苏科版数学八年级上册3.1勾股定理的探究培优练习（一）-在线组卷题库

1. 如图，Rt△ABC，∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合。若AB=6，AC=8，则折痕 DE 的长为（）

A、4 B、 $\frac{15}{4}$ C、5 D、 $\frac{25}{4}$

查看试题解析
2. 长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $P$ 为 $A D$ 上一点，将 $△ A D P$ 沿 $B P$ 翻折至 $△ E B P$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于点 $G$ ， $P E$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，且 $O E = O D$ ．
①求证： $D P = E G$ ②求 $A P$ 的长

查看试题解析
3. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ，点D在 $A B$ 边上运动， $△ C D B$ 沿着 $C D$ 折叠得到 $△ C D B^{'}$ ，直线 $C B^{'}$ 与直线 $A B$ 相交于 $E$ 点．

(1)、如图2，若 $A C = 3$ ， $C B^{'} ⊥ A B$ ，求 $C E$ 的长度；

(2)、当 $△ A B^{'} C$ 为等腰直角三角形时，求 $A C$ 的值；

(3)、若 $A C = 3$ ， $△ E D B^{'}$ 为钝角三角形，直接写出 $B D$ 长度的取值范围．

查看试题解析
4. 已知在直角三角形 $A B O$ 中， $O A = 8 ， O B = 6$ ， D为斜边 $A B$ 中点，C为边 $O A$ 上一点．

(1)、 $O D =$ 　　　．

(2)、如图1，连结 $B C$ 交 $O D$ 于点E．当 $∠ C B O = ∠ B A O$ 时：
①求证： $O D ⊥ B C$ ；
②求 $△ B E O$ 的面积．

(3)、如图2，连结 $C D$ ，将 $△ A C D$ 沿着 $C D$ 折叠得到 $△ A^{'} C D$ ．当 $A^{'} D$ 与 $△ A B O$ 的一边平行时，求 $A C$ 的长度．

查看试题解析
5. 如图，在△ABC中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 5 c m ， B C = 3 c m ，$ 若点P从点A出发，以每秒 $1 c m$ 的速度沿射线 $A C$ 运动，设运动时间为t秒 $(t > 0)$ ．

(1)、把△ABC沿着过点P的直线折叠，使点A与点B重合，请求出此时t的值．

(2)、是否存在t值，使得 $△ A B P$ 为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

(3)、现把△ABC沿着直线 $B P$ 翻折，当t为何值时，点C翻折后的对应点 $C^{'}$ 恰好落在直线 $A B$ 上．

查看试题解析

6. （1）如图1， $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 中， $∠ B = ∠ E = ∠ A C D ， A C = C D ， B 、 C 、 E$ 三点在同一直线上， $A B = 8 ， E D = 4$ ，求 $B E$ 的长．
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 ° ， B C = 6$ ，以 $A C$ 为边在 $△ A B C$ 外部作等边 $△ A C D$ ，连接 $B D$ ，求 $△ B C D$ 的面积．
（3）如图3，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ C A B = ∠ A D C = 45 °$ ，若 $△ A C D$ 面积为21且 $C D$ 的长为8，求 $△ A B D$ 的面积．

查看试题解析
7. 如图1， $P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点，连结 $A P, B P$ ．将线段 $B P$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B P^{'}$ ，连结 $C P^{'}$ ．

(1)、求证： $△ A P B ≌ △ C P^{'} B$ ．

(2)、如图2，连结 $C P, P P^{'}$ ．
①当 $∠ A P B = 130 °$ ，且 $△ C P^{'} P$ 为等腰三角形时，求出 $∠ C P B$ 的度数．
②当 $P B = 2, A B = 6$ ，且 $P B ∥ C P^{'}$ 时，请直接写出点 $A$ 到点 $P^{'}$ 的距离．

查看试题解析

8. 已知P为等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 1, P B = 2, ∠ A P B = 15 0^{\circ},$ 则 $P C =$ .

查看试题解析
9. 如图， $P$ 是等边三角形 $A B C$ 内一点，将线段 $A P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转60°得到线段 $A Q$ ，连接 $B Q$ .若 $P A = 6 ， P B = 8 ， P C = 10$ ，则四边形 $A P B Q$ 的面积为.

查看试题解析

10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A C = 13, B A = 5$ ，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 $C - A - B$ 运动．设点P的运动时间为 $t (t > 0)$ ．

(1)、 $B C =$              ．

(2)、求斜边 $A C$ 上的高线长．

(3)、①当P在 $A B$ 上时， $A P$ 的长为             ， t的取值范围是                ．（用含t的代数式表示）
②若点P在 $∠ B C A$ 的角平分线上，则t的值为              ．

(4)、在整个运动过程中，直接写出 $△ P A B$ 是以 $A B$ 为一腰的等腰三角形时t的值．

查看试题解析
11. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ， P、Q是 $△ A B C$ 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒 $1 cm$ ，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒 $2 cm$ ，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1)、出发2秒后，求 $P Q$ 的值；

(2)、从出发几秒钟后， $△ P Q B$ 第一次能形成等腰三角形？

(3)、当点Q运动到 $C A$ 上时，求能使 $△ B C Q$ 是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值．

查看试题解析

12. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．

(1)、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{5}$ ， $B C = 2$ ．求证： $△ A B C$ 是“梦想三角形”．

(2)、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ．若 $△ A B C$ 是“梦想三角形”，求 $B C$ 的长．

查看试题解析
13. 定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”．

(1)、判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”）

(2)、如图2，在Rt△ABC中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B = 30 ° ， A C = \sqrt{3}$ ，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A = 42 °$ ，若线段 $C D$ 是 $△ A B C$ 的“和谐分割线”，且 $△ B C D$ 是等腰三角形，求出所有符合条件的 $∠ B$ 的度数．

查看试题解析

14. 根据以下素材，探索解决问题．

如何作出“倍角三角形”？
素材	如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”
问题解决
项目操作	如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 36 °$ ，请将 $△ A B C$ 分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．
项目探索	若 $△ A B C$ 是倍角三角形， $∠ A > ∠ B > ∠ C$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积．
项目拓展	如图 $2$ ， $△ A B C$ 的外角平分线 $A D$ 与 $C B$ 的延长线相交于点 $D$ ，点 $E$ 在 $C A$ 延长线上，若 $A E = A B$ ， $A B + A C = B D$ ，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

查看试题解析

苏科版数学八年级上册3.1勾股定理的探究培优练习（一）

一、折叠问题

二、全等构造法（一线三等角、旋转手拉手）

三、手拉手构造

四、等腰三角形分类讨论

五、新定义三角形