相关试卷

1、综合与实践
【背景材料】
中国西汉时期（公元前2世纪)，《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践.
古希腊数学家海伦（公元1世纪)在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离.
【提出问题】如何证明“反射路径最短”?
如图①，直线l代表平面镜，点B代表一实物，点A 代表眼睛，作实物B关于平面镜l的对称点B'，连接AB'，交平面镜l于点 C，连接BC，则BC为入射光线，AC为反射光线.
求证： BC+AC最短.
【解决问题】如图，在平面镜l上另取任意一点C'（与点 C不重合) ，连接AC'， BC'， B'C'.
∵点B 与点 B'关于直线l对称，
∴直线l是BB'的垂直平分线.
∴CB=CB^' ， C^'B=    ▲         ，
$∴ A C + C B = A C + C B^{'} =$     ▲
∵在△AC'B'中， AB'<AC'+C'B'，
∴AC+CB<AC'+C'B'，即 AC+CB 最小.
在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是    ▲        .
请你完成上面填空.
【知识应用】如图②，牧马人从P地出发，先到草地边OB 某一处牧马，再到河边OA饮马，然后回到P处，请分别在OA 和OB 上各找一点E，F，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线).
【知识拓展】若图②中，∠AOB=70°，当△PEF的周长取最小值时，∠EPF的大小为    ▲        度.

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2、潮汕海鲜丸子品类丰富，其中达濠鱼丸，是潮汕家庭的 “暖心味”.炸虾丸潮菜宴席上的“鲜之精华”，某店虾丸比鱼丸每斤贵45元，用800元购买虾丸的斤数是用175元购买鱼丸斤数的2倍.

(1)、求该店虾丸和鱼丸单价分别是多少元/斤?

(2)、若公司计划购买虾丸和鱼丸共100斤，且所花费用不超过5300元，求最多能购买几斤虾丸?

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3、如图1，△ABC是等边三角形，延长AB至点D，过点 D作DE∥BC，交AC的延长线于点 E.

(1)、求证： △ADE是等边三角形.

(2)、如图2，延长DE至点 F，使得EF=AB，连接CF，CD.求证：CF=CD.

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4、下图是一个五角星，

(1)、∠1是三角形的外角，∠2是三角形的外角.

(2)、请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

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5、先化简，再求值： $\frac{1}{a - 1} - \frac{a + 2}{a^{2} - 2 a + 1} \div \frac{2 a + 4}{a - 1},$ 其中a =2.

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6、如图所示，点E， F在线段BC上， AB=DC，BE=CF， ▲ .
求证： △ABF≌△DCE.
请在上面横线中添加一个使△ABF和△DCE全等的条件，并完成证明过程.

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7、在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系.例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为S₁ ， S₂ ，则正方形的面积为 S₁+S₂ ，正方形的重心坐标G（x，y)与两个长方形的重心坐标G₁（x₁ ， y₁)， G₂（x₂ ， y₂)之间的关系为
$x = \frac{S_{1} x_{1} + S_{2} x_{2}}{S_{1} + S_{2}}, y = \frac{S_{1} y_{1} + S_{2} y_{2}}{S_{1} + S_{2}} .$
已知组合图形各顶点的坐标如图所示，则此组合图形的重心坐标为.

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8、如图是某公司的平面结构示意图，用含x、y的式子表示会议厅比办公区多出的面积为.注：（图形中的四边形均是长方形或正方形).

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9、计算： ${(\sqrt{2025 - 1})}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ .

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10、在平面直角坐标系中，点A（2025，-2026)关于x轴对称的点的坐标是 .

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11、如图，已知△ABC的周长是48cm， ∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， OD⊥BC于点D，若OD=3.5cm，则△ABC的面积是（ )cm²

A、84 B、48 C、42 D、24

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12、若a+b=5， ab=6，则 $a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值为（ )

A、6 B、24 C、30 D、150

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13、如图，在△ABC中， ∠C=90°， AB的垂直平分线交AB 于D，交BC于E，连结AE，若CE=5， AC=12， BE=13，则△ACE的周长为（ )

A、22 B、30 C、31 D、33

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14、如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形.根据图形的变化过程可以验证等式（ )

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $a (a + b) = a^{2} + a b$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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15、坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等.如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中AB段与AC段长度相等，经测量，BC段的长为8m，则AB段的长可能为（ )

A、3m B、3.5m C、4m D、5m

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16、下列分式变形正确的是（ )

A、 $\frac{- a + b}{a} = - \frac{a + b}{a}$ B、 $\frac{2 b + a}{b^{2}} = \frac{2 + a}{b}$ C、 $\frac{a + b}{a - b} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ D、 $\frac{a b}{a b - b^{2}} = \frac{a}{a - b}$

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17、如图所示， AM是△ABC的中线， △AMC的面积为2cm² ，则△ABC的面积为（ )

A、3cm² B、4cm² C、5cm² D、以上答案都不对

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18、解分式方程 $\frac{2}{x - 1} - 1 = \frac{2 + x}{x - 1}$ 时，去分母正确的是（ )

A、2-（x-2)=2+x B、2-（x-1)=2+x C、2-（x-1)=-2+x D、- 2+（x-1)=2+x

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19、如图， △ABC≌△ADE，如果AB=4， AC=5， BC=6，那么DE 的长是（ )

A、4 B、5 C、6 D、无法确定

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20、 2025年11月9日是第34个全国消防日.国务院安委会办公室、国家消防救援局定于11月份在全国开展消防宣传月活动，主题是“全民消防、生命至上—安全用火用电”.认识并熟记常见的消防标识，既是个人安全素养的体现，也是应对火灾等紧急情况的“必备技能”.以下文字上方的消防标识是轴对称图形的是（ )

A、 B、 C、 D、

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