相关试卷

1、中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、 2035的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2035}$ B、 $- 2035$ C、 $2035$ D、 $- \frac{1}{2035}$

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3、已知方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ，求一个关于 $x$ 的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍．
解：设所求方程的根为 $y$ ，则 $y = 3 x ， x = \frac{y}{3}$ ，
把 $x = \frac{y}{3}$ 代入 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ，得 ${(\frac{y}{3})}^{2} - 2 (\frac{y}{3}) - 2 = 0$ ，化简得 $y^{2} - 6 y - 18 = 0$ ，
这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题．

(1)、已知方程 $x^{2} - x - 4 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，求一个关于 $y$ 的方程，使得它的两个根分别为： $y_{1} = x_{1} - 1$ ， $y_{2} = x_{2} - 1$ ，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）．

(2)、已知方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， c \neq 0)$ ，求一个关于 $x$ 的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数．

(3)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根分别为 $x_{1} = 1$ 和 $x_{2} =$ $- \frac{1}{4}$ ，求关于 $y$ 的一元二次方程 $c {(y - 2026)}^{2} + b (y - 2) = 2024 b - a (c \neq 0)$ 的两个实数根．

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4、复兴路中学计划成立五个课外兴趣小组（要求每名学生只能参加一个兴趣小组）：A．音乐；B．美术；C．篮球；D．阅读；E．棋类．为了了解学生对以上兴趣小组活动的参与情况，学校老师随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图、根据图中信息，完成下列问题：

(1)、①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）：
②扇形统计图中的圆心角 $α$ 的度数为________．

(2)、若该校有 $1800$ 名学生，估计该校参加E组（棋类）的学生人数．

(3)、该学校从A组中挑选出了成绩优秀的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学参加市里举办的“中学生新年文艺汇演”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

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5、两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段 $A B$ 分割成长、短两条线段 $A P ， P B$ ，若 $\frac{P B}{A P} = \frac{A P}{A B}$ ，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段 $A B$ 的黄金分割点．如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 2 ， ∠ A = 36 °$ ， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线．

(1)、求证：点D为 $A B$ 的黄金分割点．

(2)、求 $B D$ 的长．

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6、如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，以点B为圆心， $A E$ 的长为半径画弧，交边 $C D$ 于点F，求证： $A E ⊥ B F$ ．

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7、 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 均为等腰直角三角形．

(1)、如图1，当 $C E$ 与 $A C$ 重合时， $\frac{B E}{A D} =$ _________．

(2)、如图2，将 $△ D E C$ 绕点C逆时针旋转一定的角度，连接 $A D$ ， $B E$ 第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．

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8、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，分别是m和n．

(1)、求k的取值范围．

(2)、若 $m^{2} + n^{2} - m n \leq 13$ ，且 $k$ 为整数，求k的值．

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9、如图，点O是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，连接 $A O$ ，点D，E，F分别是 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 的中点，连接 $D E$ ， $D F$ ．求证： $△ A B C ∽ △ D E F$

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10、解方程：

(1)、 ${(3 x - 1)}^{2} - 25 = 0$ ．

(2)、 $2 x^{2} - x - 6 = 0$ ．

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11、如图，在线段 $A B$ 上取一点 $C$ ，分别以 $A C$ ， $B C$ 为边，在 $A B$ 的同侧作菱形 $A C D E$ 和菱形 $B C F G$ ，使点 $D$ 在边 $C F$ 上，连接 $E G$ ， $M$ 是 $E G$ 的中点， $∠ A = 65 °, E G = 1 0cm$ ．
（1） $∠ F =$ ．
（2）线段 $C M$ 的长度为 $c m$ ．

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12、在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为 $a ® b = a^{2} - b^{2}$ ，例如， $5 ® 2 = 5^{2} - 2^{2} = 25 - 4 = 21$ ．根据这个规则，方程 $(2 x - 1) ® 6 = 0$ 的解为．

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13、第 $20$ 届华中图书交易会于 $2025$ 年 $10$ 月 $24$ 日至 $26$ 日在武汉国际会展中心举办．若小张随机从 $A, B, C$ 三个人口中选择一个进入，再随机从 $D, E$ 两个出口中选择一个离开，则小张从 $B$ 口进入， $D$ 口离开的概率是．

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14、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 9$ ， $A B = 12$ ，点E是 $C D$ 上一动点，在平面内将矩形沿 $A E$ 折叠，使点D落在 $D^{'}$ 位置．若 $△ C D^{'} E$ 为直角三角形，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9或6 C、9或 $\frac{9}{2}$ D、3或 $\frac{9}{2}$

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 7$ ， $A C = 5$ ， $B D$ ， $C E$ 是 $△ A B C$ 的两条高，连接 $D E$ ，则 $\frac{D E}{B C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，D，E是边 $A B$ 的三等分点，F，G是边 $A C$ 的三等分点，若 $△ A D F$ 的面积为m，则四边形 $E B C G$ 与 $△ A E G$ 的面积差是（）

A、 $4 m$ B、 $3 m$ C、 $2 m$ D、 $m$

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17、明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（）

A、掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B、掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C、从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D、从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率

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18、已知 $x = 0$ 是关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + m x + 4 m^{2} - 4 = 0$ 的一个根，则直线 $y = m x - 2$ 不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（）

A、公平 B、对小颖有利 C、对小亮有利 D、公平性不可预测

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20、若一元二次方程 $x^{2} = m$ 的两个实数根分别是 $2 a - 6$ 和 $3 a - 4$ ，则m的值是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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