相关试卷

1、“读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式 $($ 即可以写成 $a^{2} - b^{2}$ 的形式其中 $a 、 b$ 是整数 $)$ ，则称这个数为“有益数” $.$ 例如， $3$ 是“有益数”，理由：因为 $3 = 2^{2} - 1^{2}$ ，所以 $3$ 是“有益数”．

(1)、按要求填空．
$①$ 已知 $20$ 是“有益数”，请将它写成 $a^{2} - b^{2} (a 、 b$ 是整数 $)$ 的形式； $($ 写一种即可 $)$
$②$ 整式 $x^{2} - 6 x - 7$ 可表示成 $(x - m)^{2} - n^{2} (m 、 n$ 为常数且 $n > 0)$ ，则 $m n$ 的值是；
$③$ 请判断 $122$ 是否为“有益数”，； $($ 填“是”或“否” $)$

(2)、已知 $Y = x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} - 12 y + t (x 、 y$ 是整数， $t$ 是常数 $)$ ，要使 $Y$ 为“有益数”，试求出符合条件的一个 $t$ 值，并说明理由．

(3)、已知 $x_{1}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x + k = 0$ 的解， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x + k - 1 = 0$ 的解 $($ 其中 $k$ 是常数 $)$ ，求“有益数” $Y = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} (x_{1}, x_{2}$ 是整数 $)$ 的值．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D 是 B C$ 边上的中线， $∠ B A D = ∠ C A D ， C E ∥ A D ， C E 交 B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 120 ° ， A C = 5$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、求证： $△ A B C$ 为等腰三角形．

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3、“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进 $7$ 个甲型头盔和 $6$ 个乙型头盔需要 $600$ 元，购进 $5$ 个甲型头盔和 $8$ 个乙型头盔需要 $670$ 元．

(1)、购进 $1$ 个甲型头盔和 $1$ 个乙型头盔分别需要多少元？

(2)、若该商场准备购进 $200$ 个这两种型号的头盔，总费用不超过 $10200$ 元，以甲型头盔 $58 元 /$ 个、乙型头盔 $98 元 /$ 个的价格销售完，要使总利润不少于 $6190$ 元，有多少种进货方案？

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4、阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为识 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位 $.$ 那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 $a + b i (a, b$ 为实数 $) ， a$ 叫这个复数的实部 $. b$ 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算： $(2 + i) + (3 - 4 i) = 5 - 3 i$ ．

(1)、填空： $i^{3} =$ ， $i^{4} =$ ；

(2)、计算： $① (3 + i) (3 - i) ； ② (3 + i)^{2}$ ；

(3)、若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： $(x - y) + 5 i = (1 - x) - y i (x, y$ 为实数 $)$ ，求 $x ， y$ 的值．

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5、把下列各式因式分解： $($ 分解要彻底 $)$

(1)、 $x y^{2} - 2 x y + x$ ；

(2)、 $(y^{2} + 4)^{2} - 16 y^{2}$ ．

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6、如图，已知 $O B = O C$ ，若以“ $S A S$ ”为依据证明 $△ A O B ≌ △ D O C$ ，还需要添加的条件是．

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7、若 $(x - 2) (x + 5) = x^{2} + m x + n$ ，则 $m$ 的值为．

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8、如图，木工师傅做窗框时，常常如图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是( )

A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短 C、长方形的轴对称性 D、两直线平行，同位角相等

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9、小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是( )

A、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b) (a + b)$ B、 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2} = (a + 2 b) (a + b)$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $2 a^{2} + 3 a b + b^{2} = (2 a + b) (a + b)$

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10、已知点 $P (a - 1,3)$ 和点 $M (2, b - 1)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $(a + b)^{2025}$ 的值是( )

A、 $0$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $(- 3)^{2025}$

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11、如图 $1$ 所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形 $A B C ($ 如图 $2)$ ，若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为( )

A、 $80 °$ B、 $75 °$ C、 $50 °$ D、 $100 °$

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12、下列计算正确的是( )

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{4}$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{4}$ C、 $2 a \cdot 3 a = 5 a^{2}$ D、 $2 a + 3 a = 5 a$

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13、综合与探究
【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”.如：图1四边形ABCD中， $∠ B = ∠ C$ ，则四边形ABCD为邻等角四边形.

