相关试卷

1、在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC，点D是射线AC上一点，点F在线段BC上，连接DF并延长交AB于点 E， ∠CDB=∠EFB.

(1)、如图1，求证： DE=BD.

(2)、如图2，AM⊥DB于点 M，交 BC 于点 H，求证： BH+2CD=AD.

(3)、如图3，在 (2) 的条件下，连接CE，当BH=6， S_△BCE=60时，求△ADE的面积.

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2、“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总路程最短?某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A、B，在直线l上存在点 P，使得PA+PB的值最小.

(1)、请在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；(保留作图痕迹)

(2)、应用：
①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点 P，OP=12，在∠AOB 的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，则△PCD周长的最小值为 ▲ .
②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是多少?此时∠CFE为多少度?

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3、如图，在△ABC中， AB=AC， ∠B=50°，点D在线段BC上运动(不与点B， C重合)，连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC 于点E.

(1)、当∠BDA=100°时， ∠BAD= °， ∠DEC= °；

(2)、当DC=AB时， △ABD和△DCE 是否全等? 请说明理由；

(3)、在点D的运动过程中，是否存在△ADE 是等腰三角形的情形?若存在，求此时∠BDA 的度数；若不存在，请说明理由.

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4、某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：

(1)、图中的自变量是，因变量是；

(2)、无人机在75米高的上空停留的时间是分钟；

(3)、在上升或下降过程中，无人机的速度为米/分；

(4)、图中a= ， b= .

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5、如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC 交BC 于点 D.

(1)、作AB的垂直平分线，交BC 于点 E，交AB于点 F.(尺规作图，保留作图痕迹)

(2)、若BE=AC，求证： CD=EF.

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6、先化简，再求值： ${(x - y)}^{2} + (x^{3} y^{2} + x y^{4}) \div (- x y^{2}),$ 其中.x=3， $y = - \frac{1}{2} .$

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7、计算： ${- 1}^{2026} + {(- 2)}^{3} + {(3 \cdot 14 - π)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$

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8、如图，某小区有一块四边形空地ABCD，其中∠BAD=135°，围墙AB⊥BC，AD⊥DC. 现计划在围墙 BC、CD上分别设置健身点位 M、N，从A处的休息亭走到M再到N，最后返回A.若要使行走路线 $△ A M N$ 的周长最小，则此时 $∠ A M N + ∠ A N M$ 的度数是.

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9、实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t(h)
0
1
2
3
4
……
油箱剩余油量Q (L)
36
32
28
24
20
……
则油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式是 .

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10、如图，某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题.如图所示，已知AB∥CD， $∠ B A E = 8 9^{°}, ∠ D C E = 12 3^{°}$ ，则∠E的度数是.

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11、2026年中国国产AI工具已形成规模化落地态势.小明妈妈的手机共安装了4款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”、“Kimi”.若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是.

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12、等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ 或2 D、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$

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13、如图，直线a∥b，直角三角板 ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1=55°，则∠2度数为( )

A、35° B、45° C、55° D、65°

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14、如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底CD平行，光线 EF 从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上. 若∠HFB=20°，∠FED=58°，则∠GFH 的度数为( )

A、32° B、38° C、42° D、58°

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15、下列运算正确的是 ( )

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 6 a^{6}$ C、 $a^{4} \div a = a^{3}$ D、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$

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16、综合与探究
【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”．
【示例】如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD， ∠C=∠D=90°，则四边形ABCD 是“邻等双直四边形”．

(1)、【概念辨析】
用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是(填序号)；

(2)、【问题解决】
如图1，在“邻等双直四边形” ABCD中， AB=AD， ∠C=∠D=90°，连接BD．
求证： BD平分∠ABC；

(3)、如图2，已知， ∠A=∠B =90°，在射线BE上作出点C，使得四边形ABCD 是“邻等双直四边形”，且对角线 BD是其一内角的角平分线；
(要求：尽规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(4)、【联系拓广】
如图3，在△ABC中，AB=AC， ∠A=90°，点D是△ABC内部一点且满足AB=2AD，将线段AD绕点A 顺时针旋转90°得到AE，连接BD， CD， CE，当四边形AECD为“邻等双直四边形”时，求 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ A C D}}$ 的值．

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17、若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”．

例如： $3 = 2^{2} - 1^{2},$ 因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究：

【初步感知】寻找“智慧数”

小深的枚举法

$0 = 1^{2} - 1^{2};$

$1 = 1^{2} - 0^{2};$

$3 = 2^{2} - 1^{2};$

$4 = 2^{2} - 0^{2};$

$5 = 3^{2} - 2^{2};$

$7 = 4^{2} - 3^{2};$

$8 = 3^{2} - 1^{2};$

…

小圳的代数推理法

通过观察发现O，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明：

设k是自然数，则

$(k + 1)^{2} - (k - 1)^{2}$

$= [(k + 1) + (k - 1)] [(k + 1) - (k - 1)]$

=2k×2

= 4k

4k表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”．

(1)、下列自然数中，是“智慧数”(填序号)；

①9 ②10 ③12 ④14

(2)、【猜想验证】

小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想．

(3)、【迁移应用】

某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台(如阴影所示)，剩下L型区域作为观展走廊．如图1，现社团采购了一块长为(x+7)米，宽为(x-3)米的地胶(其中x>3，x为自然数)，通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗?请说明理由，并求出舞台的边长．

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18、综合与实践

如何安排工程队的施工任务
素材1	龙岗河是龙岗区的“母亲河”，全长约二十公里，它亲历了龙岗区发展成城市东部核心的点滴蜕变，见证了一代代龙岗人的青春年华．为了治理污水，提升河道生态功能，某改造项目组决定铺设一段全长3000米的污水排放管道，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队共同完成此任务．
素材2	乙工程队每天的工作效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成铺设管道所需的天数比乙工程队单独完成所需天数多30天．
素材3	改造项目组要求铺设污水排放管道的总费用不超过320万元，甲、乙两个工程队每天的工程费分别为2万元和3万元．
问题解决
任务1	分析效率	甲、乙两个工程队每天铺设管道的长度分别是多少米?
任务2	分析任务量	最多可安排乙工程队工作多少天?

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19、如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线 BD上，连接AE， AF，CE， CF．

(1)、请你在以下选项中选择一个条件，使得四边形AFCE是平行四边形，并写出证明过程；
①AE∥CF
②DF=BE
③∠BAF=∠DAE

(2)、若AB=4， BD=6， BD⊥CD，求对角线AC的长．

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20、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1).

(1)、将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到对应的ΔA₁B₁C₁ ，请画出平移后的△A₁B₁C₁；

(2)、将线段 BC绕着点c顺时针旋转90°得到线段 B'C ，则点B'的坐标是．

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汽车行驶时间t(h)	0	1	2	3	4	……
油箱剩余油量Q (L)	36	32	28	24	20	……