相关试卷

1、综合与探究：问题情景：如图 $1$ 所示，已知，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、（探究一）小虎通过度量发现 $∠ B C E = ∠ C A D$ ，请你帮他说明理由；

(2)、（探究二）小明在图中添加了一条线段 $C N$ ，且 $C N$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，如图 $2$ 所示，即可得 $C N = B E$ ，符合题意吗？请说明理由；

(3)、（探究三）小刚在（2）的基础上，连接 $D E$ ，如图 $3$ 所示，若 $A B = 4$ ， $C N = \frac{4}{3}$ ，求 $△ A D E$ 的面积．

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2、【综合与实践】【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形 $A B C$ ，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线 $D E$ ，这条直线恰好经过点C．他测量发现， $A D ⊥ D E$ ， $B E ⊥ D E$ ．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明： $A D = C E$ ，且 $C D = B E$ ．则可通过求 $△ A C D ≌ △ C B E$ 即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的 $G P S$ 设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为 $(0, 2)$ ，点C的坐标为 $(1, 0)$ ．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形.请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了点A的坐标为 $A (0, 3)$ ，点B的坐标为 $(4, 1)$ ．小明猜测， $A B$ 为斜边作等腰 $Rt △ A B C$ ，则直角顶点C可能与宝藏有关．请你再次帮助小明，直接给出点C的坐标．

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3、如图， $△ A B C$ 的周长是14， $O B$ 、 $O C$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ ， $O D ⊥ B C$ 于 $D$ ，且 $O D = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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4、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 为 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ．若 $A E = 2$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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5、如图所示的是可调躺椅的示意图， $A E$ 与 $B D$ 的交点为 $C$ ，且 $∠ C A B$ ， $∠ C B A$ ， $∠ E$ 保持不变．为了舒适，需调整 $∠ D$ 的大小，若使 $∠ E F D = 110 °$ ，则图中 $∠ D$ 应减少（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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6、已知点A的坐标为 $(- 1, 2)$ ，则点A关于x轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 1, - 2)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 1)$

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7、下列图形中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、远光某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．
【知识准备】
（1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）．
【制作纸盒】
（2）综合实践小组利用边长为 $20 cm$ 的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子（图⑦为无盖的长方体纸盒，图⑧为有盖的长方体纸盒）
【问题1】根据图⑦方式制作一个无盖的长方体盒子方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为 $3 cm$ 的小正方形，再沿虚线折合起来，则无盖长方体纸盒的体积为______ ${cm}^{3}$ ；
【问题2】根据图⑧方式制作一个有盖的长方体纸盒方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 $3 cm$ 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则有盖长方体纸盒的体积为______ ${cm}^{3}$ ；
【拓展探究】
（3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．
①请直接写出你剪开_______条棱；
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长．请你画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据．

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9、探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
$(+ 5) ※ (+ 2) = + 7$ ；
$(- 3) ※ (- 5) = + 8$ ；
$(- 3) ※ (+ 4) = - 7$ ；
$(+ 5) ※ (- 6) = - 11$ ；
$(0) ※ (+ 8) = 8$ ；
$(0) ※ (- 8) = 8$ ；
$(- 6) ※ (0) = 6$ ；
$(+ 6) ※ (0) = 6$ ．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？

(1)、观察以上式子，类比计算： $(- \frac{2}{3}) ※ (+ 1) =$ _____；

(2)、计算： $(- 2) ※ [0 ※ (- 1)]$ （括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）；

(3)、若 $(1 - a) ※ (b - 3) = 0$ ，计算： $\frac{1}{a \times b} + \frac{1}{(a + 2) \times (b + 2)} + \frac{1}{(a + 4) \times (b + 4)} + \frac{1}{(a + 6) \times (b + 6)} + \frac{1}{(a + 8) \times (b + 8)}$ ．

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10、小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了 $2 km$ 到达小彬家，继续向东跑了 $2.5 km$ 到达小红家，然后又向西跑了 $5.5 km$ 到达学校，最后又向东，跑回到自己家．

(1)、以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示 $1 km$ ，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；

(2)、求小彬家与学校之间的距离；

(3)、如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？

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11、如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，……．依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，则 $n =$ ．

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12、一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是．

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13、若 $x - 2 y = 3$ ，则代数式 $3 x - 6 y - 4$ 的值等于．

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14、如图，长为 $x$ 、宽为 $y$ 的长方形被分割为 $7$ 块，包括 $5$ 块完全相同的空白长方形和 $2$ 块阴影长方形 $Ⅰ$ ， $Ⅱ$ ．若每块空白长方形较短的边长为 $4$ ，则阴影长方形 $Ⅰ$ ， $Ⅱ$ 的周长之和为（）

A、 $4 y + 8$ B、 $4 x + 8$ C、 $2 y + 4$ D、 $2 x + 4$

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15、数 $a, b, c$ 在数轴上的位置如图，化简式子 $|a - c| - |a - b|$ 的结果为（）

A、 $- c - b$ B、 $- c + b$ C、 $2 a - c + b$ D、 $2 a - c - b$

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16、下列判断中错误的是（）

A、 $\frac{3}{4} π r^{2}$ 中，系数是 $\frac{3}{4}$ B、 $- a^{2} b^{2} c$ 是单项式 C、 $\frac{a + b}{2}$ 是多项式 D、 $1 - a - a b$ 是二次三项式

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17、下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} + a = 4 a^{3}$ B、 $- 3 (a - b) = - 3 a + b$ C、 $5 a - 4 a = 1$ D、 $a^{2} b - 2 a^{2} b = - a^{2} b$

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18、为计算方便，某果园以每筐水果 $20kg$ 为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．记作“ $- 0.5 kg$ ”表示该筐水果的重量是（）

A、 $- 0.5 kg$ B、 $0.5 kg$ C、 $19.5 kg$ D、 $20.5 kg$

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19、设二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 为常数），且 $b + c = 3$ ．

(1)、若该二次函数的图象过点 $(- 3, 0)$ ，求该二次函数的表达式；

(2)、二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数 $y = k x + b$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）的图象也经过这个定点，探究实数 $k$ ， $c$ 满足的关系式；

(3)、若该二次函数的图象上有四个不同的点： $A (m, 0)$ ， $B (n, 0)$ ， $C (m + 1, p)$ ， $D (n + 1, q)$ ，试求 $p + q$ 的值．

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20、如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点，过 $E$ 作 $A E$ 的垂线，交 $C D$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $G$ ．
（1）若点 $E$ 是 $B C$ 的中点，求证： $A B = 4 C F$ ；
（2）若正方形的边长为4，
①当 $C F$ 取最大值时， $B E$ 的长为多少？
②试确定 $F G$ 的取值范围．

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