相关试卷

1、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，连接 $O C$ ，作直线 $C E ⊥ O C$ ，交直线 $A B$ 于点E，交 $∠ B O C$ 的角平分线于点D，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $A D$ 交 $O C$ 于点F．若 $\frac{C F}{O F} = \frac{1}{2}$ ， $B D = 7$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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2、如图，直线 $y = 2 x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (3, m)$ ，与 $y$ 轴交于 $B (0, - 4)$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上一动点（不包含端点），过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象于点 $Q$ ，连接 $O P$ ， $O Q$ ．

(1)、求这个反比例函数的表达式；

(2)、当 $△ O P Q$ 面积最大时，求点 $P$ 的坐标．

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3、两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型．

(1)、“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？

(2)、由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价．

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4、某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用 $x$ 表示，且得分为整数，共分为5组． $A$ 组： $0 \leq x < 60$ ， $B$ 组： $60 \leq x < 70$ ， $C$ 组： $70 \leq x < 80$ ， $D$ 组： $80 \leq x < 90$ ， $E$ 组： $90 \leq x \leq 100$ ），下面给出了部分信息：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99．九年级被抽取的学生测试得分中 $D$ 组包含的所有数据为88，88，85，88，88，84，85，87．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表

平均数
众数
中位数
八年级
79
$a$
84
九年级
79
88
$b$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中： $a =$ ________， $b =$ ________， $m =$ ________；

(2)、在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率．

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5、化简： $(\frac{2 x + 1}{x + 1} + x - 1) \div \frac{x + 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，将 $A B$ 沿射线 $B C$ 的方向平移至 $A^{'} B^{'}$ ，连接 $A A^{'}$ ，设 $A^{'} B^{'}$ 与 $A C$ 的交点为O．若 $B^{'}$ 为 $B C$ 的中点，求证： $△ A O A^{'} ≌ △ C O B^{'}$ ．

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7、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $A O C D$ 的顶点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，顶点 $D$ 在 $y$ 轴正半轴上，顶点 $A$ 的坐标为 $(- 2, 4)$ ，点 $E$ 为 $y$ 轴上一点，将 $△ D E C$ 沿 $C E$ 翻折得 $△ F E C$ ，若点 $F$ 落在第二象限且 $O F = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ，则点 $E$ 的坐标是．

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8、要使 $\sqrt{2 x + 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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9、如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 $A B C D$ ，连接 $A E$ ， $D E$ ，若 $A D = A E$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ，则正方形 $A B C D$ 的边长是（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10、“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若 $x = - 3$ ， y比x大2，将x，y填入图②的幻方中，则 ${(b - a)}^{3} \cdot |c - d|$ 的值为（）

A、12 B、16 C、 $- 12$ D、 $- 16$

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11、在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如下的统计表：
花费（元）
20
30
40
50
60
人数
8
12
12
6
2
对表示班级里本学期购买课外书费用情况的40个数据，其中位数是（）

A、25 B、30 C、35 D、40

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12、如图，在 $Rt △ A C B$ 中， $B C = 3$ ， $A B = 5$ ， $∠ B C A = 90 °$ ，在 $A C$ 上取一点E，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折得到 $△ A^{'} B E$ ，使得点 $A^{'}$ 落在直线 $B C$ 上，则 $A E$ 的长度为（）

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

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13、将分式 $\frac{2 x y}{x - y}$ 中的 $x$ 、 $y$ 的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的2倍 B、缩小为原来一半 C、保持不变 D、无法确定

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14、2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕．共设32个大项，329个小项，下列四种图案是巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、估计 $\sqrt{13} - 1$ 的值在（）

A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、无法判断

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16、小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A N$ 为 $B C$ 边上的高， $\frac{A D}{A N} = m$ ，点 $M$ 在 $A D$ 边上，且 $B A = B M$ ，点 $E$ 是线段 $A M$ 上任意一点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折得 $△ F B E$ ．

(1)、问题解决：如图1，当 $∠ B A D = 60 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折后，使点 $F$ 与点 $M$ 重合，则 $\frac{A M}{A N} =$ ______；

(2)、问题探究：如图2，当 $∠ B A D = 45 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折后，使 $E F ∥ B M$ ，求 $∠ A B E$ 的度数，并求出此时 $m$ 的最小值；

(3)、拓展延伸：当 $∠ B A D = 30 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折后，若 $E F ⊥ A D$ ，且 $A E = M D$ ，请直接写出m的值．

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17、如图①， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = 12, C$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的任意一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，过点 $A$ 作射线 $A D ⊥ A C, D$ 为射线 $A D$ 上一点，连接 $C D$ ．
【特例感知】
（1）若点 $C 、 D$ 在直线 $A B$ 同侧，且 $∠ A D C = ∠ B$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；
【深入探究】
（2）若在点 $C$ 的运动过程中，始终有 $\tan ∠ A D C = \sqrt{3}$ ，连接 $O D$ ，如图②，当 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $O D$ 的长．

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18、某服装大卖场以每件 $60$ 元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量 $m$ （件）与每件的销售价 $x$ （元）之间的函数关系为 $m = 300 - 3 x$ ．

(1)、当每天的销售量为 $45$ 件时，求销售这种服装的毛利润；

(2)、如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润．

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19、计算： ${(- 1)}^{2025} + {(π + 3.14)}^{0} \times {(- 2)}^{4} - 2 \cos 60 °$ ．

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 12, B C = 16, ∠ B A D = ∠ A B C = 90 °$ ， $F$ 为 $A B$ 上一点，连接 $F C$ 、 $F D$ ，使 $F D = C D$ ，若 $E$ 为 $F C$ 的中点，连接 $A E$ ，则 $A E$ 的长为．

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	平均数	众数	中位数
八年级	79	$a$	84
九年级	79	88	$b$

花费（元）	20	30	40	50	60
人数	8	12	12	6	2