浙教版数学八年级下册 2.4 一元二次方程的应用三阶训练

试卷更新日期：2026-03-05 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. $2021$ 年杭州市某区的 $G D P ($ 国内生产总值 $) 为 2502.2$ 亿元 $. 2023$ 年该区的 $G D P 为 2936.43$ 亿元，在杭州市各区县排名第一 $.$ 设这两年该区 $G D P$ 的平均增长率为 $x$ ，根据题意可列出方程为( )

A、 $2502.2 (1 + 2 x) = 2936.43$ B、 $2502.2 (1 + x)^{2} = 2936.43$ C、 $2502.2 (1 + 2 x)^{2} = 2936.43$ D、 $2502.2 x^{2} = 2936.43$

查看试题解析
2. 如图，一张长宽比为5：3的长方形纸板，剪去四个边长为 $5 c m$ 的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为 $200 c m^{3}$ （纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为 $5 x$ 厘米，则由题意可列出的方程是（）

A、 $5 (5 x + 10) (3 x + 10) = 200$ B、 $5 (5 x - 5) (3 x - 5) = 200$ C、 $5 (5 x + 10) (3 x - 10) = 200$ D、 $5 (5 x - 10) (3 x - 10) = 200$

查看试题解析
3. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）

A、 $3 (1 + x)^{2} = 5$ B、 $3 x^{2} = 5$ C、 $3 (1 + x %)^{2} = 5$ D、 $3 (1 + x) + 3 (1 + x)^{2} = 5$

查看试题解析
4. 读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x ，则列出的方程正确的是（）

A、 $10 x + (x - 3) = x^{2}$ B、 $10 (x - 3) + x = {(x - 3)}^{2}$ C、 $10 x + (x - 3) = {(x - 3)}^{2}$ D、 $10 (x - 3) + x = x^{2}$

查看试题解析
5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）

A、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x + 1)}^{2}$ B、 $x^{2} + 1 0^{2} = x^{2}$ C、 ${(x - 4)}^{2} + 10 = x^{2}$ D、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x - 4)}^{2}$

查看试题解析
6. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法 $.$ 以方程 $x^{2} + 5 x - 14 = 0$ ，即 $x (x + 5) = 14$ 为例说明， $《$ 方图注 $》$ 中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是 $(x + x + 5)^{2}$ 同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 14 + 5^{2}$ ，因此 $x = 2 .$ 小明用此方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - n = 0$ 时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为 $14$ ，小正方形的面积为 $4$ ，则（）

A、 $m = 2$ ， $n = 3$ B、 $m = \frac{\sqrt{14}}{2}$ ， $n = 2$ C、 $m = \frac{5}{2}$ ， $n = 2$ D、 $m = 2$ ， $n = \frac{5}{2}$

查看试题解析
7. 某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 $\frac{1}{2}$ ．则新品种花生亩产量的增长率为（）

A、20％ B、30% C、50% D、120%

查看试题解析
8. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如 $x (x + 6) = 16$ 的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为 $x + 6$ ，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为 $16 \times 4 + 36 = 100$ ，边长为10，故得 $x (x + 6) = 16$ 的正数解为 $x = \frac{10 - 6}{2} = 2$ ．小明用此方法解关于x的方程 $x^{2} + m x - n = 0$ 时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（）

A、 $m = 2, n = 3$ B、 $m = \frac{\sqrt{14}}{2}, n = 2$ C、 $m = \frac{5}{2}, n = 2$ D、 $m = 2, n = \frac{5}{2}$

查看试题解析
9. 一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm²；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm² ，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　）

A、5cm² B、6cm² C、7cm² D、8cm²

查看试题解析
10. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如 $x^{2} + a x = b^{2}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的方程的图解法是：如图1，以 $\frac{a}{2}$ 和b为两直角边作 $R t △ A B C$ ，再在斜边上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，则 $A D$ 的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x = 36$ ，按照图1，构造图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，连接 $C D$ ，若 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ A C D}} = \frac{5}{8}$ ，则m的值为（）

A、8 B、5 C、2.5 D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析

二、填空题

11. 有一个两位数，其十位上的数字与个位上的数字之和是 5 ，把个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为 736 ，则原两位数为.

查看试题解析
12. 有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于 $x^{2} + 10 x = 39$ 的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和 $\frac{5}{2}$ 的矩形，再把它补充成一个边长为 $x + 5$ 的大正方形，我们得到大正方形的面积为 ${(x + 5)}^{2} = x^{2} + 10 x + 25 = 39 + 25 = 64$ （因为 $x^{2} + 10 x = 39$ ）．所以大正方形边长为 $x + 5 = 8$ ，得到 $x = 3$ ．思考：当我们用这种方法寻找 $x^{2} + 6 x = 7$ 的解时，如图2中间小正方形的边长x为；阴影部分每个正方形的边长为．

查看试题解析
13. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm， BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 $\frac{1}{2}$ cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动若使△PBQ的面积为 $\frac{15}{4}$ cm² ，则点P运动的时间是 s.

查看试题解析
14. 新定义：关于 $x$ 的一元二次方程 $a_{1} (x - c)^{2} + k = 0$ 与 $a_{2} (x - c)^{2} + k = 0$ 称为“同族二次方程” $.$ 例如： $5 (x - 6)^{2} + 7 = 0$ 与 $6 (x - 6)^{2} + 7 = 0$ 是“同族二次方程” $.$ 现有关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 2) x^{2} + (n - 4) x + 8 = 0$ 与 $2 (x - 1)^{2} + 1 = 0$ 是“同族二次方程”，则代数式 $m x^{2} + n x + 2024$ 的最小值是．

查看试题解析
15. 如图，已知AG $∥$ CF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点（点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为.

查看试题解析

三、解答题

16. 综合实践：如何用最少的材料设计花园?
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米.
【项目解决】
目标1：确定面积与边长的关系.
当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长.
目标2：探究用最少的材料的方案.
现要围成面积为 $\frac{81}{2}$ 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米.

(1)、若m=14，能成功围成吗?若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.

(2)、若要成功围成，则m的最小值为，此时， $A B =$ 米.

查看试题解析
17. 若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b²－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝ $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x²-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）= $\frac{4 \times 1 \times (- 4) - (- 3)^{2}}{4 \times 1} = - \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程px²+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r），且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.

(1)、“快乐方程”x²-2x-3=0的“快乐数”为.

(2)、若关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于x的一元二次方程x²-mx+m+1=0与x²-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值.

查看试题解析

浙教版数学八年级下册 2.4 一元二次方程的应用 三阶训练

一、选择题

二、填空题

三、解答题

浙教版数学八年级下册 2.4 一元二次方程的应用三阶训练