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1、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点E、F分别在边 $D C$ 、 $B C$ 上，且 $B F = C E$ ， $A E$ 平分 $∠ C A D$ ，连接 $D F$ ，分别交 $A E$ 、 $A C$ 于点G、M，P是线段 $A G$ 上的一个动点，过点P作 $P N ⊥ A C$ ，垂足为N，连接 $P M$ ，有下列四个结论：① $S_{△ A D G} = S_{四边形 C E G F}$ ；② $A E$ 垂直平分 $D M$ ；③ $P M + P N$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ；④ $S_{△ A D M} = 6 \sqrt{2}$ ．其中正确的结论是（请填写序号）．

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2、如图1所示，当线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A (- 4, 0), B (0, - 4)$ 两点，点 $D$ 为 $x$ 轴上点 $A$ 左侧一动点，以点 $D$ 为直角顶点， $B D$ 的长为一腰在第三象限内作等腰直角 $△ B C D$ ，解答下列问题：

(1)、求 $k, b$ 的值；

(2)、当点 $D$ 的坐标不同时，点 $C$ 的坐标也随之不同，请问在点 $D$ 的运动变化过程中所对应的不同的点 $C$ 坐标是否都在某一条直线上？如果在，请求出该直线的函数表达式，如果不在，请说明理由：

(3)、在直线 $C A$ 上有一点 $Q (m, 3)$ ，点 $R$ 在 $x$ 轴上，若 $△ O Q R$ 是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 $R$ 的坐标．

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3、已知， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $△ C D E$ 可以绕点 $C$ 自由转动．

(1)、如图1所示，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 外部时，连接 $A D$ ， $B E$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $O$ ．试探究 $A D$ 与 $B E$ 的数量关系与位置关系，并证明；

(2)、如图2所示，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部，且 $∠ C D B = 135 °$ 时，若 $A D = a$ ， $B D = b$ ， $C D = c$ ，求证： $b^{2} + 2 c^{2} = a^{2}$ ；

(3)、当等腰直角 $△ C D E$ 的点 $D$ 落在边 $A B$ 上时，若 $A C = 5 \sqrt{2}$ ， $E C = 4 \sqrt{2}$ ，求 $B D$ 的长．

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4、随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示：
甲
乙
成本（元/个）
180
320
售价（元）
230
400

(1)、该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？

(2)、经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍 $a$ 百个，乙网球拍 $b$ 百个（ $a, b$ 均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？

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5、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 10, 0)$ ， $△ A B O$ 中， $∠ A B O = 90^{\circ}$ ， $A B = 8$ ，则点 $B$ 的坐标为；若点 $E$ ， $F$ 分别是 $△ A B O$ 的边 $A B$ ， $B O$ 上的动点，且 $A E = B F$ ，当 $O E + A F$ 的值最小时，点 $E$ 的坐标为．

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6、如图所示：画线段 $O A_{1} = 1$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{2} A_{1} ⊥ O A_{1}$ ，且 $A_{2} A_{1} = 1$ ，连接 $O A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{3} A_{2} ⊥ O A_{2}$ ，且 $A_{3} A_{2} = 1$ ，连接 $O A_{3}$ ；过点 $A_{3}$ 作 $A_{4} A_{3} ⊥ O A_{3}$ ，且 $A_{4} A_{3} = 1$ ，连接 $O A_{4}$ ， $\dots$ ，如此操作下去，当操作到连接 $O A_{2023}$ 后停止操作，在所画图形中，长度为有理数的所有线段之和的长度值为．

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7、如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线 $A B ∥ E D$ ，根据点 $C$ 在 $A B$ 与 $E D$ 之内和之外的不同位置， $∠ B$ ， $∠ C$ ， $∠ D$ 三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中 $∠ B$ ， $∠ C$ ， $∠ D$ 三个角之间的数量关系：① ． ② ． ③ ． ④ ．

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8、比较大小： $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ $\frac{3}{8}$ ．

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9、如图所示，数轴上的点 $A$ 表示的实数为 $- 1$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径画弧交数轴于点 $C$ ，则点 $C$ 表示的数是．

