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1、【课本再现】
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
【定理证明】
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：DE∥BC且。以下是小明的证明思路：如图2延长DE到点F，使EF=DE，连接CF。
(1)、请你根据小明添加的辅助线，写出完整的证明步骤。(2)、【知识应用】如图3，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边中点。若AC=BD，则四边形EFGH的形状是（ ）。A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、无法确定(3)、如图4，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点H，E，F分别为边AB，CD的中点，连接EF，分别交BD，AC于点M，N，且HM=HN。求证：BD=AC。 -
2、如图，已知点P(1，2)在一次函数y=mx(m≠0)的图象上，过点P作x轴垂线，垂足为点A，点A、Q(q，1)都在一次函数y=kx+b(k>0)的图象上，直线y=mx与直线y=kx+b交于点B。
(1)、求m的值；(2)、如果△APQ的面积是4，求k、b的值；(3)、在⑵的条件下，点C在函数y=mx的图象上，如果 ， 求点C的坐标。 -
3、先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1。
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则：
原式=A2+2A+1=(A+1)2。再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2。
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)、因式分解：(x-y)2+2(x-y)+1=；(2)、证明：无论a，b取何值时，(a2b2-4a)(a2b2-4a-2)+1的值一定是非负数。 -
4、深圳大鹏半岛、梧桐山、深圳湾红树林是本地知名文旅地标，“深圳城市纪念徽章”深受游客喜爱.旅游旺季期间，某深圳文创商铺店主备货售卖城市纪念徽章。店主第一次采购一批纪念徽章，总花费8000元且全部售罄；再次补货时，第二批徽章单枚进价比第一批贵5元，采购总费用36000元，采购数量是第一批的4倍。(1)、求第一批、第二批纪念徽章每枚的进价分别是多少元？(2)、求第一批、第二批分别采购了多少枚纪念徽章？(3)、店主统一标价售卖全部徽章，仅最后100枚打八折优惠；销售期间额外人工、场地成本合计2000元。若全部卖完后总利润不低于12800元，求单枚纪念徽章标价至少为多少元？
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5、如图，等腰△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC， ， O是AD中点。E在AB上，且∠DAB=∠OEA，△AOE绕点O旋转180°得△DOF，DF交AC于点G，则S△ADG=。
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6、某水池上方有一个进水管，底部有一个排水管，先打开进水管，3小时后同时打开排水管(进水和排水都是匀速的)，该水池内水的体积V(m3)与时间t(h)之间的函数关系如图所示、则水池从开始进水到全部排出所需要的时间是(h)。
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7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB。若 DE=2，则AC=。
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8、分解因式：4y2-(x+y)2=。
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9、不等式-x+2≥2的解集是。
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10、数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形(如图 1)，即它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，▱EFGH被分割成13个小正三角形(如图2)，已知中间最小的两个正三角形△ABC 和△ADC 边长均为 2，则▱EFGH 的周长为( )
A、78 B、64 C、80 D、72 -
11、下列各选项中因式分解正确的是( )A、x2-9y2=(x-3y)(x+3y) B、x2-4x+4=x(x-4)+4 C、x2-1=(x-1)2 D、x2-xy+x=x(x-y)
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12、对于只含一个字母的代数式，我们把代数式本身作为字母的值代入代数式中称为一次“自代入”操作，例如：对分式 进行一次“自代入“操作得 化简后得 对于分式 进行第一次“自代入“操作得： 化简后得的式子记作 对F2进行第二次“自代入”操作，化简后的式子记作F3，继续对F3进行第三次“自代入”操作，化简后的式子记作F4，…，以此类推重复“自代入”操作，以下结论正确的有( )个.
②若 则 ③若整数 m 使得 的值也为整数，则 的值有4个。
A、0 B、1 C、2 D、3 -
13、小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x+y，x-y，a+b，a-b，a2-b2分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将(x-y)a2+(y-x)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )A、灵宝美 B、我爱灵宝 C、我美 D、爱灵宝
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14、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A、(x+1)(x-1)=x2-1 B、3x-3y=3(x-y) C、x2-2x+1=x(x-2)+1 D、x(x-2y)=x2-2xy
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15、在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，若点A(2，-5)的对应点A'的坐标为(-1，-3)，则点B(-1，1)的对应点B'的坐标是( )A、(-2，3) B、(2，3) C、(-4，-1) D、(-4，3)
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16、围棋是中华民族发明的博弈活动。下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )A、
B、
C、
D、
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17、如图，已知在直角△ABC中，∠ABC=90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D。
(1)、如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE=∠CDF。①求证：△ABF≌△DBF；
②求证：
(2)、如图3，若∠C=45°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，请求出的值。 -
18、我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形。(1)、根据“奇异三角形”定义，等边三角形奇异三角形，(填“是”或“不是”)；(2)、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；(3)、如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE，求证：△ACE是奇异三角形。
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19、图1是远光超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8dm，AB=6dm，两轮中心的距离BC=10dm。
(1)、判断△ABC的形状，并说明理由。(2)、若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm，AE=5dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到BC的距离。 -
20、如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D。
(1)、若∠ADM=50°，求∠DBC的度数；(2)、若AB=10，BC=4，求△BDC的周长。