相关试卷

1、在 $Δ A B C$ 中，点D是线段AB上一动点，连接CD. 将线段CD绕点C逆时针旋转至CE，记旋转角为 $α$ ，连接AE. 取AE的中点为G，连接CG.

(1)、【特例感知】如图1，已知 $Δ A B C$ 是等腰直角三角形， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， $α = 9 0^{°}$ . 延长AC至点F，使 $A C = C F$ ，连接EF. 请直接写出EF与BD的数量关系， CG与BD的数量关系.

(2)、【类比迁移】如图2，已知 $Δ A B C$ 是等腰三角形， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 12 0^{°}$ ， $α = 6 0^{°}$ . 探究线段CG与BD的数量关系，并证明你的结论.

(3)、【拓展应用】如图3，已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 13$ ， $A C = 7$ ， $∠ A B C = 3 0^{°}$ ， $∠ A C B = 18 0^{°} - α$ . 在点D的运动过程中，求线段CG长度的最小值.

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2、已知 $f (x) = a_{1} x^{n} + a_{2} x^{n - 1} + ⋯ + a_{n - 1} x^{2} + a_{n} x + c$ （其中 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $⋯$ ， $a_{n}$ 是各项的系数，c 是常数项），我们规定 f(x)
的伴随多项式是g(x)，且 $g (x) = n a_{1} x^{n - 1} + (n - 1) a_{2} x^{n - 2} + ⋯ + 2 a_{n - 1} x + a_{n}$ . 如 $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 8$ ，则它的伴随多项式 $g (x) = 3 \times 4 x^{2} - 2 \times 3 x + 1 \times 5 = 12 x^{2} - 6 x + 5$ .
请根据上面的材料，完成下列问题：

(1)、已知 $f (x) = x^{5}$ ，则它的伴随多项式g(x) = .

(2)、已知 $f (x) = 5 x^{2} - 3 (9 x - 1)$ ，则它的伴随多项式g(x) = ▲ ；若g(x) = 13，求x的值.

(3)、已知二次多项式 $f (x) = (a + 3) x^{2} + 16 x + 21$ ，并且它的伴随多项式是g(x)，若关于x的方程 $g (x) = - 2 x$ 有正整数解，求a的整数值.

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3、甲、乙两支工程队修一条公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多20m，甲队修路500m与乙队修路300m用的天数相同.

(1)、求：甲、乙两支工程队每天各修路多少米？

(2)、计划修建长2400m的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条路的修建.若甲队每天需要费用为1.2万元，乙队每天需要费用为0.6万元，在总费用不超过54万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？

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4、为了了解某市某校学生对以下四个电视节目：A《中国诗词大会》、B《最强大脑》、C《朗读者》、D《出彩中国人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：

(1)、本次调查的学生人数为；

(2)、在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为；

(3)、请将条形统计图补充完整；

(4)、若该校共有2000名学生，估计该校最爱《最强大脑》的学生有多少人？

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5、如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点， $B E ∥ D F$ .

(1)、求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)、若 $A C = 6 \sqrt{3}$ ， $B C = 8$ ， $∠ A C B = 3 0^{°}$ ，求平行四边形ABCD的面积.

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6、如图，在四边形 ABCD 中， $∠ A = ∠ C = 9 0^{°}$ .

(1)、尺规作图：作 $∠ A B C$ 的角平分线，交 AD 于点 E.（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、画线段 $D F ∥ B E$ ，交 BC 于点 F，若 $∠ A B C = 7 0^{°}$ ，求 $∠ C D F$ .

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7、化简： $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) + \frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 4 x}$ ，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值.

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8、解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x - 3 < 2 (x + 3) ① \\ \frac{x + 2}{7} \leq 0 ② \end{array}$ ，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来.

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9、如图，线段 AB，DE 的垂直平分线交于点 C，且 $∠ A B C = ∠ E D C = 7 2^{°}$ ， $∠ A E B = 11 2^{°}$ ，则 $∠ E B D$ 的度数为.

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10、已知正整数x满足 $\frac{x - 2}{3} < 0$ ，求代数式 $(x - 2)^{115} - \frac{5}{x}$ 的值是.

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11、关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 6 - 2 x > 0 \\ 2 (x + a) \geq x + 3 \end{array}$ 至少有4个整数解，则a的取值范围是.

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12、若设 $4 + \sqrt{3}$ 的整数部分为a，则a的值为.

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13、如图，在四边形 ABCD 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = 9 0^{°}$ ， $A D = 16$ ， $B C = 21$ ， $C D = 13$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿射线 BC 以每秒 $3$ 个单位的速度运动，动点 $Q$ 同时从点 $A$ 出发，在线段 AD 上以每秒 $1$ 个单位的速度向终点 $D$ 动，当动点 $Q$ 到达点 $D$ 时，动点 $P$ 也同时停止运动. 设点 $P$ 的运动时间为t（秒），以点 $P$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形时 t 值为（）秒.

A、 $2$ 或 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{37}{4}$ 或 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{37}{3}$

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14、如图，等边三角形 ABC 的边长为 6cm，D、E 分别为 AC、AB边上的点， $A D = A E = 4 c m$ ，连接 DE，将 $△ A D E$ 绕点 D 逆时针旋转，得到 $△ E D P$ ，连接 CP，则 CP 的长是（）

A、 $\sqrt{3}$ cm B、 $2 \sqrt{3}$ cm C、4 cm D、 $\sqrt{2}$ cm

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15、已知点 $m_{1} (a + 1, 4)$ 和点 $m_{2} (3, b - 1)$ 关于x轴对称，则 $(a + b)^{2025}$ 的值为（）

A、0 B、-1 C、1 D、 $5^{2025}$

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16、冰柜里有四种饮料：2瓶可乐、3瓶咖啡、4瓶枯了水、6瓶汽水，其中可乐和咖啡是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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17、直线 $y = 2 x$ 与直线 $y = - x + 5$ 的交点坐标为（）

A、(5， 10) B、( $\frac{5}{3}$ ， $\frac{10}{3}$ ) C、(4， 8) D、( $\frac{4}{3}$ ， $\frac{7}{3}$ )

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18、下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(a + 1) (a - 1) = a^{2} - 1$ B、 $a^{2} + a + 1 = a (a + 1) + 1$ C、 $a m + b m = m (a + b)$ D、 $a^{2} + 2 a = a^{2} (1 + \frac{2}{a})$

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19、 2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功. 在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示为（）

A、 $4.84 \times 1 0^{5}$ B、 $4.84 \times 1 0^{6}$ C、 $48.4 \times 1 0^{4}$ D、 $0.484 \times 1 0^{6}$

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20、【问题背景】
如图1，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 9 0^{°}$ ， AH是 $△ A B C$ 的高， $A H = 4 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，过点C的直线 $M N ⊥ B C$ ，动点D从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以2cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒

(1)、【思考尝试】请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD=cm，CE=cm

(2)、当t为多少时， $△ A B D$ 的面积为 $12 c m^{2}$ ？

(3)、【深入探究】如图2，当点D在线段BC上，且 $A D ⊥ A E$ 时， $△ A B D$ 是否与 $△ A C E$ 全等？说明理由，此时 $C D + C E$ 的值为多少？

(4)、请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且 $A D ⊥ A E$ 时，CD与CE有什么数量关系？请说明理由.

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