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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 13 5^{\circ},$ 点D，E分别为边 BC，AC的中点，连接DE，若△ABC的 $△ A B C$ 面积为 $4 \sqrt{2},$ 求 DE 的长.

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2、如图，在 Rt△ABC中， $R t △ A B C$ $∠ B = 9 0^{\circ}, ∠ C = 1 5^{\circ},$ 若AB=2，求 BC的长.

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3、如图，有一海面观测点C，某时刻观察到距离观测点C的30海里处有一渔船A正在向正南方向行驶，经过一段时间渔船到达南偏东 $3 0^{\circ}$ °的海面 B处，观测员测得A，B两点与观测点 C 的夹角 $∠ A C B =$ $10 5^{\circ},$ 求此时海面 B 距观测点 C 的距离.(结果保留根号)

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 3 0^{\circ}, A B = 5, B C = \sqrt{3},$ 求AC 的长.

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5、在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD 为∠BAC平分线交BC 于点 D.

(1)、如图①，E为AC边上一点，连接ED，已知∠AED+∠B=180°，求证：DB=DE；

(2)、如图②，△ABC的外角∠CBP 的平分线 BF与AD 延长线交于点 F，连接CF，求∠BCF 的度数.

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6、如图，在△ABC中，∠C=45°，∠ABC=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，若DE=4，则△BCD的面积为.

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7、如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点 E，连接 CE 且 CE⊥BE，若AE =2，则 BC 的长为.

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8、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE=AF，分别以点E和点 F 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧交于点 G.作射线AG交 CD 于点H，则线段DH的长是.

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9、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC 于点D，E是BD的中点，若AB=2BC，AD=5，求 CE 的长.

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{\circ},$ AD平分. $∠ B A C$ 交 BC于点 D， $B E ⟂ A D$ 交AD的延长线于点 E，若AB=5，AC=3，求AE的长。能否用作平行线的方法解呢?

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{\circ},$ AD平分. $∠ B A C$ 交 BC于点 D， $B E ⟂ A D$ 交AD的延长线于点 E，若AB=5，AC=3，则AE的长为.

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12、如图，在四边形ABCD中，AC平分 $∠ B A D, ∠ D = \frac{1}{2} ∠ B, A B = 4, B C = 2,$ AD的长为.

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13、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，DE⊥AB 于点E，求cos∠BDE的值.

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14、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，若AB=5，AC=3，则AD 长的取值范围为.

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15、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=40°，D为BC的中点，延长BA至点E，使得AE=BD，连接DE，则∠BED 的度数为.

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16、如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，E是边AB 上的动点，连接CE交BD 于点 F.若BE=EF=2，CE=7，则AB的长为.

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17、如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为.

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18、如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，GE⊥EF，若AG=1，BF=2，求GF的长.

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19、如图，在Rt△ABC中， $∠ B = 9 0^{\circ}, A B = 6, B C = 8$ ， D是AC的中点，点 E 在边 BC上，连接ED，若∠A=∠BED，求ED的长.

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20、如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，连接AD，BE交于点O，求 $\frac{A O}{D O}$ 的值.

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