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1、在平面直角坐标系中，已知点 $P (- 3 a - 4, 2 + a)$ ，请分别根据下列条件，求出点 $P$ 的坐标：

(1)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上，求点 $P$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 在第二象限，到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离相等，求点 $P$ 的坐标

(3)、若点 $Q (5, 8)$ ，且 $P Q ∥ y$ 轴，求点 $P$ 的坐标

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2、对于无理数 $\sqrt{2}$ ，因为 $1 < \sqrt{2} < 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，小数部分是 $\sqrt{2} - 1$ ．请仿照上面的方法解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{5}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、已知 $x$ 是 $8 + \sqrt{11}$ 的整数部分， $y$ 是 $8 + \sqrt{11}$ 的小数部分，求 $x - y$ 的值．

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3、如图， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $F G ⊥ A B$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ 1 = 140 °$ ，求 $∠ D C B$ 的度数；

(2)、若 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互补，判断 $D E$ 与 $B C$ 是否平行，并说明理由．

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4、如图，每个小正方形的边长都为1，三角形 $A B C$ 的顶点和点 $D$ 都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．

(1)、建立平面直角坐标系，使点 $A$ 的坐标是 $(2, 5)$ ，点 $B$ 的坐标是 $(2, 1)$ ，则点 $C$ 的坐标是 ▲ ；

(2)、过点 $A$ 作 $B C$ 的平行线 $A M$ ，点 $M$ 在点 $A$ 右侧且在格点上；

(3)、经过平移，三角形 $A B C$ 的顶点 $A$ 移到点 $D$ ，画出平移后的三角形 $D E F$ ．

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5、在下面的括号内，填上推理的依据．
如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ D$ ．求证： $∠ A = ∠ C$ ．
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
又 $∠ 2 = ∠ 3$ （     ），
$∴ ∠ 1 = ∠ 3$ （等量代换），
$∴ A F ∥ E C$ （     ），
$∴ ∠ C = ∠ A F D$ （     ）．
$∵ ∠ B = ∠ D$ （已知），
$∴ A B ∥ C D$ （内错角相等，两直线平行），
$∴ ∠ A = ∠ A F D$ （     ），
$∴ ∠ A = ∠ C$ （     ）．

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{4} - | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt[3]{- 27}$ ；

(2)、 $\sqrt{3} (\sqrt{3} + 3) - \sqrt{1 - \frac{5}{9}}$ ．

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7、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 $O$ 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点 $P_{1} (0, 1)$ ， $P_{2} (1, 1)$ ， $P_{3} (1, 0)$ ， $P_{4} (1, - 1)$ ， $P_{5} (2, - 1)$ ， $P_{6} (2, 0)$ ⋯⋯则点 $P_{2026}$ 的坐标是．

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8、如图， $O C ⊥ A B$ ，垂足为 $O$ ，直线 $D E$ 经过点 $O$ ， $∠ A O D : ∠ C O D = 4 : 5$ ，则 $∠ B O E =$ ．

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9、命题“实数 $a$ 的平方是正数”是假命题，可以举反例 $a =$ ．

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10、如图，将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后， $E M$ 与 $B F$ 交于G点，若 $∠ E F G = 50 °$ ，则 $∠ A E G$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $80 °$ C、 $90 °$ D、 $110 °$

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11、下列图形中，由 $∠ 1 = ∠ 2$ ，能判断直线 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、如图， $B$ 船位于 $A$ 船的北偏东 $15 °$ ， $70 n m i l e$ 处．用方向角和距离描述 $A$ 船相对于 $B$ 船的位置，下列说法正确的是（）

A、 $A$ 船位于 $B$ 船的北偏东 $15 °$ ， $70 n m i l e$ 处 B、 $A$ 船位于 $B$ 船的南偏西 $15 °$ ， $70 n m i l e$ 处 C、 $A$ 船位于 $B$ 船的北偏东 $75 °$ ， $70 n m i l e$ 处 D、 $B$ 船位于 $A$ 船的南偏西 $75 °$ ， $70 n m i l e$ 处

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13、下列命题中，是真命题的是（）

A、相等的角是对顶角 B、两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C、同旁内角相等，两直线平行 D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

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14、如图，在数轴上表示实数 $\sqrt{3} + 1$ 的点可能是（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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15、点 $P (2, - 4)$ 向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q ，则点Q坐标为（）

A、 $(5, 2)$ B、 $(- 1, - 10)$ C、 $(5, - 10)$ D、 $(- 1, 2)$

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16、下列各数中，无理数是（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{9}$ C、0 D、 $- \frac{22}{3}$

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17、在平面直角坐标系中，点 $(- 2, 1)$ 所在的象限是（）．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、8的立方根是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $- \sqrt{8}$ C、2 D、 $- 2$

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19、在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”.

(1)、如图1，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰三角形， $A B = A C, A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，求证： $B D = C E$ .

(2)、如图2，P为等边 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ A P B = 150 °$ ，则线段 $P A ， P B ， P C$ 之间有怎样的数量关系?请给出你的猜想并进行证明.

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2, C D = 3, ∠ A B C = ∠ B A C = ∠ A D C = 45 °$ ，请直接写出线段BD的长度.

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20、已知，等边 $△ A B C$ ， P为直线AC上一点，点D为直线BC上一点，且 $P B = P D$ .

(1)、如图1，若P为AC的中点， $A B = 2$ ，求CD的长.

(2)、如图2，若点P为AC上任意一点，过P作 $P Q ∥ B C$ 交AB于点Q，探究线段AQ与CD的数量关系，并说明理由.

(3)、如图3，当P运动到CA延长线上，D为BC中点，PD交AB于点E， $A P = 6$ ，求BE的长.

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