2.6 应用一元二次方程-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-11-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价 $x$ 元，每天将盈利1120元，则可列方程为（）

A、 $(80 - x) (30 + x) = 1120$ B、 $(80 - x) (30 + 5 x) = 1120$ C、 $(80 - 50 - x) (30 + x) = 1120$ D、 $(80 - 50 - x) (30 + 5 x) = 1120$

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2. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为 $36 m$ 、宽为 $22 m$ 的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为 $700 m^{2}$ ，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为 $x m$ ，根据题意可列方程（）

A、 $(36 - x) (22 - x) = 700$ B、 $(36 - x) (22 - 2 x) = 700$ C、 $(36 + x) (22 + 2 x) = 700$ D、 $(36 - 2 x) (22 - x) = 700$

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3. 在 2025 年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元，调查发现：当销售价为 2900 元时，平均每天能销售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价 x 元，根据题意，可列方程为（）

A、 $(x - 2500) (8 + 4 \times \frac{x}{50}) = 5000$ B、 $(2900 - x) (8 + 4 \times \frac{2900 - x}{50}) = 5000$ C、 $(2900 - x - 2500) (8 + 4 \times \frac{x}{50}) = 5000$ D、 $(x - 2500) (8 + 4 \times \frac{2900 - x}{50}) = 5000$

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4. 学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $x^{2} = 21$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 21$ C、 $\frac{1}{2} x^{2} = 21$ D、 $x (x - 1) = 21$

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5. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）

A、 $1 + x + x^{2} = 49$ B、 $x + x^{2} = 49$ C、 $(1 + x)^{2} = 49$ D、 $x + x (1 + x) = 49$

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6. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（）

A、7尺 B、8尺 C、9尺 D、10尺

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7. 对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”．例如：对 $2 ， 3 ， 4$ 作“差绝对值运算”，得到 $| 2 - 3 | + | 2 - 4 | + | 3 - 4 | = 4$ ，则
$①$ 对 $1 ， 3 ， 4 ， 7$ 作“差绝对值运算”的结果是 $19$ ； $②$ 对 $x^{2} ， x ， - 3 (x^{2} > x > - 3)$ 进行“差绝对值运算”的结果是 $38$ ，则 $x = \pm 4$ ； $③$ 对 $a ， b ， c$ （互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有 $7$ 种．
以上说法中正确的个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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二、填空题

8. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众 $51.66$ 万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为．

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9. 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有人．”

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10. 某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则 $A B =$ 米．

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11. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为．

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三、解答题

12. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 $A B C D$ ，生态园一面靠墙，若墙长为 $18 m$ ，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长 $35 m$ ．

(1)、要围成生态园的面积为 $150 m^{2}$ ，请求出 $A B$ 的长．

(2)、围成生态园的面积能否达到 $200 m^{2}$ ？请说明理由．

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13. 现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．

(1)、求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；

(2)、如果平均每人每月最多可投递快递0. 6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

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14. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37

(1)、网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

(2)、第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

(3)、冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

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15. 已知：平行四边形 $A B C D$ 的两边 $A B, A D$ 的长是关于x的方程 $x^{2} - m x + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$ 的两个实数根．

(1)、当m为何值时，四边形 $A B C D$ 是菱形？求出这时菱形的边长；

(2)、若 $A B$ 的长为2，那么平行四边形 $A B C D$ 的周长是多少？

(3)、如果这个方程的两个实数根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) = 5 m$ ，求m的值．

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16. 根据以下素材，完成探索任务.

深索果园土地规划和销售利润问题
素材1	某农户承包了一块长方形果园 $A B C D$ ，图1是果园的平面图，其中 $A B = 200$ 米， $B C = 300$ 米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2	该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元.

(1)、【任务一：解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.】

①请直接写出纵向道路宽度x的取值范围.

②若中间种植的面积是 $44800 m^{2}$ ，则路面设置的宽度是否符合要求.

(2)、【任务二：解决果园种植的预期利润问题.（总利润=销售利润-承包费）】若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从让利购买草莓的客户角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？

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17. 阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 $- -$ 转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x²+x-2)=0，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解．
（1）问题：方程x³+x²-2x=0的解是x₁=0，x₂= ， x₃= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

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