相关试卷

1、 “数形结合”是数学中的一种基本思想方法.我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”.下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）和公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔•花拉子在解一元二次方程x²+2x-35=0即x（x+2）=35时的做法为例加以说明.
【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为x ， x+2且面积为x（x+2）=35的矩形构造成图1形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+2+x）²=4×35+2² ，从而得到一个正数解x=5.阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x ， 1的矩形构造出图2的形状（面积为x²+2x=35）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+1）²=（x²+2x）+1²=35+1，从而得到一个正数解x=5.

(1)、图1中，小正方形的边长为 ▲ ，将图2中补充完整（补充的部分用阴影表示）；

(2)、【类比迁移】小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程方程x²+6x-55=0.
①请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线段的长；（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）
②请分别根据所画图形，求出方程x²+6x-55=0的一个正数解.
（注：需要写出必要的推算过程）

(3)、【拓展应用】一般地，形如x²+ax=b的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解.

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2、扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺.扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展.某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价
类别
成本价/（元/件）
销售价/（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70

(1)、该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？

(2)、因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料.设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元.第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？

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3、某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受随机调查的学生人数为；

(2)、本次调查获取的样本数据的平均数为元、众数为元、中位数为元；

(3)、根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数.

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4、用合适的方法解下列方程：

(1)、x²-6x+4=0；

(2)、2x²-4x=1.

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5、计算 $- 2^{2} \times \sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt{9} \times (- 1)^{2025}$ .

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6、如图，将直角三角形ABC沿着点B到C的方向平移到三角形DEF的位置，此时AB=14cm ， DO=6cm ，阴影部分的面积为44cm² ，则平移的距离为.

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7、如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A ， B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是.

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8、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是.

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9、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC= $\sqrt{2}$ ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B ，则C'B的长为（　　）

A、2- $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ -1 D、1

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10、函数 $y = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ 的自变量x的取值范围是（　　）

A、x≥0 B、x≠1 C、x≥0且x≠1 D、x＞1

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11、已知关于x的一元二次方程（a+1）x²-2x+a²+a=0有一个根为x=0，则a的值为（　　）

A、0 B、0或-1 C、1 D、-1

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12、下列运算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{m n}$ B、 $5 a \cdot 5 b = 5 a b$ C、 $(- \frac{1}{2} x y^{2})^{3} = - \frac{1}{6} x^{3} y^{6}$ D、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = 3$

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13、 2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客1954.2万人次，日均到发旅客55.8万人次，用1954.2万科学记数法表示为（　　）

A、1.9542×10⁵ B、1.9542×10⁶ C、1.9542×10⁷ D、1.9542×10⁸

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14、如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F.

(1)、求证：EG=EF；

(2)、连结AE，求证：∠AEG=∠AEF.

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15、如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交千点F，若∠BAC=45°，AD=5，CD=2，求线段BF的长度.

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16、如图，AB交DE于点F， $A D ∥ E B$ ，点C在线段AB上， $A C = B E$ ， $A D = B C$ .

(1)、求证： $△ A C D ≅ △ B E C$ .

(2)、若 $∠ A = 4 0^{°}$ ， $∠ B C E = 2 0^{°}$ ，求 $∠ D C E$ 的度数.

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17、先化简 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} \div (1 - \frac{3}{x + 3})$ ，再从-3，0，3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.

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18、解方程（组）：

(1)、 $\frac{2 - x}{x - 1} = \frac{1}{1 - x} + 1$

(2)、 ${\begin{array}{l} x = 3 y - 1 \\ 4 y = x + 1 \end{array}$

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19、计算：

(1)、3x（2-x）

(2)、 $(\sqrt{3} - 1)^{0} - (\frac{1}{2})^{- 1}$ .

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20、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若AB=6，△ABD的面积为6，则CD的长为.

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