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1、【借助图形构造无理数】通过学习《勾股定理》和《实数》，给定单位长度 $1$ ，一些无理数可以借助图形构造出来，如图 $1$ ， “蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．但小明发现，借助网格和数轴构造无理数更简便．
$Ⅰ$ .如图 $2$ 所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度 $1$ ， $△ A B C$ 为格点三角形， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，其中线段 $A C$ 的长为无理数．点 $D ， E ， F$ 为格点， $D E = 2$ ， $E F = 1$ ，以点 $E$ 为圆心， $D E$ 长为半径画弧交网格线于点 $G$ ，连接 $F G$ ， $G F ⊥ E F$ ，其中线段 $G F$ 的长为无理数．
$Ⅱ$ .如图 $3$ 所示的数轴中，点 $P ， Q$ 分别表示 $- 1$ 和 $1$ ，作 $R Q ⊥ P Q$ ，且 $R Q = P Q$ ，以点 $P$ 为圆心， $P R$ 长为半径画弧与数轴正半轴交于点 $M$ ，则点 $M$ 表示的数为无理数．
请阅读上面资料，完成以下任务：

(1)、图 $2$ 中，线段 $A C ， G F$ 的长分别是______，______；

(2)、图 $3$ 中，点 $M$ 表示的数为______；

(3)、仿照图 $3$ 作法，请在图 $4$ 的数轴上找出 $\sqrt{10}$ 对应的点 $P$ （保留作图痕迹）；

(4)、如图 $5$ ，嘉丽在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段 $A B$ ，已知点 $A$ 坐标为 $(- 1, 0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0, 2)$ ，点 $C$ 为 $x$ 轴上一点，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，请直接写出 $C$ 点坐标．

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2、我们知道， $\sqrt{2}$ 是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，小数部分是 $\sqrt{2} - 1.$

(1)、 $\sqrt{29}$ 的整数部分是______， $\sqrt{29}$ 的小数部分是______；

(2)、数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： $\{\begin{array}{l} a - b > 0, 则 a > b \\ a - b = 0, 则 a = b \\ a - b < 0, 则 a < b \end{array}$
例如：比较 $\sqrt{19} - 2$ 与2的大小．
$∵ \sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4$ ，又 $∵ 4 < \sqrt{19} < 5$ ，
$∴ \sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4 > 0$ ， $∴ \sqrt{19} - 2 > 2 ．$
请利用上述“比差法”，比较 $8 - \sqrt{23}$ 与3的大小．

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3、如图，在平面直角坐标系中， $A (3, 4)$ ， $B (1, 2)$ ， $C (5, 1)$ ．

(1)、在网格中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、直接写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 坐标和 $△ A B C$ 的面积： $A_{1}$ ______， $B_{1}$ ______， $S_{△ A B C} =$ ______；

(3)、若点 $P$ 是 $y$ 轴上一动点，则 $P A + P B$ 的最小值为______．

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4、解方程组：

(1)、 $\{\begin{cases} x = 3 y \\ 2 x - 5 y = 3 \end{cases}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 14 \\ 5 x + 3 y = 31 \end{array}$

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5、计算：

(1)、 $\sqrt{8} - (2025 + π)^{0} + | - \sqrt{2} |$ ；

(2)、 $(1 + \sqrt{3})^{2} + (2 - \sqrt{6}) (2 + \sqrt{6})$

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6、如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为 $\sqrt{13}$ 的正方形 $A O B C$ ，点O为坐标原点，已知B点横坐标为 $- 2$ ，则A点坐标为．

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7、若 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ 是关于x、y的方程 $m x - y = 10$ 的一个解，则m的值为．

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8、已知点 $P (a + 3, 5)$ 位于y轴上，则 $a =$ ．

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9、如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4米，宽为 $2.5$ 米．一辆卡车宽为 $2.4$ 米，若该卡车要通过该隧道，则它的高必须低于（）

A、 $3.8$ 米 B、 $3.9$ 米 C、4米 D、 $4.1$ 米

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10、下列说法中错误的是（）

A、 $- 27$ 的立方根是 $- 3$ B、实数和数轴上的点是一一对应的 C、已知点 $P (1, 6)$ ， $Q (3, 6)$ ，则直线 $P Q ∥ y$ 轴 D、点 $M$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则它到 $x$ 轴的距离为 $4$

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11、以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　）

A、7，8，9 B、1， $\sqrt{2}$ ， 4 C、3，4，5 D、 $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{8}$ ， $\frac{1}{10}$

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12、下列各数中，是无理数的是（）

A、2 B、 $π$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\sqrt{16}$

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13、将一张边长为4的正方形纸片 $A B C D$ 对折，使 $A B$ 与 $D C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把正方形 $A B C D$ 纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕 $P E$ ，点P在边 $A B$ 上，过点P作 $A B$ 的垂线交 $E G$ 的延长线于点H．
【知识技能】
（1）如图1，若点H落在边 $C D$ 上，求证： $△ P E H$ 是等边三角形．
【数学理解】
（2）如图2，设 $A P = x$ ， $P H = y$ ，试求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．
【拓展探索】
（3）如图3， $⊙ O$ 为 $△ A P E$ 的外接圆，若 $⊙ O$ 与边 $B C$ 相切，求 $G H$ 的长．

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14、某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示．

(1)、求y关于x的函数关系式；

(2)、要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？

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15、解一元二次方程： $x (2 x - 3) = 4 x - 6$

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16、某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为．

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17、若点P的坐标为 $(2, 1)$ ，其关于原点对称的点 $P^{'}$ 的坐标为

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18、如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，图象过点 $A (- 3, 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，给出以下结论： ① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $4 b + c < 0$ ；④若 $B (- 2.5, y_{1})$ 、 $C (- 0.5, y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ；⑤当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时， $y \geq 0$ ，其中正确的结论是（）．（填写代表正确结论的序号）

A、②③ B、①③⑤ C、②③⑤ D、①②⑤

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19、如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ B = 76 °$ ，则 $∠ D =$ （）

A、 $76 °$ B、 $86 °$ C、 $94 °$ D、 $104 °$

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20、点C为直线AB上一点，点M、N分别是线段AC、线段BC中点．

(1)、如图，若C为线段AB上一点， $A C = 6$ ， $B C = 4$ ，求线段MN的长；

(2)、若C为线段AB上任一点，满足 $A B = a$ ，其他条件不变，请直接写出线段MN的长（用含a的代数式表示）；

(3)、若C为线段AB的延长线上一点，且满足 $A B = b$ ，其他条件不变，请直接写出线段MN的长（用含b代数式表示）．

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