(1)、【理解】以下平面图形中，是邻等角四边形的有 $. ($ 填序号 $)$
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

(2)、【应用】如图2，▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE并延长，交AD边于点F，若 $C E = C D$ ，求证： $A B \cdot D F = E F \cdot A D .$

(3)、【延伸】如图3，矩形ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $B E = \frac{3}{2}$ ，过点E作直线EG交对角线AC于点F，交边AD所在直线于点G，若四边形ABEF为“邻等角四边形”，求FG的长.

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14、综合与实践

小型停车场设计与收费问题
素材1	设计要求：矩形停车场，其布局如图.已知 $A D = 50 m$ ， $A B = 30 m$ ，阴影部分设计为停车位，面积为 $800 m^{2}$ ，车位总数为50个，其余部分均为宽度为x米的道路.
素材2	收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.
素材3	数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式 $a^{2} - 2 a + 5$ 的最小值.方法如下： $∵ a^{2} - 2 a + 5 = a^{2} - 2 a + 1 + 4 = (a - 1)^{2} + 4$ ，由 $(a - 1)^{2} \geq 0$ ，得 $(a - 1)^{2} + 4 \geq 4$ ； $∴$ 代数式 $a^{2} - 2 a + 5$ 的最小值是 $4 .$

(1)、任务1：求道路的宽是多少米？

(2)、任务2：求当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？

(3)、任务3：请直接写出该停车场月租金收入最高为元，此时每个车位月租金为元.

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15、 2025年11月，深圳将迎来第十五届全国运动会，简称“十五运会”，十五运会是粤港澳三地承办的我国规模最大、水平最高、影响最广的综合性运动会.若某校将承担本次运动会的志愿服务工作，其服务项目有：“后勤保障”“礼仪指引”“裁判辅助”“检录服务”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的师生共有人，请补全条形统计图，并标出相应的数据；

(2)、在扇形统计图中，“裁判辅助”对应的圆心角是度；

(3)、小鹏同学报名参加志愿服务工作，请问他恰好选择“检录服务”项目的概率为；

(4)、本次志愿服务需要后勤保障人员300人，已知该校共有2400名师生，有 $60 %$ 的师生参加志愿者服务，请预估后勤保障人员是否足够？

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16、小颖在用公式法解方程 $3 x^{2} - 5 x = 2$ 时，呈现了如下解答过程，老师判了错误.
解：将原方程化为一般形式，得：
$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ …第一步；
这里 $a = 3$ ， $b = - 5$ ， $c = 2$ …第二步；
$∵ b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \times 3 \times 2 = 1 > 0 .$ …第三步；
$∴ x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$ …第四步；
即 $x_{1} = \frac{2}{3}$ ， $x_{2} = 1$ …第五步.
①小颖从第（）步开始出错 $($ 填序号“一、二、三、四、五”中其中一个 $)$ ；
②请用公式法将正确求解方程的过程写出来.

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17、解方程：

(1)、 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ ；

(2)、 $(2 x - 1)^{2} = 4 x - 2 .$

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18、在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $C E ⊥ A B$ ，点D为CB上一点， $D B = 4 C D$ ，连接AD交CE于点M，作 $△ A C D$ 关于AD的对称图形 $△ A C^{'} D$ ，若 $D C^{'} / / C E$ ，则ME为.

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19、如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $90^{\circ}$ 到 $△ A B F$ 的位置.过点A作 $A H ⊥ E F$ 于点H，连接CH，若 $A D = 3$ ， $D E = 1$ ，则CH的长为.

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20、如图，CD是 $R t △ A B C$ 斜边AB上的中线，过点C作 $C E ⊥ C D$ 交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断 $△ C E B$ 与 $△ C A D$ 相似的是( )

A、 $∠ C B A = 2 ∠ A$ B、点B是DE的中点 C、 $C E \cdot C D = C A \cdot C B$ D、 $\frac{C E}{C A} = \frac{B E}{A D}$

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