相关试卷

1、魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作 $+ 300$ 米，则向西走800米可记作（）

A、 $+ 800$ 米 B、 $- 800$ 米 C、 $+ 300$ 米 D、 $- 300$ 米

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45^{\circ}$ ， $A D$ ， $B E$ 分别为 $△ A B C$ 的高．

(1)、如图1，若 $B D = \sqrt{3}$ ， $A C = 5 \sqrt{6}$ ，连接 $D E$ ， $B E =$ ___________， $D E =$ ___________；

(2)、如图2，连接 $D E$ ，将 $D E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 到 $E F$ ，连接 $D F$ ， $G$ 为线段 $D F$ 上一点，连接 $C G$ ．若 $∠ E C G = ∠ A D E$ ，求证： $A B = 2 C G$ ；

(3)、如图3，若 $C B = C A = 2 \sqrt{2}, P$ 是线段 $A D$ 上一动点，将线段 $C P$ 绕着点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 至线段 $C Q$ ，连接 $P B$ ， $P E$ ， $D Q$ ．当 $D Q$ 取得最小值时，请直接写出 $△ B E P$ 的面积．

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3、【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，如果我们将 ${(a - b)}^{2}$ 写成 ${[a + (- b)]}^{2}$ ，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下： ${(a - b)}^{2} = {[a + (- b)]}^{2} = a^{2} + 2 a \cdot (- b) + {(- b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ．

(1)、【类比推理】
已知两数的立方和公式为 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ ，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： $a^{3} - b^{3} = a^{3} + {(- b)}^{3} =$ ___________．

(2)、【应用公式】
因式分解： $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ ．

(3)、【拓展提升】
如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形 $A B C D$ ，设 $S_{四边形 A B C D} = S_{1}$ ， $S_{四边形 E F G H} = S_{2}$ ， $S_{四边形 M N P Q} = S_{3}$ ．若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 30$ ，则① $S_{2} =$ ___________．
②若该直角三角形两条边长分别为 $m$ 和 $n$ ，且 $S_{3} = 2$ ，先将代数式 $m^{6} + 2 m^{4} n^{2} + 2 m^{2} n^{4} + n^{6}$ 进行因式分解，然后求出代数式的值．

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4、综合实践

背景一	深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的 $\frac{7}{9}$ ．
背景二	经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元．

(1)、该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？

(2)、该文创店所获得的最大利润是多少？

(3)、实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降

m (10 < m < 25)

元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？

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5、平面直角坐标系中 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (- 4, 5)$ ， $B (- 5, 2)$ ， $C (- 1, 3)$ ．

(1)、已知 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 关于点 $D$ 成中心对称．
①若点 $D$ 与原点 $O$ 重合，请在图中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．
②若把①中的点 $D$ 沿 $x$ 轴向右平移1个单位长度，则①中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 向右平移个单位长度；若把①中的点 $D$ 沿 $y$ 轴向上平移1个单位长度，则①中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 向上平移个单位长度．

(2)、直接写出 $A$ 点关于点 $(m, n) (m > 0, n > 0)$ 的对称点的坐标．

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6、解不等式及不等式组：

(1)、解不等式： $\frac{5 x + 1}{3} - \frac{3 x - 1}{2} \geq 1$ ，并将不等式的解集在数轴上表示；

(2)、解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x \leq x + 4 \\ 2 (x + 5) > 6 \end{matrix}$ ，并写出所有正整数解．

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7、因式分解：

(1)、 $4 {(a - b)}^{3} + 8 {(b - a)}^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - (a + 1) x + a$ ．

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8、在 $Rt △ A B C$ 内部有一动点 $P$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，若 $A B = 4$ ，求 $P A + P B + P C$ 的最小值．

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9、新定义：对于任意实数 $x$ ，都有 $f (x) = a x^{2} + b x$ ，若 $f (1) = 5$ ， $f (2) = 12$ ，则将 $f (x - 1)$ 因式分解的结果为．

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10、在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位： $mg / L$ ）和污染物浓度（单位： $mg / L$ ）随时间 $x$ （天）的变化．溶解氧浓度由直线 $l_{1}$ ： $y = x + 1$ 描述，污染物浓度由直线 $l_{2}$ ： $y = k x + b (k \neq 0)$ 描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时 $x$ 范围．

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11、如图， $A C = 5$ ， $B C = 4$ ，将 $△ A B C$ 沿 $B A$ 方向平移得到 $△ D E F$ ，若 $A E = 2$ ， $D B = 14$ ，则平移的距离为．

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12、如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型，则八边形的内角和为．

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13、小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为 $6$ 的等腰 $Rt △ A O B$ ；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点 $P (3, 0)$ 出发，撞击 $A B$ 边上的 $M$ 点后反弹，再撞击 $O B$ 边上的点 $N$ 反弹，最后回到点 $P$ ．则 $M$ 点的坐标为（　　）

A、 $(3, 3)$ B、 $(\frac{15}{4}, \frac{9}{4})$ C、 $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

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14、定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如， $13 = 7^{2} - 6^{2}$ ，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（）

A、12是智慧数 B、代数式 $a^{2} - 2 a b$ （ $a ， b$ 是正整数）是智慧数的条件是 $a \geq 2 b$ C、所有大于1的奇数都是智慧数 D、将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B < B C$ ．用直尺和圆规在边 $A C$ 上确定一点D，使点D到 $A B$ 、 $B C$ 的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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16、某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打 $x$ 折销售这种商品，且利润率不得低于 $12 %$ ，则根据题意可列不等式为（）

A、 $250 x - 150 \geq 150 \times 12 %$ B、 $250 \cdot \frac{x}{10} - 150 \geq 150 \times 12 %$ C、 $250 \cdot \frac{x}{10} - 150 \leq 150 \times 12 %$ D、 $250 x - 150 \leq 250 \times 12 %$

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17、已知 $a < b$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $- a < - b$ B、 $a - 3 < b - 3$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $- 3 a < - 3 b$

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18、将多项式 $2 a b + 4 a b^{2}$ 分解因式时，应提取的公因式是（）

A、 $4 a b^{2}$ B、 $2 a b$ C、 $2 a b^{2}$ D、 $2 b^{2}$

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19、语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则在数形之间．下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（　　）

A、笛卡尔心形线 B、三叶玫瑰线 C、笛卡尔叶形线 D、星形线

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20、已知： $A B ∥ C D$ ， $E$ 、 $G$ 是 $A B$ 上的点， $F$ 、 $H$ 是 $C D$ 上的点，满足 $E F ∥ G H$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(2)、如图2，过 $F$ 点作 $F M ⊥ G H$ 交 $G H$ 延长线于点 $M$ ，作 $∠ B E F$ 、 $∠ D F M$ 的角平分线交于点 $N$ ， $E N$ 交 $G H$ 于点 $P$ ，求 $∠ E N F$ 的度数．

(3)、如图3，在（2）的条件下，当 $∠ F E N = 2 ∠ H F M$ 时，请问是否存在 $\frac{∠ G Q H}{∠ G P N}$ 为定值，使得 $Q G$ 平分 $∠ A G M$ ？若存在，请求出 $\frac{∠ G Q H}{∠ G P N}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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