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1、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点M，N分别为边 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $M N$ ．
【初步尝试】（1） $M N$ 与 $A C$ 的数量关系是________， $M N$ 与 $A C$ 的位置关系是________．
【特例研讨】（2）如图2，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，先将 $△ B M N$ 绕点B顺时针旋转 $α$ （ $α$ 为锐角），得到 $△ B E F$ ，当点A，E，F在同一直线上时， $A E$ 与 $B C$ 相交于点D，连接 $C F$ ， $M E$ ．
①猜想 $△ B M E$ 的形状并证明；
②求出 $C D$ 的长．
【深入探究】（3）若 $∠ B A C < 90 °$ ，将 $△ B M N$ 绕点B顺时针旋转 $α$ ，得到 $△ B E F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．当旋转角 $α$ 满足 $0 ° < α < 360 °$ ，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究 $∠ B A E$ 与 $∠ A B F$ 的数量关系，直接写出你的结论．

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2、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1 (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，点C为抛物线与y轴的交点．

(1)、如图，若该抛物线经过点 $A (- 1, 0)$ ；
①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
②连接 $B C$ ．若点E为直线 $B C$ 上方抛物线上的动点，连接 $C E$ 、 $B E$ ，则四边形 $A B E C$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由．

(2)、当 $a > 0$ 时，对于任意的正数t，若点 $(1 - t, y_{1})$ ， $(1 + 2 t, y_{2})$ 在该抛物线上，则 $y_{1}$ ________ $y_{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(3)、已知点 $M (0, 3)$ ， $N (4, 3)$ ，若该抛物线与线段 $M N$ 恰有一个公共点，求a的取值范围．

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3、如图，已知四边形 $A B C D$ ， $∠ D = ∠ C = 90 °$ ， P是 $D C$ 边上的一点， $∠ B P A = 90 °$ ， $P B = P A$ ．

(1)、求证： $△ B C P ≌ △ P D A$ ；

(2)、若 $△ B P A$ 的面积为8， $C B = 2$ ，求 $∠ P A D$ 的大小．

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4、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，E，F是对角线 $B D$ 上的两个动点，且 $E F = \sqrt{2}$ ，连接 $C E$ ， $C F$ ，则 $B D$ 的长为________， $△ C E F$ 周长的最小值为________．

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5、下列图案中不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足 $|a + 50| + {(b - 30)}^{2} = 0$ ，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 $x = \frac{2}{5} x + 6$ 的根．

(1)、数轴上点A、B、C表示的数分别为、、；

(2)、如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？

(3)、如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度．

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7、已知二次函数的解析式为 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 4$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，
①直接写出二次函数的顶点坐标______；
②点 $M (n, y_{1})$ ， $N (n + 2, y_{2})$ 都在该二次函数的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围；

(2)、当 $6 \leq x \leq m + 3$ 时，函数最大值与最小值的差为8，求 $m$ 的值．

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8、根据以下材料，探究完成问题：
小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于 $O$ 处，以点 $O$ 为原点，水平方向为 $x$ 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系， $A$ 处是一座城池的城墙，其竖直截面为 $A B C D$ ， $C D$ 与 $x$ 轴平行，墙宽 $C D = 2$ 米，垂直距离 $A D = 9$ 米．
问题解决：

(1)、在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式；

(2)、若外墙 $A D$ 到投石车的距离 $A O$ 约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由．

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9、在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在 $7 \times 4$ 的方格纸中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段 $B C$ 上找一点 $E$ ，连结 $A E$ ，使 $A E$ 平分 $△ A B C$ 的周长；
如图1为小瑞的作法，其作法是否正确______（填正确或错误），并说明理由．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 为钝角， $∠ A = 45 °$ ， $A C = 7$ ， $B C = 5$ ，则 $A B =$ ． $D$ 是 $A C$ 边上一点，作点 $A$ 关于直线 $B D$ 的对称点 $E$ ，连接 $D E, B E$ ，若 $∠ E B C = ∠ A$ ，则 $D B$ 的长为．

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11、已知抛物线 $C : y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，顶点 $A (3, 2)$ ，与 $x$ 轴右侧交于点 $B (5, 0)$ ．当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围为．

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12、如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，半径 $A O = 2 cm$ ，则 $∠ A O C$ 所对的 $\overset{⏜}{A C}$ 长为cm．

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13、一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图， $A E = C F = 3 cm$ ， $E F = 2.5 cm$ ， $B E = D F = 6 cm$ ，图3是打开状态的示意图，其中 $A C = 2 cm$ ，则打开状态下 $B$ ， $D$ 两点之间的距离为（）

A、4cm B、 $4.5 cm$ C、3cm D、 $3.5 cm$

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14、如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 与弦 $C D$ 交于点 $P$ 且 $A P > B P$ ， $D P > C P$ ．已知 $A B = 7$ ， $C D = 8$ ，若 $D P = 3 C P$ ，则 $P B$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $4$ D、 $\frac{7}{4}$

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15、如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为 $2 cm$ 的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．
由此可估计不规则图案的面积大约为（）

A、 $1.36 {cm}^{2}$ B、 $1.08 {cm}^{2}$ C、 $1.2 {cm}^{2}$ D、 $2 {cm}^{2}$

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16、如图，某校劳动实践基地用总长为 $80 m$ 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为 $42 m$ ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为 $x$ （单位： $m$ ），面积为S（单位： $m^{2}$ ）．

(1)、求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)、当 $x =$ $m$ 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 $m^{2}$ ．

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17、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 边上，点 $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $∠ E A C = ∠ C A D$ ， $∠ A F E = ∠ B$ ．

(1)、求证： $△ A E F ∽ △ A C D$ ；

(2)、若 $B E = 3$ ， $C E = 6$ ， $A C = 8$ ，则 $A F$ 的长为______．

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18、如图，在 $2 \times 2$ 的正方形网格中，以格点为顶点的 $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{3}{2}$ ，则 $\sin ∠ C A B$ 的值是．

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19、如图，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为米．

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20、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)、下列四边形一定是勾股四边形的有；（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形

(2)、如图 $1$ ，将 $△ A B C$ 绕顶点 $B$ 按顺时针方向旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $△ D B E$ ，连接 $A D$ 、 $D C$ 、 $C E$ ， $∠ D C B = 30^{\circ}$ ，请判断四边形 $B D C E$ 是否为勾股四边形，并说明理由；

(3)、如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 为等边三角形， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ， $∠ D A B = 30^{\circ}$ ，求 $A C$ 的长．

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