相关试卷

1、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上．

(1)、【尝试初探】
如图1，若平行四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 为 $B C$ 的中点， $∠ A E F = 90 °$ ，求 $\frac{C E}{D F}$ 的值；

(2)、【深入探究】
如图2， $∠ B = 45 °$ ， $∠ A E F = 90 °$ ， $A E = E F$ ，求 $\frac{C E}{D F}$ 的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3， $B F$ 与 $D E$ 交于点 $O$ ， $t a n ∠ B O E = t a n ∠ A = \frac{4}{3}$ ， $\frac{A B}{A D} = \frac{5}{7}$ ， $\frac{B E}{E C} = \frac{3}{4}$ ，求 $\frac{C F}{D F}$ 的值．

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2、【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是 $x$ ， $y$ ， $z$ ．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件： $x + y + z = 1$ ， $x + y > z$ ， $x - y < z$ ， $y - x < z$ 等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将 $x + y = 1 - z$ ，代入 $x + y > z$ ，这就是一个一元一次不等式，可以得到 $z$ 的取值范围是 $0 < z < \frac{1}{2}$ ．
解决问题：

(1)、任务1：
①同理可得， $x$ 的取值范围是 ▲ ， $y$ 的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点 $O$ ，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现， $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ 与 $h$ 存在数量关系： $h_{1} + h_{2} + h_{3} = h$ ，请给出证明．

(2)、任务2：根据以上构造，设 $x = h_{1}$ ， $y = h_{2}$ ， $z = h_{3}$ ，则 $x + y + z = h_{1} + h_{2} + h_{3} = 1$ ， $x$ ， $y$ ， $z$ 只需要满足以上的不等式即可．请在图3的 $△ A B C$ 中，用阴影部分标记出 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）

(3)、任务3：阴影部分的面积与 $△ A B C$ 面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．

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3、如图， $△ A B C$ 内接于⊙ $O$ ， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径，点 $D$ ， $E$ 在直径 $A B$ 上， $∠ D C E = 45 °$ ， $A E = A C$ ．

(1)、求证： $B D = B C$ ；

(2)、 $C D$ 的延长线交 $⊙ O$ 于 $F$ 点，若 $D F = 3$ ， $B C = 7$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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4、背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
①球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
②篮筐的高度为3.05米；
③小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．

(1)、求小李投篮时，篮球出手时的高度 $O A$ ；

(2)、在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为 $60 c m$ ，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．

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5、2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（ $B M I$ ）调查． $B M I$ 的计算公式为： $B M I = \frac{体重 (k g)}{{[身高 (m)]}^{2}}$ ，根据世界卫生组织的标准， $B M I$ 分类如下：
$B M I$ 范围
分类
$B M I < 18.5$
体重过轻
$18.5 \leq B M I < 24$
体重正常
$24 \leq B M I < 28$
超重
$B M I \geq 28$
肥胖
调查结果如表所示：
分类
人数
体重过轻
10
体重正常
50
超重
30
肥胖
10

(1)、小明身高为 $1.6 m$ ， $B M I$ 指数为20，则小明的体重为 $k g$ ；

(2)、以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．

(3)、根据以上图表，请你给出一条合理的建议．

(4)、学校计划从体重正常的2个男生和2个女生中，抽取2名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．

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6、在化简 $(\frac{x}{x + 3} + \frac{x}{x - 3}) \cdot \frac{x^{2} - 9}{x}$ 的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部分运算过程：
小深：原式 $= [\frac{x (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}] \cdot \frac{x^{2} - 9}{x}$
……
小圳：原式 $= \frac{x}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x} + \frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x}$
……

(1)、小深解法的依据是，小圳解法的依据是；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．

(2)、试选一种解法，写出完整的解答过程．

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7、计算： $2 c o s 30 ° + | \sqrt{3} - 1 | - {(π - 2)}^{0} - \sqrt{12}$ ．

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8、如图，在直角三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ． $D$ 是 $A C$ 中点，将纸片沿 $B D$ 翻折，直角顶点 $A$ 的对应点为 $A^{'}$ ， $A A^{'}$ 交 $B C$ 于 $E$ ，则 $C E =$ ．

