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5. 已知 $m$ ， $n$ 是不为0的实数，且 $m \neq n$ ，若 $m + \frac{1}{m} = 5$ ， $n + \frac{1}{n} = 5$ ，则 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值为（）

A、23 B、15 C、10 D、5

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 m - 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) - 2 x_{1} x_{2} = 17$ ，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、2或8 C、6 D、2或6

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7. 关于 $x$ 的方程 $3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$ 的根的情况，下列结论中正确的是（）

A、两个正根 B、两个负根 C、一个正根，一个负根 D、无实数根

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8. 二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为1和5，则一次函数 $y = b x + c$ 不经过第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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9. 甲、乙两名同学解关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ ，甲看错了一次项系数，解得两根为 5 和 3 ，乙看错了常数项，解得两根为 3 和 4 ，则 $p ， q$ 的值分别为（）

A、7，15 B、 $- 7 ， 15$ C、 $7 ， - 15$ D、 $- 7 ， - 15$

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10. 已知方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $\pm α ， x^{2} + d x + e = 0$ 的两个根是 $\pm β . 当 x = β$ 时， $x^{2} + b x + c$ 的值记作 $y_{1}$ ；当 $x = α$ 时， $x^{2} + d x + e$ 的值记作 $y_{2} .$ 则下列结论一定成立的是( )

A、 $y_{1} + y_{2} = 0$ B、 $y_{1} - y_{2} = 0$ C、 $y_{1} \cdot y_{2} = 1$ D、 $y_{1} - y_{2} = 1$

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二、填空题

11. 如果m、n是两个不相等的实数，且满足， $m^{2} - 2 m = 1$ ， $n^{2} - 2 n = 1$ ，那么代数式 $2 m^{2} + 4 n^{2} - 4 n + 2015 =$ .

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12. 小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则方程可化为 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，将等式左边展开后可得 $a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} = 0$ ，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系．
小明接着思考，那么若一元三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 有三个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？
请你帮助小明解决问题：若方程 $2 x^{3} + x^{2} - 7 x - 6 = 0$ 的三个实数根为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则 $\frac{1}{α β} + \frac{1}{β γ} + \frac{1}{α γ}$ 的值为．

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13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 m - 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．实数 $m$ 满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 1}$ ，则实数 $m$ 的值为．

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14. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 3 m + 3 = 0$ ，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数 $m$ 的值为。

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15. 若α，β是方程x²+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α²+6α+2β+5的值为.

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三、解答题

16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m - 3) x - m = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两实根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7$ ，求m的值．

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17. 已知方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，那么 $x_{1} + x_{2} = - p$ ， $x_{1} x_{2} = q$ ，反过来，如果 $x_{1} + x_{2} = - p$ ， $x_{1} x_{2} = q$ ，那么以 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为两根的一元二次方程是 $x^{2} + p x + q = 0$ .请根据以上结论，解决下列问题：

(1)、已知关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0 (n \neq 0)$ ，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.

(2)、已知a，b满足 $a^{2} - 15 a - 5 = 0$ ， $b^{2} - 15 b - 5 = 0$ ，求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值.

(3)、已知a，b，c均为实数，且 $a + b + c = 0$ ， $a b c = 16$ ，求正数c的最小值.

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浙教版数学八年级下册 2.3 一元二次方程根与系数的关系 三阶训练

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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