沪科版数学九年级上册22.1比例线段专项练习

试卷更新日期：2025-11-07 类型：同步测试

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一、黄金数与黄金分割

1. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（）

A、 $(5 \sqrt{5} - 5) c m$ B、 $(15 - 5 \sqrt{5}) c m$ C、6.18cm D、 $(5 \sqrt{5} + 5) c m$

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2. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）

A、AB²＝AC²+BC² B、BC²＝AC•BA C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4.若 D，E 分别是边 BC 上的两个黄金分割点，则△ADE 的面积为( )

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

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4. 如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，在 D，E，F 三点中，最接近线段 AB 的黄金分割点的是( )

A、点 D B、点 E C、点 F D、点 D 或点 F

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5. 如图 $1$ ，点 $C$ 把线段 $A B$ 分成两条线段 $A C$ 和 $B C$ ，如果 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{A C}$ ，那么称线段 $A B$ 被点 $C$ 黄金分割，点 $C$ 叫做线段 $A B$ 的黄金分割点．设 $A B = a$ ， $A C = x$ ，则 $\frac{x}{a} = \frac{a - x}{x}$ ，所以 $\frac{x}{a} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，即 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图 $2$ 的人体雕像高为 $m$ ，下身长为 $n$ ，为增加视觉美感，若图中 $m$ 为 $2$ 米，则 $n$ 为米．

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6. 综合与实践．实践主题：黄金分割数．

(1)、材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段 $A B$ 上的一点，将线段分割成 $A P$ ， $B P$ 两条线段 $(A P > B P)$ ，且满足 $B P : A P = A P : A B$ ，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段 $A P$ 与 $A B$ 的比值或线段 $B P$ 与 $A P$ 的比值叫做黄金分割数．
若设线段 $A B = 1$ ， $A P$ 的长为x，则 $B P$ 可表示为 $1 - x$ ，
∵ $B P : A P = A P : A B$ ， ∴ $(1 - x) : x = x : 1$ ，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为 $x =$ _____________（结果保留根号）．

(2)、实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为 $80 cm$ ，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．

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7. 阅读下面的材料，并解答问题.
小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB 折到图③所示的AD 处.
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出图④所示的矩形 BCDE.
已知矩形 BCDE 为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，我们称这个矩形为黄金矩形)?

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二、比例线段

8. 已知实数a、b、c满足 $\frac{1}{a + 1} = \frac{2}{b + 2} = \frac{3}{c - 3}$ ，则 $a - 2 b + c$ 的值为．

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9. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0$ ，且 $2 a - 3 b + c \neq 0$ ，则 $\frac{a + b - c}{2 a - 3 b + c}$ 的值为．

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10. 已知 $a ， b ， c$ 均为非零的实数，且满足 $\frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{- a + b + c}{a} = k$ ，则 $k$ 的值为．

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三、预备定理-平行线分线段对应成比例

11. 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 如图，若 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l {}_{3}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ， $D F = 5$ ，则 $E F$ 长为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是 $B C$ 、 $A C$ 上的点， $A D$ 与 $B E$ 相交于点G，若 $A G : G D = 4 : 1$ ， $B D : D C = 2 : 3$ ，则 $A E : E C$ 的值是．

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14. 如图，点D、E是 $△ A B C$ 边 $B C 、 A C$ 上的点， $B D : C D = 2 : 5$ ，连接 $A D 、 B E$ ，交点为F， $D F : A F = 1 : 4$ ，那么 $\frac{C E}{A E}$ 的值是．

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15. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点E，点F在线段 $B C$ 上， $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{B F}{C F} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求证： $A B ∥ E F$ ；

(2)、求 $A B ： E F ： C D$ ．

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16. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线．

①若 $E$ 为 $A D$ 的中点，射线 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则的值 $\frac{A F}{B F}$ 为；
②若 $E$ 为 $A D$ 上的一点，且 $\frac{A E}{D E} = \frac{1}{k}$ ，射线 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $\frac{A F}{B F}$ 的值为．

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17. 定义：如图1，点 $M$ 、 $N$ 把线段 $A B$ 分割成三条线段 $A M$ 、 $M N$ 和 $B N$ ，若 $M N^{2} = A M · B N$ ，则称 $M N$ 是线段 $A B$ 的比例中段， $M$ 、 $N$ 是线段 $A B$ 的中段分点.

(1)、已知点 $M$ 、 $N$ 是线段 $A B$ 的中段分点.
①若 $A M = 2$ ， $M N = 3$ ，则 $B N =$ ▲ ；
②在图1中，若 $A B = 7$ ， $M N = 2$ ，求 $A M$ 的长.

(2)、如图2，在 $Δ A B C$ 中， $M N$ 是线段 $A B$ 的比例中段， $F$ 、 $G$ 分别是线段 $A C$ 、 $B C$ 延长线上的点，且 $F G ∥ A B$ ， $M C$ 、 $N C$ 的延长线分别交线段 $F G$ 于点 $P$ ， $K$ .探究 $P K$ 是否为线段 $F G$ 的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..

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