相关试卷

1、 A，B两个工程队分别接到36千米的道路施工任务。以下是两个工程队的施工规划。

A工程队

前两天施工速度为x千米/天，第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工(预计比全程只按x千米/天的速度完成施工的时间提前3天)。

B工程队

甲方案：计划前18千米按每天施工a千米完成，剩下的18千米按每天施工b千米完成，预计完成生产任务所需的时间为t₁天。

乙方案：设完成施工任务所需的时间为 t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米。

特别说明：两种方案中的a，b均为10 以内的正整数，且a≠b。

(1)、问A工程队完成施工任务需要多少天?

(2)、若要尽快完成施工任务，B工程队应采取哪种方案?说明你的理由。

(3)、若B 工程队采用甲方案完成施工时间与A工程队完成时间相同，直接写出 a 的值。

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2、随着 5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大。为了满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500 万件产品所需的时间与更新技术前生产400 万件产品所需的时间相同，求更新技术前每天的产量。设更新技术前每天生产x万件产品，则根据题意可列方程( )

A、 $\frac{400}{x - 30} = \frac{500}{x}$ B、 $\frac{400}{x} = \frac{500}{x + 30}$ C、 $\frac{400}{x} = \frac{500}{x - 30}$ D、 $\frac{400}{x + 30} = \frac{500}{x}$

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3、根据多项式的乘法法则，可知((ax+p)(bx+q) $= a b x^{2} + a q x + b p x + p q = a b x^{2} + (a q + b p) x$ +pq。那么，反过来，也有 $a b x^{2} + (a q + b p) x$ + pq=(ax+p)(bx+q)。具体分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘再求和，使其等于一次项系数。例如：
因式分解： $2 x^{2} - x - 3 。$
第一步：分解二次项系数，2=1×2；
第二步：分解常数项，-3=-1×3=1×(-3)；
第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：
③1×(-3)+2×1=-1。
发现③中“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数-1，故将十字交叉线上的数对应写在两个相乘的多项式中，得 $2 x^{2} - x - 3 = (x + 1) \cdot (2 x - 3)$ 。这种因式分解的方法称为十字相乘法。

(1)、用“十字相乘法”分解因式： $3 x^{2} - 5 x - 2 。$

(2)、因式分解： ${(x^{2} + x)}^{2} - (x^{2} + x) - 2 。$

(3)、因式分解： $x^{2} y + x^{2} - 3 x y + x y^{2} - 4 y^{2} 。$

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4、常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如： $x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y 。$ 细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，故可以尝试按如下方法分解：
$x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y = (x^{2} - 4 y^{2}) + (2 x - 4 y) \dots$ ·分组
=(x+2y)(x-2y)+2(x-2y)…组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2)。…整体思想提取公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题。

(1)、分解因式： $16 x^{2} - 8 x + 2 y - y^{2} 。$

(2)、已知a，b，c满足 $a^{2} - 2 a c + c^{2} = a b - b c,$ 且a≠c，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由。

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5、在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，用以简化要分解的多项式的结构，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。下面是小涵同学用换元法对多项式 $(x^{2} - 4 x + 1) (x^{2} - 4 x + 7) + 9$ 进行因式分解的过程。
解：设 $x^{2} - 4 x = y 。$
原式=(y+1)(y+7)+9
$= y^{2} + 8 y + 16$
$= {(y + 4)}^{2}$
$= {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2} 。$
请根据上述材料，回答下列问题：

(1)、老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：。

(2)、请你用换元法对多项式 $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x$ +2)+1进行因式分解。

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6、先化简： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1},$ 再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值。

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7、我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、进价各几何?”其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 $\frac{1}{2}$ 钱，会多出4钱；每人出 $\frac{1}{3}$ 钱，又差了3 钱。问人数、琎价各是多少?设人数为x，班价为 y，所列方程组为( )

A、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x + 4 \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x - 4 \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x - 4 \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{matrix}$ D、 $. {\begin{matrix} y = \frac{1}{2} x + 4 \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{matrix}$

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8、乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业。某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植 A，B两种农作物，种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种
每公顷所需人数
每公顷所需投入资金/万元
A
4
8
B
3
9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B两种农作物的种植面积各多少公顷?

