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1、如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s ，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s ，连接PQ ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：

(1)、AP＝， AQ＝；（用含t的代数式表示）

(2)、当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？

(3)、点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

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2、一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，
如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB ， AC上．

(1)、求证：△AEF∽△ABC；

(2)、如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？

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3、在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (0, 2)$ 、 $B (1, 3)$ 、 $C (2, 1)$ ．

(1)、在坐标系中画出 $△ A B C$ 关于y轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与 $△ A B C$ 位似比为2的位似图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、求出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积．

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4、受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽 $A B$ ．如图，从B处沿与 $A B$ 垂直的直线方向走 $45 m$ 到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走 $20 m$ 到达D处，再右转 $90 °$ 走到E处，使点A ， C ， E恰好在同一条直线上，此时量得 $D E = 32 m$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ E D C$ ．

(2)、求河宽 $A B$ 的长．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 在 $A B$ 边上，连接 $C D$ ， $A C = 4$ ， $A D = 2$ ， $B D = 6$ ，求证： $△ A C D ∽ △ A B C$ ．

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6、如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在 $B^{'}$ 处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点 $C^{'}$ 处，EF为折痕，连接 $A C^{'}$ ．若CF＝3，则 $\frac{B' C'}{A' B'}$ ＝．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 10 c m$ ， $B C = 20 c m$ ，点P从点A开始沿边 $A B$ 向点B以 $1 c m / s$ 的速度移动，点Q从点B开始沿边 $B C$ 向点C以 $2 c m / s$ 的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过秒钟， $△ P B Q$ 与 $△ A B C$ 相似．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为边 $A C$ 上的一点，选择下列条件：
① $∠ 2 = ∠ A$ ；② $∠ 1 = ∠ C B A$ ；③ $\frac{B C}{A C} = \frac{C D}{B C}$ ；④ $\frac{B C}{A C} = \frac{D B}{A B}$ 中的一个，
能得出 $△ A B C$ 和 $△ B C D$ 相似的是：（填序号）．

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9、如图，线段BD ， CE相交于点A ， DE∥BC ．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为

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10、若 $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ ，则 $\frac{y + z}{3 x - y}$ 的值是．

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11、如图，正方形 $A B C D$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 上，且 $A F : F B = 1 : 2$ ， $C E ⊥ D F$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A D$ 于点 $E$ ，
$A C$ 与 $D F$ 交于点 $N$ ，延长 $C B$ 至 $G$ ，使 $B G = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $G M$ ．有如下结论：
① $D E = A F$ ；② $A N = \frac{\sqrt{2}}{4} A B$ ；③ $∠ A D F = ∠ G M F$ ；④ $S_{Δ A N F} : S_{四边形 C N F B} = 1 : 8$ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③④

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为线段 $B C$ 上一动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = ∠ B = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ ．

下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学： $△ A B D ∽ △ D C E$ ；
乙同学：若 $A D = D E$ ，则 $B D = C E$ ；
丙同学：当 $D E ⊥ A C$ 时， $D$ 为 $B C$ 的中点．
则下列说法正确的是（　）

A、三个同学都正确 B、只有乙和丙同学正确 C、只有甲和丙同学正确 D、只有甲同学正确

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13、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 78 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，下列阴影部分的三角形与原 $△ A B C$ 不相似的是（　）

A、 B、 C、 D、

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14、如图，D是 $△ A B C$ 边 $A B$ 上一点，添加一个条件后，仍不能使 $△ A C D ∽ △ A B C$ 的是（　）

A、 $∠ A C D = ∠ B$ B、 $∠ A D C = ∠ A C B$ C、 $\frac{A D}{A C} = \frac{C D}{B C}$ D、 $A C^{2} = A D \cdot A B$

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15、已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（　）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $5 \sqrt{5} - 5$ C、 $5 - \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{5} - 1$

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16、如图，已知AB $/ /$ CD $/ /$ EF ，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（　）

A、6 B、5.5 C、4 D、4.5

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17、已知 $\frac{a}{5} = \frac{b}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值是（　）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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18、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA＝ $\sqrt{3}$ ， OA的长是一元二次方程x²－3x－18＝0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q ，交对角线OB于点P.动点M从点O以每秒1个单位的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位的速度沿BO向终点O运动，M ， N两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、求点P的坐标．

(2)、连接MN ， PM ，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数表达式．

(3)、当t＝3时，在对角线OB上是否存在一点E ，使得△MNE是含30°角的等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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19、阅读下列材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高．在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对于△ABC ， a ， b ， c分别为∠A ， ∠B ， ∠C的对边，则其面积S＝ $\frac{1}{2}$ absin C＝ $\frac{1}{2}$ bcsin A＝ $\frac{1}{2}$ casin B.

(1)、如图①，在△ABC中，∠A＝30°，b＝2，c＝3，求△ABC的面积；

(2)、如图②，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，D为AC上一点，求证：BD＝ $\frac{2 s i n （ ∠ 1 ＋ ∠ 2 ）}{2 s i n ∠ 1 ＋ s i n ∠ 2}$ ；

(3)、正数a ， b ， c ， d ， e ， f满足a＋b＝c＋d＝e＋f＝1，求证：af＋bc＋de＜1.

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20、中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m ， CE＝1.6 m，GH⊥CD ， GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列各题：(结果精确到0.1 m ，参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.73)

(1)、求PQ的长；

(2)、该充电站有20个停车位，求PN的长．

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