相关试卷

1、计算2-(-3)的结果是( )

A、-1 B、1 C、-5 D、5

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2、学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1， $A$ 型卡片是边长为 $a$ 的正方形， $B$ 型卡片是边长为 $b$ 的正方形， $C$ 型卡片是长和宽分别为 $a$ ， $b$ 的长方形．

(1)、选取1张 $A$ 型卡片，2张 $C$ 型卡片，1张 $B$ 型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方式表示大正方形的面积，可得到等式：；

(2)、如果用若干张 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为 $(2 a + b)$ 和 $(a + 2 b)$ ，在虚线框中画出你的拼图；

(3)、取出一张 $A$ 型卡片，一张 $B$ 型卡片，放入边长为 $m (a < m < a + b)$ 的正方形大卡片内，如图3所示，图中 $A$ ， $B$ 型卡片重叠部分面积记为 $S_{1}$ ，边长为 $m$ 的正方形未被覆盖部分面积记为 $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ ， $a + b = 12$ ， $a b = 5$ ，求出大正方形的面积；

(4)、选取1张 $A$ 型卡片，4张 $C$ 型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形 $D E F G$ 框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．设 $S = 5 S_{2} - 6 S_{1}$ ，当 $D G$ 的长度变化时， $a$ ， $b$ 之间满足怎样的数量关系，使 $S$ 的值始终保持不变，请说明理由．

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3、请阅读以下材料完成以下题目．

(1)、【阅读材料一】观察下列等式：
第1个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ；
第2个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ；
第3个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；
第4个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ； $\dots \dots$
按照以上规律，解决下列问题：
Ⅰ.写出第6个等式：；
Ⅱ.写出第 $n$ 个等式：；（用含 $n$ 的等式表示）

(2)、【阅读材料二】观察下列几个等式：
第①式： $1^{2} = \frac{1}{6} \times 1 \times 2 \times 3 = 1$ ；
第②式： $1^{2} + 2^{2} = \frac{1}{6} \times 2 \times 3 \times 5 = 5$ ；
第③式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = \frac{1}{6} \times 3 \times 4 \times 7 = 14$ ；
第④式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = \frac{1}{6} \times 4 \times 5 \times 9 = 30$ ； $\dots \dots$
请你思考后解答下列问题：
Ⅰ. $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 2 0^{2} =$ ；
Ⅱ. $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} =$ （用含 $n$ 的式子表示）；

(3)、计算： $2 1^{2} + 2 2^{2} + 2 3^{2} + \dots + 3 9^{2} + 4 0^{2}$ ；

(4)、【拓展应用】：
计算： $\frac{1}{250} [(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + 10 0^{2}) - (\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{9 9^{2}} + \frac{1}{10 0^{2}}} + \frac{1}{100})]$ ．

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4、若不等式(组)只有 $n$ 个正整数解( $n$ 为自然数)，则称这个不等式(组)为 $n$ 阶不等式(组)．
我们规定：当 $n = 0$ 时，这个不等式（组 $)$ 为0阶不等式（组 $)$ ．
例如：不等式 $x + 1 < 6$ 只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 2 \\ 2 x - 3 < 7 \end{array}$ 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：

(1)、 $x < \frac{1}{2}$ 是阶不等式； ${\begin{array}{l} x > 1 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ 是阶不等式组；

(2)、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 a < 0 \\ 2 + 3 x ⩾ \frac{x + 9}{2} \end{array}$ 是4阶不等式组，求 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x ⩾ p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解有 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ 其中 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < \dots$ 如果 ${\begin{array}{l} x ⩾ p \\ x < m \end{array}$ 是 $(m - 3)$ 阶不等式组，且关于 $x$ 的方程 $2 x - m = 0$ 的解是 ${\begin{array}{l} x ⩾ p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解 $a_{3}$ ，请求出 $m$ 的值以及 $p$ 的取值范围．

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5、如图，已知： $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ D = ∠ C$ ，
求证： $∠ A = ∠ F$ ．
证明： $∵ ∠ 2 = ∠ 3 ($ $)$ ，
$∠ 1 = ∠ 2 ($ $)$ ，
$∴$ （等量代换），
$∴$ $/ /$ （同位角相等，两直线平行），
$∴ ∠ 4 = ∠ C ($ $)$ ，
$∵ ∠ D = ∠ C$ （已知），
$∴ ∠ 4 =$ （等量代换），
$∴ D F / / A C ($ $)$ ，
$∴ ∠ A = ∠ F ($ $)$ ．

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6、先化简，再求值： $(2 a - b)^{2} - (3 a - 2 b) (3 a + 2 b) + 5 a (a - b)$ ，其中 $\sqrt{2 a - 4} + (b + 1)^{2} = 0$ ．

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7、计算：

(1)、 $2 a^{2} b \cdot (- 4 a b^{2}) + (2 a b)^{3}$ ；

(2)、 $(- 1)^{2026} + \sqrt{9} - \sqrt[3]{- 8} + | 3 - \sqrt{5} |$ ．

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8、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq 1 \\ \frac{x}{3} + \frac{x - 3}{6} < 1 \end{array}$ ．

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9、已知两个整式 $M = x + y$ ， $N = x - y$ ，将整式 $M$ 与整式 $N$ 求和后得到整式 $A_{1} = 2 x$ ．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果 $A_{1}$ 加上 $M + 2 N$ 的结果记为 $A_{2}$ ，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果 $A_{2}$ 加上 $2 M + 3 N$ 的结果记为 $A_{3}$ ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 $A_{3}$ 加上 $3 M + 4 N$ 的结果记为 $A_{4}$ ，记作第四次求和操作， $\dots$ ，以此类推．根据以上材料，回答下列问题：

(1)、计算： $A_{2} =$ （用含 $x$ ， $y$ 的代数式表示）；

(2)、当 $n$ 为大于3的正整数时， $(A_{n} - A_{3}) [(m - 2) x^{2 + | k - 1 |} - (m - 1) y] + x^{m} y^{| k + 1 |}$ 是关于 $x$ ， $y$ 的五次三项式（其中 $m$ 和 $k$ 均为整数且 $m + k > 3)$ ，则 $m + k$ 的值为．

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10、若 $x^{2} + (a - 2) x + 9$ 是完全平方式，则常数 $a$ 的值是．

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11、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，将三角板按如图方式放置，直角顶点在 $l_{2}$ 上，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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12、若代数式 $x - 3$ 的值为正数，则 $x$ 的值可以等于（写一个即可）．

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13、甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为 $x$ 元，每个蛋糕的售价为120元，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $56 ⩽ x < 76$ B、 $56 ⩽ x < 80$ C、 $60 ⩽ x < 76$ D、 $60 ⩽ x < 80$

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14、若 $x + y = 3$ ， $x y = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为（）

A、8 B、5 C、7 D、6

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15、下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{16}$ 的平方根是 $\pm 4$ B、8的立方根是 $\pm 2$ C、 $(- 3)^{2}$ 的算术平方根是3 D、 $\sqrt{64} = \pm 8$

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16、学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是（）

A、 B、 C、 D、

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17、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} - a^{2} = a$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 $(2 a + 1) (2 a - 1) = 2 a^{2} - 1$ D、 $(a^{3})^{2} = a^{6}$

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18、下列图形中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是同旁内角的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、若 $a < b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + 3 > b + 3$ B、 $2 a > 2 b$ C、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$ D、 $- 3 a > - 3 b$

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20、下列各数中，不是无理数的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $0.1010010001 \dots$ （每两个1之间依次多一个0）

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