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1、如图，菱形 $A B C D$ 的边长为4，E，F分别是 $A B ， A D$ 边上的动点， $B E = A F$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，则下列结论：① $△ B E C ≌ △ A F C$ ；② $△ E C F$ 为等边三角形；③若 $A F = 1$ ，则 $\frac{G F}{G E} = \frac{1}{2}$ ；④ $∠ A G E = ∠ A F C$ ．其中正确的有．（填序号）

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2、如图，在平面直角坐标系中，正六边形 $A B C D E F$ 的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数 $y = \frac{9 \sqrt{3}}{x}$ 位于第一象限的图象上，则正六边形 $A B C D E F$ 的边长为；

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，若 $A D = 3$ ， $D B = 2$ ， $B C = 6$ ，则 $D E$ 的长为．

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4、如图，边长12的正方形 $A B C D$ 中，有一个小正方形 $E F G H$ ，其中E、F、G分别在 $A B$ 、 $B C$ 、 $F D$ 上．若 $B F = 3$ ，则小正方形的边长为（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、1 D、6

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5、如图是一个正三棱柱，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6、若点 $(2, - 6)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则该图象也过点（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(3, - 4)$ C、 $(- 2, - 6)$ D、 $(- 6, - 2)$

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7、如已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (1, 0)$ ，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是 $- 2$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：

(3)、抛物线的对称轴上有一动点 $P$ ，求出 $P A + P D$ 的最小值．

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8、如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ 是 $B D$ 延长线上的一点，点 $E$ 在 $⊙ O$ 上， $B C ⊥ A E$ ，交 $A E$ 的延长线于点 $C$ ， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，且点 $E$ 是 $\overset{⏜}{D F}$ 的中点．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 3$ ， $A E = 5 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长度．

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9、如图，护林员在一个斜坡上的点 $A$ 处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地 $A B$ 进行浇灌， $O A = 10 m$ ，点 $A$ 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口 $A$ 的水平距离为 $6 m$ 时，达到距离地面 $O B$ 的竖直高度的最大值为 $13 m$ ．以 $O B$ 所在的水平方向为 $x$ 轴， $O A$ 所在的竖直方向为 $y$ 轴建立平面直角坐标系．

(1)、求图中水柱所在抛物线的函数解析式；

(2)、若该装置浇灌的最远点 $C$ 离地面的竖直高度为 $1 m$ ，求此时喷到 $C$ 处的水柱距出水口的水平距离．

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10、黄河流域作为中华文明的摇篮，孕育了多个重要的史前文化，新石器时代晚期文化有龙山文化、大汶口文化、马家窑文化、齐家文化．这四种文化的陶器是其重要标志，反映了农业经济、手工业发展和社会复杂化．以下是几种陶器的图片：A．蛋壳黑陶；B．彩陶盉；C．涡纹彩陶瓮；D．蚕纹二联陶罐．

(1)、小夏从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．涡纹彩陶瓮”的概率是_________．

(2)、为学习和宣传黄河文化，小甘先从上面四幅图中任选一幅，小夏再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．蛋壳黑陶”和“D．蚕纹二联陶罐”的概率．

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11、如图，在平面直角坐标系中，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 $O$ 连续旋转2026次得到正方形 $O A_{2026} B_{2026} C_{2026}$ ，如果点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，那么点 $B_{2026}$ 的坐标为．

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12、如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示， $\overset{⏜}{A B}$ 是以点 $O$ 为圆心，半径为 $18 cm$ 的弧， $∠ A O B = 50 °$ ，则 $\overset{⏜}{A B}$ 的长是cm．

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13、如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，动点 $P$ 从 $A$ 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $A B$ 向 $B$ 点运动，同时动点 $Q$ 从 $B$ 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $B \to C \to D$ 方向运动，当 $P$ 运动到 $B$ 点时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设 $P$ 点运动的时间为 $t$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $S$ ，则 $S$ 与 $t$ 函数关系的图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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14、刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（）

A、0.80 B、0.85 C、0.90 D、0.95

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A B = B C$ ， D为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A D B = 90 °$ ，其中 $45 ° < ∠ A B D < 90 °$ ，将线段 $B D$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B E$ ，连接 $C E$ ，作直线 $E D$ 交 $A C$ 于点F．

(1)、求 $∠ C E B$ 的度数；

(2)、用等式表示 $F D, B E, A D$ 的数量关系，并证明．

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16、如图，将 $▱ A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $▱ A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，使点 $B^{'}$ 落在 $B C$ 上， $B^{'} C^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ．若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $B B^{'} = 1$ ．

(1)、求证： $△ B A B^{'} ∽ △ D A D^{'}$ ；

(2)、求 $C^{'} D$ 和 $C E$ 的长．

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17、掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是 $2 m$ ，当水平距离为 $5 m$ 时，实心球行进至最高点 $4 m$ 处．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于 $12.4 m$ ，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由．

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18、若 $(2, 3)$ 和 $(n, 5)$ 是反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x}$ 图象上的两点，则 $n =$ ．

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19、如图，过反比例函数 $y = - \frac{6}{x} (x < 0)$ 的图象上一点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $A O$ ，则 $S_{△ A O B}$ 的值为．

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20、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b < 0$ ；② $b^{2} > 4 a c$ ；③ $a + b + c < 0$ ；④ $3 a + c < 0$ ．其中正确的是（）

A、①④ B、②④ C、①②③ D、①②③④

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