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相关试卷

1、如果爬台阶上升5级台阶记作 $+ 5$ 级，那么下降8级台阶应记作（）

A、 $+ 8$ 级 B、 $+ 3$ 级 C、 $- 3$ 级 D、 $- 8$ 级

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2、某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题．

发现问题确定目标

遮阳棚抗风加固

公交车安全停靠

模型抽象

与图形表

示

遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图 $2$ 所示．

公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．）

条件与规

范整理

如图 $4$ 当风力较大时，需在棚内侧安装钢架 $A B$ （ $A B$ 为线段）加固，且在棚顶与钢架 $A B$ 之间安装一根垂直钢架 $C D$ （ $C$ 在棚顶， $D$ 在 $A B$ 上， $C D ⊥ x$ 轴）．

车身完全覆盖要求：

公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．

垂直安全间隙要求：

车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞．

实测数据

采集

棚顶最高点 $B$ 到地面距离为 $4$ 米，棚顶与立柱交点 $A$ 到地面距离为 $2$ 米， $A 、 B$ 两点水平距离为 $12$ 米．

已知车身长约 $8$ 米，公交车车厢最高点距地面约 $2.5$ 米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响．

问题解决：

(1)、如图

2

，以地面为

x

轴，过点

A

的竖直直线为

y

轴建立平面直角坐标系，求抛物线

A C B

解析式；

(2)、如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方；

(3)、如图

4

，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于

\frac{4}{9}

米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题．

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ．

(1)、如图1，过点D作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为E，求证： $C D^{2} = C E \cdot C A$ ；

(2)、如图2，在（1）条件下，点F为 $D E$ 上一点，连接 $C F$ 并延长至点G， $C G$ 交 $A D$ 于点O，连接 $A G$ 、 $D G$ ，当 $∠ C D G = ∠ C F D$ 时，判断 $△ A G C$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，平面内一点M，满足 $∠ C M D = ∠ M C D$ ， $C D = 1$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，连接 $C M$ 并延长至点H，使 $∠ C B M = ∠ C H B$ ，连接 $D H$ ，当线段 $B H$ 取最小值时，求线段 $D H$ 的长．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 上一动点（点 $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ．

(1)、尺规作图：将 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $A E$ ，连接 $B E$ ， $D E$ ．（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、 $△ B D E$ 周长的最小值是；

(3)、点 $M$ ， $N$ 分别是 $D E$ ， $B C$ 中点，连接 $M N$ ，探究 $B E$ 与 $M N$ 的数量关系．

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5、如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，且 $B C = 4$ ， $D$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 上的点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $B D$ 延长线于点 $A$ ，点 $E$ 为 $A C$ 中点，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\overset{⌢}{D C} = 2 \overset{⌢}{B D}$ ，请比较 $△ B C D$ 周长与阴影部分周长的大小．

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6、抛物线 $y = x^{2} + m x + 1$ 经过点 $M (3, - 2)$ ．

(1)、求m的值以及此抛物线最低点（或最高点）P的坐标．

(2)、已知点 $A (x - 1, y_{1})$ ， $B (x + 3, y_{2})$ ， $C (x + 2, y_{3})$ 在抛物线上且位于对称轴的左侧，有一小球沿着抛物线从左侧向点P运动的过程中，判断小球经过A、B、C三点的先后顺序，并说明理由．

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7、某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成 $A, B, C, D$ 四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______．

(2)、从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A C$ 和 $A B$ 上的点，其中 $A E = 2$ ， $A D = 3$ ， $A C = 4$ ， $A B = 6$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ；

(2)、记 $△ A D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ ______．

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9、解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ；

(2)、 $2 (x + 5) = x (x + 5)$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $I$ 是 $△ A B C$ 的内心，直线 $F G$ 经过点 $I$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ G F$ ，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最大值是．

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11、如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形 $A B C D E F$ ，已知正六边形的外接圆半径为 $6 cm$ ，则该正六边形的边心距 $O G$ 的长为 $cm$ ．

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12、如图，圆锥形的烟囱帽的侧面积是 $12 {πcm}^{2}$ ，其侧面展开图是圆心角为 $180 °$ 的扇形，则它的母线长是cm．

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13、如图，二次函数： $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与一次函数： $y = m x + n (m \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，则当 $a x^{2} + b x + c < m x + n$ 时， $x$ 的取值范围是．

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14、如图， $O P$ 和 $O^{'} P^{'}$ 是两个相距 $20$ 米且高度都为 $3 a$ 米的路灯，身高 $a$ 米的小明（ $A B$ ）晚上在路灯下沿线段 $O O^{'}$ 来回散步，则他身体前后的两个影子之和 $D C$ 的长为（）

A、 $6 m$ B、 $8 m$ C、 $10 m$ D、 $12 m$

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15、关于抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 2$ ，下列说法错误的是（）

A、图象的开口向下 B、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减少 C、图象的顶点坐标是 $(- 1, 2)$ D、图象与y轴的交点坐标为 $(0, 2)$

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16、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $E$ 为 $B C$ 延长线上一点，连接 $O D$ ， $O B$ ，若 $∠ B C D : ∠ D C E = 3 : 2$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是（）

A、 $36 °$ B、 $72 °$ C、 $120 °$ D、 $144 °$

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17、游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤 $O B$ 以 $O$ 为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动 $1$ 次的运动轨迹可以看作 $\overset{⌢}{A C}$ ，连接 $A C$ ，交 $O B$ 于点 $D$ ，已知 $O B ⊥ A C$ ， $A C = 16 m$ ， $O D = 6m$ ，则大摆锤的长度为（）

A、 $8 m$ B、 $9 m$ C、 $10 m$ D、 $12 m$

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18、下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)$ ．下列说法中：
①因式分解： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 1 = (x - y + 1) (x - y - 1)$
②若a，b，c是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b c = b^{2} + a c$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形．
③若a，b，c为实数满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} + 28 = 4 a + 8 b + 8 c$ ，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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20、 $D e e p S e e k$ 公司研发的两个 $A I$ 模型 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 共同处理一批数据．已知 $R_{2}$ 单独处理数据的时间比 $R_{1}$ 少2小时．若两模型合作处理，仅需 $1.2$ 小时即可完成．设 $R_{1}$ 单独处理需要 $x$ 小时，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1.2$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{1.2}$ C、 $x + (x - 2) = 1.2$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{1.2}$

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