相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，点D是 $A B$ 上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段 $D C$ 顺时针旋转 $120 °$ 得到线 $D E$ ．

(1)、如图1，当 $∠ A C D = 15 °$ 时，求 $∠ B D E$ 的度数；

(2)、如图2，连接 $B E$ ，当 $0 ° < ∠ A C D < 90 °$ 时， $∠ A B E$ 的大小是否发生变化？如果不变求， $∠ A B E$ 的度数；如果变化，请说明理由；

(3)、如图3，点M在CD上，且 $C M : M D = 3 : 2$ ，以点C为中心，将线CM逆时针转 $120 °$ 得到线段CN，连接EN，若 $A C = 4$ ，求线段EN的取值范围．

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2、观察下列等式：
$S_{1} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}}$
$S_{2} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} + \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$
$S_{3} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} + \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}} + \sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}}$
……
则 $S_{10}$ 的值为．

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3、如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E是 $O A$ 的中点，点F是 $O D$ 上一点．连接 $E F$ ．若 $∠ F E O = 45 °$ ，则 $\frac{E F}{B C}$ 的值为．

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4、将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为 $2$ ，弧长为 $\frac{4 π}{3}$ ，则扇形的圆心角大小为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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5、 $- 2$ 的绝对值是（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\pm 2$

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6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点 F. G是AB上一点， GD交AC于点 H，且. $A B = A C, B G = D G .$

(1)、求证： $∠ A B C = ∠ D B E + ∠ E;$

(2)、求证： $A H^{2} = H F \cdot H C;$

(3)、若 $t a n ∠ A B C = \sqrt{5}, A D = 2 D E, C D = \sqrt{6},$ 求 $△ A G H$ 的周长.

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7、阅读材料，回答问题.

主题	两个正数的积与商的位数探究
提出问题	小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（ $(m + n - 1)$ 位的正整数.
分析探究	问题1 小明的猜想是否正确?若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
推广延伸	小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 $a \times 10 ⁿ,$ 则称这个数的位数是 n+1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A，B，C的位数分别为m ， n ， p，数字分别为a ， b ， c ，且A×B=C，则必有c≥a且c≥b ，或c＜a且c＜b.并且，当c≥a且 c≥b时，p = m+n-1；当c＜a且c＜b时，p =m+n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 $a \times 10 ᵐ^{-}^{1},$ $b \times 10 ⁿ^{-}^{1}, c \times 10 ᵖ^{-}^{1},$ 其中a ， b ， c均为正数. 由A×B=C，得 $a b \times 10 ᵐ^{+} ⁿ^{-}^{2} = c \times 10 ᵖ^{-}^{1},$ 即 $\frac{a b}{c} = 10 ᵖ^{-} ᵐ^{-} ⁿ^{+}^{1} .$ （ * ）当c≥a且c≥b时， $\frac{a}{c} \leq 1,$ 所以 $\frac{a b}{c} \leq b ＜ 10,$ 又 $\frac{a b}{c} \geq \frac{a}{c} > \frac{1}{10},$ 所以 $\frac{1}{10} ＜ \frac{a b}{c} ＜ 10 .$ 由（）知， $\frac{a b}{c} = 1,$ 所以 $p = m + n - 1;$ 当c≥a且c＜b时， $\{\begin{matrix} \frac{a}{c} \leq 1 ， \\ \frac{b}{c} > 1 ， \end{matrix}$ ，所以 $\{\begin{matrix} \frac{a b}{c} \leq b ＜ 10, \\ \frac{a b}{c} > a \geq 1 ， \end{matrix}$ 所以 $1 ＜$ $\frac{a b}{c}$ $＜ 10,$ 与（）矛盾，不合题意；当c＜a且c≥b时，① ；当c＜a且c＜b时，② 综上所述，命题成立.
拓展迁移	问题2 若正数A，B的位数分别为m ， n ，那么 $\frac{A}{B}$ 的位数是多少?证明你的结论.

(1)、解决问题1；

(2)、请把①②所缺的证明过程补充完整；

(3)、解决问题2.

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8、在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的图象过点A（1，t）， B（2，t）.

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的最大值为 $1 - \frac{3}{4} a^{2} .$
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若 $M (x_{1}, m), N (x_{2}, m)$ 为该二次函数图象上的不同两点，且 $m \neq 0,$
求证： $\frac{{(x_{1} - 1)}^{2}}{m} = \frac{x_{2} - 2}{x_{1} - 2} .$

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9、如图，矩形ABCD中， $A B ＜ A D .$

(1)、求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $A B = 2, A D = 4,$ ，求（1）中所作的正方形的边长.

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10、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D是AB的中点， $C E ⟂ B C,$ ，垂足为 C，EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD 于点 G.

(1)、求 $∠ D C E$ 的大小；

(2)、求证： $△ C E G$ 是等边三角形.

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11、甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
日期
队员
2月10日
2月21日
3月5日
3月14 日
3月25 日
4月7日
4月17 日
4月27 日
5月8日
5月20日
甲
75
80
73
81
90
83
85
92
95
96
乙
82
83
86
82
92
83
87
86
84
85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 ${\bar{x}}_{甲} = 85, {\bar{x}}_{乙} = 85;$ 方差分别是 $s_{甲}^{2} = 58.4,$ $s_{乙}^{2} = a .$
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
年份
2020
2021
2022
2023
2024
获奖分数线
90
89
90
89
90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：

(1)、计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；

(2)、计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；

(3)、若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适?为什么?

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12、先化简，再求值： $(2 + \frac{1 - a}{a})$ $\div$ $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a},$ 其中 $a = \sqrt{5} - 1 .$

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13、如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， $∠ C B E = ∠ C D F, ∠ A C B = ∠ A C D .$ 求证： $A B = A D .$

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14、计算： $2^{0} + ∣ 1 - \sqrt{2} ∣ - \sqrt{8} .$

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15、弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx ，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为千克.

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16、某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
项目
员工
听
说
读
写
最终成绩
甲
A
70
80
90
82
乙
B
90
80
70
82
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是AB.（填“＞”“=”或“＜”）

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17、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB， CD 分别相交于点 E，F.若 $O A = 2, O D = 1,$ 则△AOE 与△DOF 的面积之和为.

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18、若反比例函数 $y =$ $\frac{k}{x}$ 的图象过点 $(- 2, 1),$ ，则常数 k=.

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19、某房梁如图所示，立柱AD⊥BC， E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m ，则DE的长为m.

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20、为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加1.5kg 记作 $+ 1.5,$ ，那么体重减少1kg应记作.

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
获奖分数线	90	89	90	89	90