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1、如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB 相交于点D，E.

(1)、当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 垂直时(如图①)，请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理由.

(2)、当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 不垂直，到达图②的位置，(1)中的结论是否成立?判断并说明理由.

(3)、当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否还成立?请在图③中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE 与OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.

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2、如图，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.求证： $B D^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

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3、如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 的内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC.给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④ $B E^{2} = 2 (A D^{2} + A B^{2}) - C D^{2}$ .
其中正确的是( ).

A、①②③④ B、②④ C、①②③ D、①③④

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4、如图，若Rt△ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD，则. $A E^{2} + B D^{2}$ 与AB² 的比值为( ).

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5、如图，在△ABC 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3} ， ∠ B A C = 12 0^{\circ}$ ，点 D，E 都在边 BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE，则DE 的长为.

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6、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于D点，BE⊥AC 于E 点，F 为BC 中点，BE 与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE.

(1)、求证：BH=AC.

(2)、求证： $B G^{2} - G E^{2} = E A^{2}$ .

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7、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高为( ).

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{10} \sqrt{5}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{4}{5} \sqrt{5}$

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8、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= $\sqrt{2}$ ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC，连接 BM，则 BM 的长为.

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9、如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿AC 方向下滑 xm时，梯足 B 沿CB 方向滑动ym，则x 与y的大小关系是( ).

A、x=y B、x>y C、x<y D、不确定

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10、如图，在△ABC 中，AB =BC=4，AO=BO，P 是射线CO上的一个动点， $∠ A O C = 6 0^{\circ}$ ，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为.

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11、如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C A = C B ， C D$ 为斜边 $A B$ 上的中线．

(1)、如图1， $A E$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B C$ 于E，交 $C D$ 于F，若 $D F = 2$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、将图1中的 $△ A D C$ 绕点D顺时针旋转一定角度得到 $△ A D N$ ，如图2，P，Q分别为线段 $A N ， B C$ 的中点，连接 $A C ， B N ， P Q$ ，求证： $B N = \sqrt{2} P Q$ ；

(3)、如图3，将 $△ A D C$ 绕点A顺时针旋转一定角度到 $△ A M N$ ，其中D的对应点是M，C的对应点是N，若B，M，N三点在同一直线上，H为 $B N$ 中点，连接 $C H$ ，猜想 $B M ， M N ， C H$ 之间的数量关系，请直接写出结果．

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12、如图， $△ A B D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = B D$ ， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $B$ 作直线 $D C$ 的垂线，垂足为 $E$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径 $r = 5$ ， $A B = 8$ ，求 $B E$ 的长．

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13、解分式方程： $\frac{4 x}{x - 2} = 1 - \frac{8}{2 - x}$

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14、如图，已知点 $P$ 为⊙O外一点．尺规作图：
（1）连接 $O P$ ，作线段 $O P$ 的中点 $C$ ；
（2）以点 $C$ 为圆心，以线段 $C O$ 的长为半径作⊙C，与⊙O交于 $A$ ， $B$ 两点；
（3）作射线 $P A$ ， $P B$ ．
不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 垂直平分 $A B$ ，延长 $B C$ 至点E， $∠ B = 33^{°}$ ，则 $∠ A C E =$ ．

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16、在△ABC中，∠ABC=90°.

(1)、如图①，分别过A，C两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M，N，求证：△ABM∽△BCN.

(2)、如图②，P 是边BC上一点， $∠ B A P = ∠ C, t a n ∠ P A C = \frac{2 \sqrt{5}}{5},$ 求 tanC的值.

(3)、如图③，D 是边CA 延长线上一点， $A E = A B, ∠ D E B = 9 0^{\circ}, s i n ∠ B A C = \frac{3}{5}, \frac{A D}{A C} = \frac{2}{5},$ 直接写出 tan∠CEB 的值.

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17、如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是( ).

A、 $s i n B = \frac{1}{3}$ B、 $s i n C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $t a n B = \frac{1}{2}$ D、 ${s i n}^{2} B + {s i n}^{2} C = 1$

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18、如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 在AB 的延长线上，PC，PD 与⊙O 相切，切点分别为C，D.若AB=6，PC=4，则sin∠CAD 等于( ).

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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19、如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠DAB=60°，AE 分别交BC，BD 于点E，F，CE=2，连接CF.以下结论：①△ABF≌△CBF；②点 E 到AB 的距离是2 $\sqrt{3}$ ③tan∠DCF= $\frac{3 \sqrt{3}}{7}$ ；④△ABF 的面积为 $\frac{12 \sqrt{3}}{5} .$ 其中一定成立的是(把所有正确结论的序号填在横线上).

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20、如图①，D为⊙O上一点，点C在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD.

(1)、判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.

(2)、若 $t a n ∠ A D C = \frac{1}{2}, A C = 2,$ 求⊙O 的半径.

(3)、如图②，在(2)的条件下，∠ADB 的平分线DE 交⊙O 于点E，交AB 于点F，连接BE.求sin∠DBE 的值.

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