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9、已知关于x，y的方程组 ${\begin{cases} x + 2 y = 5, ① \\ m - 2 y + m x + 9 = 0 ② . \end{cases}$

(1)、无论实数 m取何值，方程②总有一个固定的解，请直接写出这个固定的解。

(2)、若方程组的解满足x+y=0，求m的值。

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10、已知：AB∥CD，E，G是AB 上的点，F，H 是CD 上的点。

(1)、如图1，若∠1=∠2，试说明：EF∥GH。

(2)、如图2，过点 F作FM⊥GH，交GH 的延长线于点 M，作∠BEF，∠DFM 的平分线，二者相交于点 N，EN 交GH 于点 P，求∠N 的度数。

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11、综合与实践

(1)、【问题情境】对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，请写出这个等式。

(2)、【探究实践】类比(1)，写出图2 中所表示的等式。

(3)、根据整式乘法的运算法则，通过计算验证(2)中的等式。

(4)、利用(2)中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10， ab+ ac+ bc=33，求( $a^{2} + b^{2} +$ c² 的值。

(5)、【拓展应用】用图3中 2 张边长为 a 的正方形、3张边长为b的正方形、m张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，写出 m所有可能的取值。

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12、阅读下面的材料，并解决问题.
因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1 。$
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，
则原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = {(A + 1)}^{2} 。$
再将“A”还原，原式=(x+y+1)²。
上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学应用中常见的一种思想方法。

(1)、因式分解：( $a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} - 9 。$

(2)、试说明：若n为正整数，则式子 $(n^{2} - n) (n^{2}$ -n+2)+1的值一定是某个整数的平方。

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13、给出下面四个多项式：①x²-xy； $② x^{2} - y^{2};$ $③ x^{2} - 2 x y + y^{2}; ④ x^{2} + y^{2},$ 其中含因式(x-y)的有 ( )

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③④

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14、七(2)班12 名参加鼓号队的同学身高(单位：cm)如下：162，157，161，164，154，153，156，168，153，152，165，158。那么身高在 155.5~160.5这一组的频数是。

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15、下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并回答问题：
解分式方程： $\frac{x - 3}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x} 。$
解：去分母，得x-3+2(x-2)=1。…第一步去括号，得x-3+2x-4=1。…第二步移项、合并同类项，得3x=8。…第三步解得 $x = \frac{8}{3} 。$ …第四步
经检验 $x = \frac{8}{3}$ 是原分式方程的解。…第五步

(1)、上面的解题过程从第步开始出现错误，这一步错误的原因是。

(2)、上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是(文字叙述)。

(3)、请你帮这个同学正确解答这个分式方程。

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16、甲、乙两个工程队合修一条长为1 500米的公路，已知甲工程队每天修( $(m^{2} -$ n²)米，乙工程队每天修(m-n)²米，工程完成后统计，甲工程队修了900米，乙工程队修了600米。

(1)、甲工程队修路所用时间是乙工程队的多少倍?

(2)、当 $\frac{m}{n} = \frac{5}{2}$ 时，求(1)中倍数的值。

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17、计算：

(1)、 $\frac{x - 2}{x + 1} \div (x - 2);$

(2)、 $\frac{2 x^{2} y}{3 m n} \cdot \frac{5 m^{2} n}{4 x y} \div \frac{5 x y m}{3 n};$

(3)、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 2 a b + b^{2}} \div \frac{a - b}{a + b};$

(4)、 $\frac{3 x}{4 x - 3} \div \frac{2}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{x}{4 x + 3} 。$

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18、阅读以下解题过程：
题目：已知 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a}$ (a，b，c互不相等)，求x+y+z的值。
解：设 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a} = k,$ 则x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a)，
∴x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k×0=0，∴x+y+z=0。
依照上述方法，解答下列问题：
已知： $\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z},$ 其中x+y+z≠0，求 $\frac{x + y - z}{x + y + z}$ 的值。

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19、已知a-b-1=0，求分式 $\frac{3 (a - 2 b) + 3 b}{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ 的值。

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20、设图1中阴影部分的面积与图2 中阴影部分的面积之比为k，则k= ( )

A、1 B、 $\frac{a + b}{a}$ C、 $\frac{a - b}{a}$ D、 $\frac{a}{a + b}$

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农作物品种	每公顷所需人数	每公顷所需投入资金/万元
A	4	8
B	3	9