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9、如图，身高1.6米的小亮站在 $B$ 点测得旗杆 $C D$ 的仰角为 $27 °$ ，小亮向旗杆走了6米到达 $F$ 点，测得旗杆 $C D$ 的仰角为 $63 °$ ，则旗杆的高度为米．（ $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.90$ ， $t a n 27 ° \approx \frac{1}{2}$ ）

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10、随着人工智能大模型的发展，某大模型训练需要用到 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四类数据，其中 $A$ 类数据有20亿文本， $B$ 类数据有30亿文本， $C$ 类数据有50亿文本， $D$ 类数据有40亿文本，现随机从这四类数据中抽一条文本，则抽中 $C$ 类数据的概率为．

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11、若 $a + b = 2$ ，则 $a^{2} + b^{2} + 2 a b =$ ．

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12、如图， $∠ B A C = ∠ B C D = 90 °$ ， $A C = 2$ ，三角形 $B C D$ 面积始终为2，则 $A D$ 的最大值为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} + 2$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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13、下列尺规作图中，点 $P$ 到三角形三个顶点的距离相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的 $\frac{3}{4}$ 还多 $5$ 人；后来，绘画社有 $5$ 人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的 $2$ 倍．设起初报名书法社的为 $x$ 人，报名绘画社的为 $y$ 人，则下面所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x - \frac{3}{4} y = 5 \\ x + 5 = 2 (y - 5) \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - \frac{3}{4} y = 5 \\ 2 (x + 5) = y - 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} \frac{3}{4} x - y = 5 \\ x + 5 = 2 (y - 5) \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{3}{4} x - y = 5 \\ 2 (x + 5) = y - 5 \end{array}$

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15、近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（）
时间
3小时内
3-3.5小时
3.5-4小时
4-4.5小时
4.5-5小时
5小时以上
人数
5
12
28
25
17
13

A、3-3.5小时 B、3.5-4小时 C、4-4.5小时 D、4.5-5小时

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16、截至2025年3月27日，电影《哪吒2》全球票房为153.78亿，用科学记数法表示为（）

A、 $1.5378 \times 1 0^{9}$ B、 $1.5378 \times 1 0^{10}$ C、 $153.78 \times 1 0^{8}$ D、 $15.378 \times 1 0^{9}$

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17、下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{4} = x^{8}$ B、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 1$ C、 ${(- m^{2})}^{3} = - m^{6}$ D、 $m^{2} + m^{3} = m^{5}$

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18、随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级” $A i$ 应用，以下是一些常见 $A i$ 应用的 $l o g o$ 图案，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、【问题背景】
如图1所示，点T是抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ 图象上的动点，以点T为圆心的 $⊙ T$ 与x轴相切．设点T的横坐标为m， $⊙ T$ 的半径为r．
【构建联系】
（1）当 $m = 2$ 时， $⊙ T$ 与y轴交于P、Q两点，其中 $O P > O Q$ ，求 $P Q$ 的长．
（2）求证：无论m为何值， $⊙ T$ 始终经过y轴上的一个定点．
【深入探究】
（3）如图2所示，点A在y轴上， $O A = \frac{1}{2} r$ ，以线段 $O A$ 为边作正方形 $O A B C$ ．当 $⊙ T$ 与线段 $O A$ 有交点时，求正方形 $O A B C$ 面积S的范围．

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20、综合与实践
【项目主题】用“数”法搬家．
【项目背景】小明最近在搬家的过程中，发现途中需要经过一个弯道，弯道的宽度有限，为保证大件家具都能顺利搬入，他展开了以下研究：
【任务一：实地勘测】
如图 $1$ 所示，小明将一根长为 $2$ 米的细木棍 $A B$ 抵在墙上，通过测量，发现当木棍的中点 $C$ 紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通过弯道（木棍厚度忽略不计）．此时， $∠ O A B = 45 °$ ．小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象．请求出该反比例函数的解析式．
【任务二：实物测试】
如题图 $2$ 所示，小明将长方形箱子如此放置，箱子恰好不能过弯道，其原理与木棍通过弯道类似，已知直线 $H G$ 与外墙分别交于点 $M$ ， $N$ ．假设长方形箱子的长为 $m$ 米，宽为 $n$ 米，则 $m$ 和 $n$ 需要满足怎样的关系时，箱子能顺利通过？

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