相关试卷

1、下列各式中，不正确的是（）

A、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 4$ D、 $\sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$

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2、在 $△ A B C$ 中 $a, b, c$ 分别是 $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边，下列条件中，不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a = 5, b = 12, c = 13$ B、 $a = 1, b = \sqrt{2}, c = \sqrt{3}$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ D、 $∠ A - ∠ B = ∠ C$

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3、汽车油箱中有汽油 $50L$ ，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量 $y$ （单位： $L$ ）随行驶路程 $x$ （单位： $km$ ）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油 $0.1 L$ ．当 $0 \leq x \leq 500$ 时， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为（）

A、 $y = 0.1 x$ B、 $y = \frac{50}{x}$ C、 $y = 50 - 0.1 x$ D、 $y = 50 - x$

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4、下列二次根式，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{0.5}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{8}}$

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5、解答下列各题：

(1)、【提出问题】如图1，已知 $A B ∥ C D$ ，线段 $E F ， E C ， D H$ 分别与 $A B$ 交于点A，G，B， $∠ F A G = ∠ D$ ，
求证： $E F ∥ D H$ ；

(2)、【深入探究】
如图2， $A B ∥ C D$ ，连接 $A C ， A D$ 并延长至点F，点E，延长 $B A$ 至点G，连接 $D B$ 并延长至点H，且 $A F ∥ D H$ ， $A F$ 平分 $∠ G A E$ ，若 $∠ A D C = 64 °$ ，求 $∠ A B H$ 的度数；

(3)、【拓展探究】
如图3，某厂区进行管道铺设施工，设计有三条主输送管道，分别为管道 $H B$ 、管道 $E N$ 、管道 $C D$ ，满足 $H B ∥ C D$ ， $E N ∥ H B$ ．支管道 $E C$ 与检修通道 $A B$ 交汇于接口A，支管道 $E B$ 向外延长形成接口F．在检修通道 $A B$ 上的接口G处，额外铺设一条连接到D接口的支管 $D G$ ，满足 $G D ∥ B F$ ．施工人员需要确定转角 $∠ A G D$ 、接口转角 $∠ C E F$ 以及管道转角 $∠ E C D$ 之间的数量关系，从而精准控制焊接角度，保证管道对接密封．请你帮该厂探索 $∠ A G D$ ， $∠ C E F$ ， $∠ E C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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6、对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P (a, b)$ ，若点 $P^{'}$ 的坐标为 $(a + k b, b + \frac{a}{k})$ （其中 $k$ 为常数， $k \neq 0$ ），则称点 $P^{'}$ 为点 $P$ 的“ $k$ 系友好点”；例如： $P (3, 2)$ 的“3系友好点”为 $P^{'} (3 + 3 \times 2, 2 + \frac{3}{3})$ ，即 $P^{'} : (9, 3)$
请完成下列各题：

(1)、求点 $P (- 2, 1)$ 的“2系友好点” $P^{'}$ 的坐标为；

(2)、若点 $P (6, 3)$ 的“ $k$ 系友好点” $P^{'}$ 的坐标为 $(- 3, n)$ ，求 $k$ 和 $n$ 的值；

(3)、若点 $P$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $P$ 的“ $k$ 系友好点”为点 $P^{'}$ ，若在 $△ O P P^{'}$ 中， $P P^{'} = 2 O P$ ，求 $k$ 的值．

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7、如图所示，把三角形ABC放在直角坐标系中，现将三角形 $A B C$ 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、在图中画出三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

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8、已知 $2 a + 1$ 的算术平方根是 $3$ ， $3 a + 2 b - 1$ 的立方根是 $2$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $a + 2 b$ 的平方根．

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9、计算、求式中的x值：

(1)、计算： $\sqrt{2} (\sqrt{2} + 2) - 2 \sqrt{2}$ ；

(2)、求 $x$ 的值： ${(x + 1)}^{2} = 9$ ．

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10、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 $O$ 出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点 $A_{1} (0, 1)$ ， $A_{2} (1, 1)$ ， $A_{3} (1, 0)$ ， $A_{4} (2, 0)$ …，那么点 $A_{2026}$ 的坐标为．

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11、如图1为爆玉米花机器，图2为其模型， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = 53 °$ ， $∠ A P C = 103 °$ ，则 $∠ C =$ ．

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12、如图， $A B ∥ C D$ ， $E G$ 、 $E M$ 、 $F M$ 分别平分 $∠ A E F$ 、 $∠ B E F$ 、 $∠ E F D$ ，下列结论正确的有（）
① $∠ D F E = ∠ A E F$ ；② $∠ E M F = 90 °$ ；③ $E G ∥ F M$ ；④ $∠ A E F = ∠ E G C$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13、如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ A B$ ，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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14、宇树科技 $U n i t r e e B 2 - W$ 轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线 $A B$ 到达岸边，其中蕴含的数学原理是（）

A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线 C、线段有两个端点 D、垂线段最短

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15、在平面直角坐标系中，点 $P (2, - 3)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、4的平方根是（）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 4$ C、2 D、4

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17、下列实数中，是无理数的是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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18、如图1，已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B (8, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 4)$ ，连接 $C A$ 、 $C B$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图2，点 $D$ 在 $y$ 轴正半轴上， $O D = O B$ ， $B D$ 绕着点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，交抛物线于点 $Q$ ，连接 $D Q$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $△ B D Q$ 的边 $D Q$ ， $D B$ 上的动点，且 $Q E = D F$ ，求 $B E + Q F$ 的最小值．

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19、
【问题情境】
$△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得 $△ A D E$ ，连接 $C B$ 、 $B D$ ，恰好点 $D$ 落在线段 $C E$ 上．
【数学思考】
（1）如图1，求证： $B C ⊥ C E$ ；
【探究实践】
（2）如图1，已知 $B C = 1$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A F$ 的长；
【拓展提升】
（3）如图2，当 $A B = \sqrt{5}$ 时，过点 $F$ 作 $F G ∥ C E$ 交 $A E$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ，求 $△ D F G$ 的面积的最大值．

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20、综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度
【实践背景】
黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力．
【实践器材】
测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平）
【实践过程】
如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为 $22 °$ ；然后他沿着坡度为 $17 °$ 的斜坡向后（远离灯笼方向）行走 $50 m$ ，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为 $18 ． 6 °$ ．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内．
【实践探究】

(1)、求斜坡的垂直高度（即 $B C$ 长度）和水平宽度（即 $A C$ 长度）；

(2)、根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度 $P Q$ （结果保留整数）．
（参考数据： $\sin 17 ° \approx 0.29, \cos 17 ° \approx 0.96, \tan 17 ° \approx 0.31; \sin 18.6 ° \approx 0.32, \cos 18.6 ° \approx 0.96, \tan 18.6 ° \approx 0.34$ ； $\sin 22 ° \approx 0.38, \cos 22 ° \approx 0.93, \tan 22 ° \approx 0.40$ ．）

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