相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ．

(1)、实践操作：利用无刻度直尺和圆规作图（保留作图痕迹）要求：延长 $C B$ 至点 $D$ ，使 $B D = B A$ ，连接 $A D$ ；

(2)、在（1）的条件下，设 $A C = m$ ，求 $tan 15 °$ 的值．

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2、【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 $x^{2} + x = 1$ ，求 $x^{2} + x + 2024$ 的值，我们将 $x^{2} + x$ 作为一个整体代入，则原式 $= 1 + 2024 = 2025$ ．

(1)、如果代数式 $4 y^{2} - 2 y + 5$ 的值为 $7$ ，那么代数式 $2 y^{2} - y$ 的值为_______．

(2)、如图，若 $a - b = 4$ ，求长方形 $A$ 与 $B$ 的面积差．

(3)、 $A, B$ 两地相距 $150$ 千米，某日，甲从 $A$ 地出发前往 $B$ 地，同时，乙从 $B$ 地出发前往 $A$ 地．已知甲每小时行 $a$ 千米，乙每小时行 $b$ 千米，经过 $3$ 小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距 $20$ 千米的时间．

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3、综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对下列问题进行研究．
【概念认识】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d$ ．对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“奇妙点”．
【概念理解】
（1）如图1，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ ___________，在点 $P_{1} (- 1, 0)$ ， $P_{2} (2, 8)$ ， $P_{3} (3, 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21}, - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“奇妙点”是___________；
【灵活运用】
（2）如图2，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中 $D$ 点的坐标为 $(1, 1)$ ．若直线 $y = - x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“奇妙点”．求 $b$ 的取值范围；
（3）已知点 $M (- 1, 0) ， N (0, - \sqrt{3})$ ，图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心，1为半径的 $⊙ T$ ．若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为 $⊙ T$ 的“奇妙点”，直接写出 $t$ 的取值范围．

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4、习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是．

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5、数学兴趣小组借助绘图软件探究函数 $y = \frac{n x}{{(x + m)}^{2}}$ 的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（）

A、 $m > 0$ ， $n > 0$ B、 $m > 0$ ， $n < 0$ C、 $m < 0$ ， $n > 0$ D、 $m < 0$ ， $n < 0$

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6、某书店在世界读书日期间推出了“全民阅读”促销活动．嘉嘉通过图示的框图，清晰直观地呈现了书店从进货、标价到销售获利的完整流程及其相关数量信息，据此，x的值为．

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7、定义： $L (A)$ 是多项式 $A$ 化简后的项数，例如多项式 $A = x^{2} + 2 x - 3$ ，则 $L (A) = 3$ ．一个多项式 $A$ 乘多项式 $B$ 化简得到多项式 $C$ （即 $C = A \times B$ ），如果 $L (A) \leq L (C) \leq L (A) + 1$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的“好多项式”，如果 $L (A) = L (C)$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的“极好多项式”．

(1)、若 $A = x - 2$ ， $B = x + 3$ 均是关于 $x$ 的多项式，则 $B$ _________选填“是”或“不是”） $A$ 的“好多项式”；

(2)、若 $A = x - 2$ ， $B = x^{2} + a x + 4$ 均是关于 $x$ 的多项式，且 $B$ 是 $A$ 的“极好多项式”，则 $a =$ __________；

(3)、若 $A = x^{2} - x + 3 m$ ， $B = x^{2} + x + m$ 均是关于 $x$ 的多项式，且 $B$ 是 $A$ 的“极好多项式”，求 $m$ 的值．

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8、阅读理解．
已知 ${(a - 12)}^{2} + {(14 - a)}^{2} = 6$ ，求 ${(a - 13)}^{2}$ 的值．
解：由 ${(a - 12)}^{2} + {(14 - a)}^{2} = 6$ ，可得 ${[(a - 13) + 1]}^{2} + {[(a - 13) - 1]}^{2} = 6$ ．
整理得 ${(a - 13)}^{2} + 2 (a - 13) + 1 + {(a - 13)}^{2} - 2 (a - 13) + 1 = 6$ ，
$2 {(a - 13)}^{2} + 2 = 6$ ，得 ${(a - 13)}^{2} = 2$ ．
请仿照上述方法，完成下列问题：

(1)、已知 ${(a - 48)}^{2} + {(46 - a)}^{2} = 32$ ，求 ${(a - 47)}^{2}$ 的值．

(2)、已知 ${(a - 2004)}^{2} = 8$ ，求 ${(a - 2005)}^{2} + {(2003 - a)}^{2}$ 的值．

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9、作图题（不写作法，只写结论，保留作图痕迹）
已知直线 $A B$ 和直线外一点 $P$ ，用尺规作直线 $C D$ ，使 $C D$ 经过点 $P$ ，且 $C D ∥ A B$ ．

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10、如图，将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠， $C$ 点落在 $C^{'}$ ， $D$ 点落在 $D^{'}$ 处， $E D^{'}$ 的延长线交 $B C$ 于点 $G$ ，若 $∠ E F G = 65 °$ ，求 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 的度数．

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11、在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共 $50$ 个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 $n$
$1000$
$2000$
$3000$
$\begin{array}{l} 5000 \end{array}$
$8000$
$10000$
摸到黑球的次数 $m$
$650$
$1180$
$1890$
$3100$
$\begin{array}{l} 4820 \end{array}$
$6013$
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$
$0.65$
$\begin{array}{l} 0.59 \end{array}$
$0.63$
$0.62$
$a$
$0.6013$

(1)、表中 $a =$ ；

(2)、请估计：当 $n$ 很大时，摸到黑球的频率将会接近（精确到 $0.1$ ）；

(3)、估计袋子中有白球个；

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12、利用乘法公式计算下列各题：

(1)、 $102^{2}$

(2)、 $2024 \times 2026 - 2025^{2}$

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13、计算： $(x + 2) (x - 2) + 3 {(x - 1)}^{2}$ ．

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14、已知三角形的两边长分别是 $3 c m$ 和 $7 c m$ ，如果第三边长为 $x cm$ （x是整数），则三角形周长最大为 $c m$ ．

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15、如图所示，两个正方形的边长分别为 $a$ 和 $b$ ，如果 $a + b = 10$ ， $a b = 20$ ，那么阴影部分的面积是（）

A、10 B、20 C、30 D、40

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16、如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} + 2 a b - b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

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17、如图，已知 $∠ B A C = 70 °$ ，过 $A B$ 边上一点O作直线 $O D$ ，经测量 $∠ A O D = 95 °$ ，要使 $O D ∥ A C$ ，直线 $O D$ 绕点O按逆时针方向至少旋转（）

A、 $5 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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18、下列说法正确的是（）

A、经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B、如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C、在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

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19、下面四个图形中，过 $△ A B C$ 的顶点作高，以下作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(3 x)}^{2} = 3 x^{2}$ D、 $x^{6} \div x^{3} = x^{2}$

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摸球的次数 $n$	$1000$	$2000$	$3000$	$\begin{array}{l} 5000 \end{array}$	$8000$	$10000$
摸到黑球的次数 $m$	$650$	$1180$	$1890$	$3100$	$\begin{array}{l} 4820 \end{array}$	$6013$
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$	$0.65$	$\begin{array}{l} 0.59 \end{array}$	$0.63$	$0.62$	$a$	$0.6013$