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1、某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)、问题发现如图1， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，连接CQ，则BP和CQ的数量关系是；
(2)、变式探究如图2， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)、问题解决如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为 求正方形ABCD的边长.
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2、如图，抛物线 的顶点坐标为(2，-1)，并且与y轴交于点C(0， 3)，与x轴交于两点 A， B.
(1)、求抛物线的表达式；(2)、设抛物线的对称轴与直线 BC交于点 D，连接AC、AD，求△ACD的面积；(3)、点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点 F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由. -
3、综合实践
课题：估算摩天轮的高度
背景
美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮之一，共有48个轿厢.某学习小组综合实践活动中，决定以估算摩天轮高度作为课题.
实践
体验：该小组成员搭乘一次摩天轮.从入轿厢开始计时，转一圈后出轿厢，测得耗时约为20分钟.
操作：该小组为了测得摩天轮的高度CD，在地面A处用高为1.6米的测角仪AB测得摩天轮顶端D的仰角α=31°，再向摩天轮方向前进24米至A'处，又测得摩天轮顶端D的仰角β=35°.
解决问题，完成以下任务：
(1)、小颖感觉摩天轮转得比较慢，查阅资料得知，回转速度约为每秒0.22米，这时，她认为自己能够算出摩天轮的直径，你知道她是怎样算的吗?(π取3.14，结果精确到0.1米)(2)、根据操作活动得到的测量数据，估算出地面到摩天轮顶端的完全高度CD.(参考数据：sin31° 0.52， tan31°≈ ≈0.60，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70 ， sin3.83°≈0.07，结果精确到0.1米) -
4、某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入一个社团，为了挈学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图 1 中D所占扇形的圆心角为150°.请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)、这次被调查的学生共有人；(2)、请你将条形统计图补充完整；(3)、若该校共有 1800学生加入了社团，请你估计这 1800 名学生中有多少人参加了篮球社团；(4)、在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率. -
5、“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场.某拉拉队在第一场比赛中用 600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花 1000 元购买同款小喇叭.已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元.(1)、求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个?(2)、若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元?
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6、如图，在▱ABCD中， AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O.
(1)、求证：四边形AEFD是矩形；(2)、若∠BAF=90°，AB=6，OE=4 ，求DF的长. -
7、计算：
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8、如图，矩形ABCD的顶点A， B分别在x轴、y轴上， OB=8， OA=6， AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标是.
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9、 如图，在菱形ABCD中， ∠A=60°， AD=2， P是AB边上的一点， E、F分别是DP，BP的中点，则线段EF 的长为.
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10、若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为度.
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11、使代数式 有意义的x取值范围是.
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12、 如图，在直角坐标系中， △OAB的顶点为O(0， 0)， A (4， 3)， B (3， 0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A、(-1， - 1) B、 C、 D、(-2， - 1) -
13、 四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃?”
小张说：“是小强打破的．”
小强说：“是小胖打破的.”
小明说：“我没有打破窗户的玻璃．”
小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他.”
这四个小孩只有一个说了实话.请判断：是谁打破了窗户的玻璃?( )
A、小张 B、小强 C、小明 D、小胖 -
14、如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=25°，那么∠2的度数为( )
A、55° B、65° C、75° D、85° -
15、如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=40°， AD∥BC，则∠CAD的度数为( )
A、70° B、65° C、60° D、55° -
16、 某校九年级(1)班 6名学生的体育中考成绩(单位：分)依次为： 48， 50， 50， 49， 50，47， 则这组数据的众数是( )A、47 B、48 C、49 D、50
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17、下列几何体的主视图和左视图不同的是( )A、
B、
C、
D、
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18、2025年12月27日，首届湘超决赛在长沙贺龙体育场举行，本场比赛的现场观众人数约为44000名，将数据44000用科学记数法表示为( )A、 B、 C、 D、
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19、下列实数中，是有理数的为( )A、 B、π C、0 D、
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20、【问题情境】 在矩形ABCD中，点O为线段BC上一点，连接AO，将沿AO所在的直线翻折，得到 ， 延长AP交线段CD边于点E，射线AO与射线DC交于点F，如图(1).
(1)、【问题解决】 若 ， .①当点O是BC的中点时，求OP的长；
②当时，求AE的长；
(2)、【问题探究】 连接OE，如图(2).若为直角三角形，且满足 ， 试探究线段AB与线段BC的数量关系.