相关试卷

1、如图，矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 是射线 $B C$ 上的一个动点，连接 $A E$ 并延长交射线 $D C$ 于点 $F$ ．将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ，延长 $A B^{'}$ 交直线 $C D$ 于点 $M$ ．

(1)、如图1，若 $t a n ∠ B A E = \frac{3}{4}$ ，则 $D F$ 的长为；

(2)、若 $△ B^{'} E C$ 是直角三角形，在图2或图3中画出图形，求 $C F$ 的长；

(3)、若 $\frac{B E}{C E} = \frac{3}{2}$ ，直接写出 $∠ D A M$ 的正弦值．

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2、某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、【初步感知】
如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的两点，连结 $D E$ 、 $C F$ 且 $D E ⊥ C F$ ，则 $\frac{D E}{C F}$ 的值为；

(2)、如图 $2$ ，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，点 $E$ 是 $A D$ 边上的一点，连结 $C E$ ，当 $C E ⊥ B D$ 时，求 $\frac{C E}{B D}$ 的值；

(3)、【类比探究】
如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边上一点，连结 $D E$ ，过点 $C$ 作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，若 $s i n ∠ A E D = \frac{4}{5}$ ， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，求 $C F$ 的长度；

(4)、【拓展延伸】
如图 $4$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B C D = 90 °$ ， $A D = C D = 9$ ，在 $R t △ A B D$ 中， $t a n ∠ A B D = 3$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A D$ 上，连结 $D E$ 、 $C F$ 且 $D E ⊥ C F$ ，求 $\frac{D E}{C F}$ 的值．

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3、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B E ⊥ A C$ ，垂足为点E．

(1)、试说明： $△ A C D ∽ △ B C E$ ；

(2)、若 $A B = A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $s i n ∠ E B C$ 的值为．

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4、如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂 $A C$ 长度可伸缩，还可绕点 $A$ 在一定范围内转动使张角 $∠ C A E$ 发生变化，固定点 $A$ 距离地面 $B D$ 的高度 $A E$ 为3.5米．

(1)、当起重臂 $A C = 12$ 米，张角 $∠ C A E = 120 °$ 时，求云梯消防车最高点 $C$ 距离地面的高度．

(2)、起重臂 $A C$ 最长可伸展为20米，且最大张角 $∠ C A E$ 为 $150 °$ ，一居民家距离地面的高度为20米，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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5、如图， $A C$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线， $△ A B E$ 和 $△ C D F$ 分别沿着 $A E$ ， $C F$ 所在直线进行折叠，使得点 $B$ 和 $D$ 恰好落在对角线 $A C$ 上．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $B E = 1$ ， $t a n ∠ A C B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求四边形 $A E C F$ 的面积．

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6、计算： ${(π - 3)}^{0} - | \sqrt{3} - 2 | + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} \times s i n 60 °$ ．

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7、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $B C ， A B$ 上，且 $D E = D F$ ， $A C$ 分别交 $D E$ ， $D F$ 于点M，N．
⑴若 $∠ A D F = ∠ E D F$ ，则 $D N : A N$ 的值为．
⑵设 $△ D M N$ 和 $△ A F N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，若 $S_{2} ＝ 2 S_{1}$ ，则 $t a n ∠ A D F$ 的值为．

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8、如图所示，在 $4 \times 3$ 的正方形网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在格点上， $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $E$ ，则 $t a n ∠ B E D$ 的值是．

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9、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边上一点，连接 $A E$ ， $B E$ ．若 $A B = 4$ ， $t a n ∠ D A E = \frac{1}{4}$ ，则 $B E =$ ．

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10、如图，鱼竿 $A C$ 的长为 $4 m$ ．露在水面上的鱼线 $B C$ 的长为 $2 \sqrt{2} m$ ，将鱼竿 $A C$ 逆时针转动 $15 °$ 到 $A D$ 的位置，此时露在水面上的鱼线 $D E$ 的长度是m．

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11、如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上．将该纸片沿 $E F$ 折叠后，使点 $B$ 落在边 $C D$ 上的点 $G$ 处．若 $C G = 4 D G$ ，则 $s i n ∠ B E F$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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12、某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图， $B C ⊥ A C$ ，池塘斜面 $A B$ 的坡度为 $5 : 3$ （即 $B C : A C = 5 : 3$ ）， $A B = \sqrt{34}$ 米，则池塘边缘点 $B$ 到池塘底部的距离 $B C$ 为（）

A、 $5.5$ 米 B、5米 C、4米 D、3米

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13、如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上，则 $c o s ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的 $P, Q$ 两点分别测定对岸一棵树 $T$ 的位置， $T$ 在 $P$ 的正北方向，且 $T$ 在 $Q$ 的北偏西 $70 °$ 方向，则河宽（ $P T$ 的长）可以表示为（）

A、 $200 t a n 70 °$ 米 B、 $\frac{200}{t a n 20 °}$ 米 C、 $200 s i n 70 °$ 米 D、 $\frac{200}{t a n 70 °}$ 米

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15、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，现把这个三角形的三边都扩大为原来的 $3$ 倍，则 $∠ A$ 的正弦值（）

A、扩大为原来的3倍 B、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ C、不变 D、不能确定

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16、如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是 $(4, m)$ ，且 $O P$ 与x轴正半轴的夹角 $α$ 的余弦值是 $\frac{3}{5}$ ，则 $t a n ∠ α$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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17、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $a = 1 ， c = 4$ ，则 $s i n A$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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18、 $\sqrt{3} s i n 60 ° - t a n 45 °$ 的值等于（）

A、0 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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19、我们规定两数a、b之间的一种运算，记作 $[a, b]$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $[a, b] = c$ ；例如 $2^{3} = 8$ ，记作 $[2,8] = 3$ ，

(1)、根据以上规定求出： $[4,64] =$ ； $[2024,1] =$ ；

(2)、小明发现 $[5,3] + [5,4] = [5,12]$ 也成立，并证明如下
设： $[5,3] = x$         $[5,4] = y$
$∴ 5^{x} = 3$         $5^{y} = 4$
$∵ 5^{x} \cdot 5^{y} = 5^{x + y} = 12$
$[5,12] = x + y$
$∴ [5,3] + [5,4] = x + y = [5,12]$
根据以上证明，请计算 $[2024,6] + [2024,7] = [2024$ ， ]

(3)、猜想 $[4,14] - [4,7] = [4$ ，         ▲        ]，并说明理由．

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20、已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 3} = 1$ 的解是非正数，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m \leq 3$ B、 $m \leq - 3 且 m \neq - 6$ C、 $m > 3 且 m \neq 6$ D、 $m \geq 3 且 m \neq 6$

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