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10、如图，直线 $y_{1} = k x - 2 (k \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，直线 $y_{2} = 2 x + 8$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，直线 $y_{1}$ 与直线 $y_{2}$ 交于点 $C (- 2, 4)$ ，连接 $A B$ ．

(1)、方程组 $\{\begin{array}{l} k x - y = 2 \\ 2 x - y = - 8 \end{array}$ 的解是________；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若在 $x$ 轴上存在点 $P$ （点 $B$ 与点 $P$ 不重合），使得 $△ P A C$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积相等，请直接写出点 $P$ 的坐标．

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11、解答下列问题：

(1)、如图1所示， $B P$ 平分 $∠ A B C$ ， $C P$ 平分 $∠ A C M$ ，若 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ P =$ ______度；

(2)、如图2所示， $B P$ 平分 $∠ A B C$ ， $C P$ 平分 $∠ A C M$ ，求证 $∠ P = \frac{1}{2} ∠ A$ ；

(3)、如图3所示， $B P_{1}$ 平分 $∠ P_{0} B C$ ， $C P_{1}$ 平分 $∠ P_{0} C M$ ， $B P_{2}$ 平分 $∠ P_{1} B C$ ， $C P_{2}$ 平分 $∠ P_{1} C M$ ， $B P_{1}$ 平分 $∠ P_{2} B C$ 、 $C P_{1}$ 平分 $∠ P_{2} C M$ ， $\dots \dots$ ，如此操作下去，直到 $B P_{n}$ 平分 $∠ P_{n - 1} B C$ ． $C P_{n}$ 平分 $∠ P_{n - 1} C M$ ，若 $∠ P_{0} = a$ ，请直接写出 $∠ P_{1} + ∠ P_{2} + ∠ P_{3} + \dots + ∠ P_{n}$ 的值．（用含 $a$ ， $n$ 的代数式表示，其中 $n$ 为正整数）

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12、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题：

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标：

(2)、在 $y$ 轴上存在点 $P$ ，且点 $P$ 到点 $A$ 和点 $C$ 的距离之和最小，请画出点 $P$ 的位置，并直接写出 $P A + P C$ 的最小值．（请保留画图痕迹）

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13、甲、乙两人射击选拔赛的成绩如下列折线统计图所示，请结合统计图回答下列问题：
统计量选手
平均数（单位：环）
极差（单位：环）
方差（单位：环²）
甲

6
3.29
乙
7.9

0.49

(1)、将表格填写完整；

(2)、从方差看，甲、乙两人谁的成绩比较稳定；

(3)、请从平均数、极差、方差三个方面分析，如果从甲、乙两名射击选手中推荐一名去参加比赛，推荐谁去更合适呢？

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14、（1）计算： $\sqrt{18} - {(2025 - π)}^{0} - |- \sqrt{2}| + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．
（2）解方程组： $\{\begin{array}{l} 5 x - y = - 6 & ① \\ 5 x + 3 y = - 2 & ② \end{array}$

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A C = \sqrt{11}$ ，分别以点 $B$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线 $M N$ ，分别交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ，则 $C M$ 的长为．

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16、一次函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象如图所示，当 $y < 0$ 时，x的取值范围是．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，点 $F$ 为 $B C$ 延长线上的一点，若 $∠ A C F = 139 ° ， ∠ A D E = ∠ B = 79 °$ ，则 $∠ A E D =$ 度．

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18、已知点 $P (2 m + 1, m)$ 在 $y$ 轴上，则常数 $m =$

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19、在实数“ $\frac{1}{3}$ ， $- 0.73$ ， $\sqrt{25}$ ， $π$ ”中的无理数是．

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20、关于函数 $y = - \sqrt{3} x + \sqrt{6}$ ，下列结论正确的（）

A、函数图象一定经过点 $(\sqrt{2}, - 2 \sqrt{6})$ B、函数图象经过第一、二、三象限 C、 $y$ 的值随 $x$ 的值的增大而增大 D、函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 $\sqrt{3}$

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统计量选手	平均数（单位：环）	极差（单位：环）	方差（单位：环²）
甲		6	3.29
乙	7.9		0.49

	甲	乙
成本（元/个）	180	320
售价（元）	230	400