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1、感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为 $x + y$ 的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ${(x + y)}^{3} =$ _____；
拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 $y^{2} (x - y)$ ，乙长方体的体积为 $x y (x - y)$ ，丙长方体的体积为 $x^{2} (x - y)$ ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为 $x^{3} - y^{3} = y^{2} (x - y) + x y (x - y) + x^{2} (x - y) = (x - y) (y^{2} + x y + x^{2})$ ．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的 $x$ 与 $y$ 的值分别相等，且满足 $x + y = 10$ ， $x y = 20$ ，其中 $x > y$ ，求 $\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$ 的值．

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2、【提出问题】
（1）将一次函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______；
【初步思考】
（2）将一次函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点， $A (0, 4)$ ， $B (2, 0)$ ，将它们沿着 $x$ 轴方向向左平移3个单位长度，得到点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 的坐标分别为 $A^{'}$ ________； $B^{'}$ ______；从而求出经过点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 的直线对应的函数表达式为_______；
【深度思考】
（3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题：
①如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2, 0)$ ，点 $B (4, 1)$ ，点C在第一象限内，若 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______．
②如图2，将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点A逆时针旋转 $45 °$ ，求出所得图象对应的函数表达式．
【拓展应用】
（4）如图3，在平面直角坐标系中，已知 $A (1, 0)$ ，点C是y轴上的动点，线段 $C A$ 绕着点C按逆时针方向旋转 $90 °$ 至线段 $C B$ ， $C A = C B$ ，连接 $B O$ 、 $B A$ ，则 $B O + B A$ 的最小值是________．

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3、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $B E ⊥ A C$ 于点E， $A D ⊥ B C$ 于点D， $B E$ 与 $A D$ 相交于F．

(1)、求证： $B F = A C$ ；

(2)、若 $C D = 5$ ，求 $A F$ 的长．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2, 2)$ ， $B (0, 5)$ ， $C (0, 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 以点C为旋转中心旋转 $180 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ．请画出 $△ A B_{1} C$ ；

(2)、平移 $△ A B C$ ，若点A的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(- 2, - 6)$ ，请画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕某一点旋转可以得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，写出旋转中心的坐标：______．

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5、分解因式：

(1)、 $x y^{3} - x y$ ；

(2)、 $- a + 2 a^{2} - a^{3}$ ．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $G$ 为 $A B$ 的中点，直角 $∠ M G N$ 绕点 $G$ 旋转，它的两条边分别交 $C A$ ， $B C$ 的延长线于点 $E$ ， $F$ ，连接 $E F$ ，当 $A E = 6$ ， $B F = 10$ 时， $E F$ 的长为________．

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7、座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面 $A B$ 始终保持水平状态，支撑架 $A C 、 B D$ 与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背 $A E$ 的长度为 $50 cm$ ，当椅背 $A E$ 与椅面 $A B$ 的夹角从 $150 °$ 调整到 $120 °$ 时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约________ $cm$ ．（结果精确至 $0.1 cm$ ．参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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8、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $|x - 3| + \sqrt{y - 7} = 0$ ，则以 $x$ ， $y$ 的值为两边长的等腰三角形的周长是________．

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9、如图，把正方形铁片 $O A B C$ 置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为 $(0, 4)$ ，点 $P (2, 3)$ 在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 $90 °$ ，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（）

A、 $(80, 2)$ B、 $(80, 3)$ C、 $(82, 3)$ D、 $(82, 2)$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 为直角，用无刻度的直尺和圆规在 $A C$ 边上确定一点P，使点P到 $A B$ ， $B C$ 的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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11、下列命题中真命题是（）

A、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于 $60 °$ ”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于 $60 °$ ” B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C、等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D、三角形的外角等于它的两个内角之和

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12、如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计)；如图2是哥哥和元元两人距学校的距离y（米）与时间 $x$ （分）之间的函数关系．

(1)、请直接写出哥哥与元元两人的速度（米／分）.

(2)、根据图象信息，请求出 $m$ 与 $n$ 的值.

(3)、求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米.

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13、如图，在Rt $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 9 0^{°}, A B = 5, A C = 12$ ，点 $D$ 在AC上.连结BD，过点 $A$ 作 $A F ⊥ B D$ 交BD于点 $E$ ，交BC于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A E D ~ △ B A D$ .

(2)、过点 $F$ 作 $F G ⊥ A C$ 交AC于点 $G$ ，若 $A D = \frac{5}{2}$ ，求AG的长.

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14、随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大.为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调査结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

(1)、此次调查中，各企业投放充电桩的总量为万台，扇形 $E$ 的圆心角为度.

(2)、某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率．

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15、尺规作图问题：
如图1，已知点 $D$ 是 $∠ A B C$ 的其中一边BA上一点，用尺规作图方法作 $D E / / B C, D B = D F$ .

(1)、连结BF，根据作图痕迹，请说明BF平分 $∠ A B C$ .

(2)、如图2，以 $B$ 为圆心，BD长为半径作弧，交BC于点 $G$ ，连结FG.
求证：四边形BGFD是菱形.

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16、先化简，再求值： $2 a^{2} (a + 1) + 6 a (- \frac{1}{3} a^{2} - a + 2)$ ，其中 $a = - 1$ .

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17、计算： $| - 2 | + (2025 + π)^{0} + c o s 6 0^{°}$ .

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18、如图，已知点 $P$ 是正六边形ABCDEF内一点，连结PE，PF，PB，PC.若 $S_{△ P E F} = 3 \sqrt{3}$ ， $S_{△ P B C} = 5 \sqrt{3}$ ，则AB的长为.

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19、如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象上，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴交 $x$ 轴于点 $B, A C ⊥ y$ 轴交 $y$ 轴于点 $C$ ，连结OA.若矩形OBAC的周长为8，对角线OA的长为 $\sqrt{10}$ ，则 $k$ 的值为．

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20、已知一个不透明的布袋里装有4个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同.从中任意摸出一个球，恰好摸到黑球的概率是．

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