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1、如图，已知线段 $A B$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，延长线段 $A B$ 到 $D$ ， $B D = 3 A C$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点．若 $C E = 3$ ，求线段 $D E$ 的长．

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2、解方程：

(1)、 $3 x - 7 (x - 1) = 15$ ；

(2)、 $3 x + \frac{x - 1}{2} = 2 - \frac{2 x - 1}{3}$ ．

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3、计算：

(1)、计算： ${(- 2)}^{3} \div 4 + 2 \times (- 3) - (- 5)$ ；

(2)、先化简，再求值： $2 (a^{2} b - 2 a b^{2}) - 3 (a^{2} b - 1) + 4 a b^{2}$ ，其中 $a = - 2$ ， $b = 3$ ．

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4、在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的数分别为a，b，c．下列结论：
①若 $a + b + c = 0$ ，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点左侧；
②若 $a b c > 0$ ，则在A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若 $a + b = c$ ，则点C一定在线段 $A B$ 外；
④若 $a + b = 2 c$ ，则点C一定为线段 $A B$ 的中点．
所有正确结论的序号是．

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5、关于 $x$ 的方程 $m x - 3 = 2 (\frac{1}{2} x + 2)$ 的解为整数，则自然数m的值为．

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6、已知点A，B，C，D，E的位置如图所示，下列结论：① $∠ A O B = 130 °$ ；② $∠ B O C = ∠ D O E$ ；③ $∠ C O D$ 和 $∠ B O E$ 互补；④ $∠ A O B$ 与 $∠ C O D$ 互余．所有正确结论的序号是．

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7、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上， $A B : B C : C D = 5 : 4 : 3$ ， $P$ ， $Q$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，若 $P Q = 6$ ，则 $A B$ 的长为．

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8、如图，将七边形 $A B C D E F G$ 沿虚线裁去一个角得到六边形 $A B C D Q P$ ，则该六边形的周长一定比原七边形的周长（填：“大”或“小”），其判断依据是．

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9、计算 $70 ° - 42 ° 1 0^{'} =$ ．

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10、请写出一个含有字母 $a$ 和 $b$ ，且次数为3的单项式．

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11、对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论：
①2026是“快乐数”；
②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”；
③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数”
所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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12、小明在学习了线段与角的知识之后，得到了两条结论：
甲：已知线段 $AB$ ，若平面内的点 $C$ 满足 $A C = B C$ ，则 $C$ 是线段 $AB$ 的中点；
乙：已知 $∠ A O B$ ，若射线 $OC$ 满足 $∠ A O C = ∠ B O C$ ，则 $OC$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线．
关于这两个结论，以下判断正确的是( )

A、甲错乙对 B、甲对乙错 C、甲乙都错 D、甲乙都对

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13、如图，在灯塔 $O$ 处观测到轮船 $A$ 位于北偏西 $60 °$ 的方向，同时轮船 $B$ 在南偏东 $20 °$ 的方向，那么 $∠ A O B$ 的大小为（）

A、 $170 °$ B、 $140 °$ C、 $130 °$ D、 $80 °$

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14、下列等式变形正确的是（）

A、若 $4 x = 2$ ，则 $x = 2$ B、若 $4 x - 2 = 2 - 3 x$ ，则 $4 x + 3 x = 2 - 2$ C、若 $4 (x + 1) - 3 = 2 (x + 1)$ ，则 $4 (x + 1) - 2 (x + 1) = 3$ D、若 $\frac{3 x + 1}{2} - \frac{1 - 2 x}{3} = 1$ ，则 $3 (3 x + 1) - 2 (1 - 2 x) = 1$

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15、如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点 $E$ ， $D$ ， $B$ ， $F$ 在同一条直线上，如果 $∠ A D E = 126 °$ ，那么 $∠ D B C$ 的度数为（）

A、 $54 °$ B、 $74 °$ C、 $126 °$ D、 $36 °$

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16、下列运算结果正确的是（）

A、 $5 x - x = 5$ B、 $2 x^{2} + 2 x^{3} = 4 x^{5}$ C、 $a^{2} b - a b^{2} = 0$ D、 $- 4 m n + n m = - 3 m n$

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17、如图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是（）

A、圆柱 B、三棱柱 C、圆锥 D、三棱锥

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18、中国邮政定于 $2026$ 年 $1$ 月 $5$ 日发行《丙午年》特种邮票 $1$ 套 $2$ 枚，计划发行套票 $26680000$ 套，将 $26680000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $2668 \times 10^{4}$ B、 $2.668 \times 10^{7}$ C、 $2.668 \times 10^{8}$ D、 $0.2668 \times 10^{8}$

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19、通过对图1中数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】

(1)、如图1， ∠BAE=90°， AB=AE，过点B作BC⊥AC于点 C，过点E作DE⊥AC于点E.
由∠1+∠2=90°， ∠1+∠B=90°，
得∠2=∠B.
又∠BCA=∠ADE=90°，
∴△ABC≌△EAD.
∴AC= ， BC=
∴BC+DE= .
我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；请补全上面的证明过程。

(2)、【模型应用】
如图2，∠BAG=∠DAE=90°， AB=AG，AD=AE，连接BD，EG，过A作AC⊥BD于点 C，延长CA 交EG于点 F.
求证：点F是GE的中点.

(3)、【深入探究】
如图3，在△BCG中， ∠CBG=30°. ，分别以△BCG的三边为边长向外作正方形，其中正方形ABCD 和正方形 BGHJ的面积分别是4和9， △ABJ的面积为S₁ ， △DCE 的面积为S₂ ， △GFH 的面积为S₃ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 的值为.

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20、阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角.
我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列.他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就.”其中“杨辉三角”就是一例.
在我国南宋数学家杨辉（约13世纪)所著的《详解九章算法》（1261年)一书中，用三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶)发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右)两数之和.事实上，这个三角形给出了（a+b)"（n=0，1，2，3，4…)的展开式（按a的次数由大到小的顺序)的系数规律.例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（ ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b +$ $3 a b^{2} + b^{3}$ 展开式中各项的系数；等等.
利用上面的规律，完成以下问题：

(1)、（a+b)⁵的展开式为.

(2)、（a+b)⁹的展开式中共有项，从右往左第二项的系数是.

(3)、计算： $5^{6} - 6 \times 5^{6} \times 7 + 15 \times 5^{4} \times 7^{2} - 20 \times 5^{3} \times 7^{3} + 15 \times 5^{2} \times 7^{4} - 6 \times 5 \times 7^{5} + 7^{6}$

(4)、代数推理：已知x为整数，求证： ${(x + 5)}^{5} - {(x - 5)}^{5}$ 能被50整除.

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