沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习）-在线组卷题库

1. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + a x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ ，直线 $y = - x + 2$ 过点 $B$ 且与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点 $F$ 为直线 $B C$ 上一点（不与 $B 、 C$ 重合），作点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点 $D$ ，连接 $D C ， D F$ ，当 $△ F D C$ 是直角三角形时，求出点 $F$ 的坐标．

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2. 抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2，0)$ 和 $B (4，0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C .$ 点 $P$ 是线段 $B C$ 下方抛物线上的一个动点 $($ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $B C$ 于 $M$ ，交 $x$ 轴于 $N$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、用关于 $t$ 的代数式表示线段 $P M$ ，求 $P M$ 的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

(3)、过点 $C$ 作 $C H ⊥ P N$ 于点 $H$ ， $S_{△ B M N} = 9 S_{△ C H M}$ ，
$①$ 求点 $P$ 的坐标；
$②$ 连接 $C P$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ C P Q$ 为直角三角形，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax²+x+m（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、 C 两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，-4），点C坐标为（2，0）．

(1)、求此抛物线的函数解析式．

(2)、点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、点 P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点 P 的坐标

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4. 【问题背景】
如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C ， O A = O C = 3$ ，连接 $A C$ ．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在 $A C$ 下方的抛物线上有一点 $N$ ，过点 $N$ 作 $N D ∥ y$ 轴，交 $A C$ 于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，当点 $N$ 的坐标为多少时，线段 $M N$ 的长度最大？最大是多少？
（3）在 $y$ 轴上找一点 $Q$ ，使得 $△ A C Q$ 为等腰三角形，直接写出点 $Q$ 的坐标．

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5. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $B (3 ， 0)$ 、 $C (0 ， 3)$ 两点．

(1)、求该抛物线的函数关系式；

(2)、当 $y \geq 3$ 时，x的取值范围是多少？

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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6. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴的交点为 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 3)$ ，顶点为 $D$ ，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求二次函数解析式；

(2)、连接 $A C$ ， $A D$ ， $C D$ ，试判断 $△ A D C$ 的形状，并说明理由；

(3)、点 $P$ 为第三象限内抛物线上一点， $△ A P C$ 的面积记为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(4)、在线段 $A C$ 上，是否存在点 $F$ ，使 $△ A E F$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知抛物线顶点纵坐标为 $- 2$ ．点P在此拋物线上，其坐标为 $(m ， n)$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、当 $- 1 \leq m \leq 2$ 时，结合图象，直接写出 $n$ 的取值范围．

(3)、若此抛物线在点 $P$ 左侧部分（包括点 $P$ ）恰有三个点到 $x$ 轴的距离为1．
①求 $m$ 的取值范围．
②以 $P C$ 为边作等腰直角三角形 $P C Q$ ，当点 $Q$ 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点 $P$ 的坐标．

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8. 如图1，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C ，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA ， PF ， AF ．

(1)、求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)、如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D ，求线段PD长度的最大值；

(3)、如图2，是否存在点F ，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 过 $A (4 ， 0)$ ， $B (1 ， 3)$ 两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线 $B H ⊥ x$ 轴，交x轴于点H ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当 $△ C M N$ 为等腰直角三角形时，点N的坐标为．

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10. 已知：如图，抛物线 $y = a x^{2} + 4 x + c$ 经过原点 $O (0, 0)$ 和点 $A (3, 3)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B (m, 0)$ ，并与直线 $O A$ 交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；

(3)、过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

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11. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + m x + n$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，抛物线的对称轴交x轴于点D ，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点E是线段 $B C$ 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E运动到什么位置时， $△ C B F$ 的面积最大？求出 $△ C B F$ 的最大面积及此时E点的坐标；

(3)、在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ， C ， D ， P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

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12. 如图1，二次函数 $y = x_{}^{2} - 2 x - 3$ 的图象交 $x$ 轴于点A，点B，交 $y$ 轴于点C，过点A的直线AD与抛物线交于点D（4，5）.

(1)、请确定直线AD的解析式；

(2)、连接BC，点P是抛物线上的一个动点，过点P作 $y$ 轴的平行线交直线AD于点E，交线段BC于点F.
①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当PE=3PF时，求点P的坐标；
②设直线AD与 $y$ 轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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13. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ， $O A = O C = 3$ ，顶点为D ．

(1)、求此函数的关系式；

(2)、在 $A C$ 下方的抛物线上有一点N ，过点N作直线 $l ∥ y$ 轴，交 $A C$ 于点M ，当点N坐标为多少时，线段 $M N$ 的长度最大？最大是多少？

(3)、在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ， B ， K ， L为顶点形成平行四边形，求出K ， L点的坐标．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 经过点 $(- 1 ， 6)$ ，与x轴交于点 $A (- 4 ， 0)$ ， B两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，过点P作 $P D ∥ y$ 轴交 $A C$ 于点D，求 $P D$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、将该抛物线沿x轴向右平移 $\frac{5}{2}$ 个单位长度得到新抛物线 $y^{'}$ ，新抛物线 $y^{'}$ 的对称轴交x轴于点M，点N是直线 $A C$ 上一点，在平面内确定一点K，使得以 $C ， M ， N ， K$ 为顶点的四边形是以 $C N$ 为边的菱形，写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 点，与 $y$ 轴交于点 $C (0，3)$ ，点 $A$ 在原点的左侧，点 $B$ 的坐标为 $(3，0)$ ，点 $P$ 是抛物线上一个动点，且在直线 $B C$ 的上方．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、当点 $P$ 运动到什么位置时， $△ B P C$ 的面积最大？请求出点 $P$ 的坐标和 $△ B P C$ 面积的最大值．

(3)、连接 $P O$ ， $P C$ ，并把 $△ P O C$ 沿 $C O$ 翻折，得到四边形 $P O P' C$ ，那么是否存在点 $P$ ，使四边形 $P O P' C$ 为菱形？若存在，请求出此时点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (4 ， 0)$ ， B两点，交y轴于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P是直线 $A C$ 上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交 $A C$ 于点E ，过点P作 $A C$ 的平行线交x轴于点F ，求 $P E + \frac{\sqrt{2}}{2} P F$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、将该抛物线y沿射线 $C A$ 方向平移 $2 \sqrt{2}$ 个单位长度得到新抛物线 $y_{1}$ ，点G是新抛物线 $y_{1}$ 的顶点，点M为新抛物线 $y_{1}$ 的对称轴上一点，在平面内确定一点N ，使得以点C ， G ， M ， N为顶点的四边形是以 $M G$ 为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $D$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $D M$ 交直线 $B C$ 于点 $N$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点 $N$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、已知点 $E$ 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $F$ ，使以点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，抛物线经过点 $A (1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ， $C (0 ， \frac{10}{3})$ 三点，设点 $E (x ， y)$ 是抛物线上一动点，且在 $x$ 轴下方，四边形 $O E B F$ 是以 $O B$ 为对角线的平行四边形.
备用图

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点 $E (x ， y)$ 运动时，试求平行四边形 $O E B F$ 的面积 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出面积 $S$ 的最大值

(3)、是否存在这样的点 $E$ ，使平行四边形 $O E B F$ 为正方形?若存在，求 $E$ 点， $F$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4)

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；

(3)、M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。

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沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习）

一、直角三角形存在性

二、等腰三角形存在性

三、等腰直角三角形存在性

四、平行四边形存在性

五、菱形存在性

六、矩形存在性

七、正方形存在性