2.5 一元二次方程的根与系数的关系-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-11-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若关于x的一元二次方程x²+（k-2）x-1=0的两实数根互为相反数，则k的值为（）

A、±2 B、2 C、-2 D、不能确定

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2. 已知 $a, b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的两个实数根，则式子 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值是（）

A、 $n^{2} + 2$ B、 $- n^{2} + 2$ C、 $n^{2} - 2$ D、 $- n^{2} - 2$

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3. 若α，β是方程x²﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α²+β²的值为（　　）

A、10 B、9 C、7 D、5

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4. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，若 $\frac{1}{x_{1}} +$ $\frac{1}{x_{2}} = 4 m,$ 则 m 的值为( ).

A、2 B、-1 C、2或-1 D、不存在

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5. 关于x的一元二次方程. $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 同样有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根； $② {(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} \geq 2; ③ - 1 \leq 2 m - 2 n \leq 1 .$ .其中正确结论的个数是( ).

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x - 3 m - 3 = 0$ 在 $- 2 \leq x \leq 2$ 范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（）

A、 $m > - \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $m < - \frac{3}{5}$ 或 $m \geq 5$ D、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 + 4 \sqrt{3}$

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二、填空题

7. 关于x方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为1和5，则一次函数 $y = b x + c$ 不经过第象限．

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8. 已知x₁ ， x₂分别是一元二次方程x²﹣5x+2＝0的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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9. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} - k = 0$ 的两个实数根分别是x₁ ， x₂ ，且. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4,$ 则 $x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ 的值为.

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10. 已知实数 $α$ ， $β$ 满足 $2 α^{2} + 5 α - 2 = 0$ ， $2 β^{2} - 5 β - 2 = 0$ ，且 $α β \neq 1$ ，且 $\frac{1}{β^{2}} + \frac{α}{β} - \frac{5}{2} α$ 的值为．

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三、解答题

11. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} - 2 x + m + 1 = 0$ 的两个实数根．

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、如果 $x_{1} ， x_{2}$ 满足不等式 $3 + 4 x_{1} x_{2}$ > $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ，$ 且m为整数，求m的值．

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12. 已知方程 $x^{2} - 5 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，不解方程，求下列各式的值：

(1)、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ；

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13. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 2) x + m^{2} - 5 = 0$ 的两个实数根，是否存在实数 $m$ ，使 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 等于44？若存在，求出 $m$ 的值，若不存在，请说明理由．

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14. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ _．

(1)、求实数k的取值范围；

(2)、若方程两实数根满足 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ ，求k的值．

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15. 关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0．

(1)、当方程有一个根为-1时，求k的值及另一个根；

(2)、当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围；

(3)、若方程有两个实数根x₁ ， x₂且满足x₁²+x₂²=5，求k的值．

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16. 【知识技能】
材料 $1$ ：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料 $2$ ：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：∵一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ， ∴ $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
【数学理解】
（1）一元二次方程 $4 x^{2} - x - 2 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ _____， $x_{1} x_{2} =$ ______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值．
（3）已知实数 $s$ ， $t$ 满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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17. 定义：已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，且 $< 4$ ，则称这个方程为“限根方程” $.$ 如：一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 的两根为 $x_{1} = - 10$ ， $x_{2} = - 3$ ，因为 $- 10 < - 3 < 0$ ，
，所以一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)、判断一元二次方程 $x^{2} + 9 x + 14 = 0$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} + (k + 7) x + k^{2} + 3 = 0$ 是“限根方程”，且两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = - 1$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x - m = 0$ 是“限根方程”，求 $m$ 的取值范围．

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18. 阅读材料：
材料1：一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 （ a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c \geq 0 ）$ 的两根 $x_{1} ， x_{2}$ 有如下的关系（韦达定理）：
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，若实数m、n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ 、 $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则可将m、n看作是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如若实数a、b满足 $a + b = 3$ 、 $a b = 2$ ，则可以将a、b看作是方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：

(1)、已知实数m、n，且 $m \neq n$ ，满足 $3 m^{2} - m - 2 = 0$ 、 $3 n^{2} - n - 2 = 0$ ，则 $m + n$ 的值为；

(2)、若关于x的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2}$ ，若满足 $| x_{1} - x_{2} | = | x_{1} \cdot x_{2} |$ ，求 $b + c$ 的值；

(3)、已知实数a、b、c满足 $a + b = c - 5$ 、 $a b = \frac{16}{5 - c}$ ，且 $c < 5$ ，求c的最大值.

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19. 阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形拼摆而成的正方形，其中 $a > b > 0$ ，则根据图形可以得到等式 ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$ ．
材料2：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料3：已知实数 $m, n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0, n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则 $m, n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ______， $x_{1} x_{2} =$ _____．

(2)、应用探究：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} =$ _______．

(3)、思维拓展：已知实数 $s 、 t$ 分别满足 $9 s^{2} + 9 s + 1 = 0$ ， $t^{2} + 9 t + 9 = 0$ ，其中 $s t \neq 1$ 且 $s t \neq 0$ ，求 $\frac{3 s t + 9 s + 3}{t}$ 的值．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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