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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $∠ C A D = 20 °$ ， $∠ B = 50 °$ ，求 $∠ A C B$ 和 $∠ A E C$ 的度数．

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2、已知：如图， $A B = A C$ ， $B D = C D$ ，求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．请完成下面的推理过程（填空）．
证明：在 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 中，
$∵ \{\begin{matrix} A B = A C (已知) \\ B D =____(已知) \\ A D = A D (_____) \end{matrix}$
$∴ △ A B D ≌$ ______（______），
$∴ ∠ B A D = ∠ C A D$ ，
$∴ A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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3、如图，点A，D在 $B C$ 同侧， $A B ⊥ B C$ 且 $A B = B C$ ， $A P ⊥ P D$ 且 $A P = P D$ ，点P在射线 $B C$ 上．若 $∠ P D C = 15 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， P为线段 $A D$ 上的一个动点， $P E ⊥ A D$ 交直线 $B C$ 于点E．若 $∠ B = 30 °$ ， $∠ A C B = 80 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C A B = 45 °$ ， $A C = B C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，过点C作 $A D$ 的垂线交 $A B$ 于点E，交 $A D$ 于点F，连结 $D E$ ．若记 $∠ A D C$ 为α， $∠ D E B$ 为β，则 $α + β$ 的度数为（）

A、 $150 °$ B、 $135 °$ C、 $120 °$ D、 $105 °$

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ， E，F分别是垂足．已知 $A B = 2 A C$ ，则 $D E$ 与 $D F$ 的长度之比是（）

A、 $2 : 3$ B、 $2 : 1$ C、 $1 : 2$ D、 $3 : 2$

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7、依据下列条件能画出唯一三角形的是（）

A、 $∠ A = 30 °$ ， $∠ B =60 °$ ， $∠ C = 90 °$ B、 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A C = 3$ C、 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A = 30 °$ D、 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $∠ B = 120 °$

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8、请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ A O B$ 的依据是（　　）

A、 $SAS$ B、 $ASA$ C、 $AAS$ D、 $SSS$

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9、研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C = B D$ ，且 $A C ⊥ B D$ ．
（1）求证： $A B = C D$ ；
（2）若 $⊙ O$ 的半径为8，弧 $B D$ 的度数为 $120 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积；
（3）如图2，作 $O M ⊥ B C$ 于 $M$ ，请猜测 $O M$ 与 $A D$ 的数量关系，并证明你的结论．

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10、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2 (a > 0)$ 的图象经过点 $A (2, - 2)$ ．

(1)、求二次函数的图象的对称轴．

(2)、若 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的最小值为 $- 3$ ，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当 $0 \leq x \leq 5$ 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．

(3)、设 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的图象与x轴的交点分别为 $(x_{1}, 0)$ ， $(x_{2}, 0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．若 $4 < x_{2}^{2} - x_{1}^{2} < 8$ ，求a的取值范围．

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11、如图，A，B，C是 $⊙ O$ 上的三点，且 $\overset{⌢}{A B} = 2 \overset{⌢}{B C}$ ．过点B作 $B E ⊥ O C$ 于点E，延长 $B O$ 交 $⊙ O$ 于点D，连结 $A D$ ．

(1)、若 $∠ A D B = 62 °$ ，求 $∠ O B E$ 的度数；

(2)、求证： $A B = 2 B E$ ．

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12、如图，已知 $△ A B C$

(1)、用直尺和圆规作出 $△ A B C$ 的外接圆 $O$ ；

(2)、若 $A B = A C = 13$ ， $B C = 24$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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13、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$

(1)、求函数图象的顶点坐标及图象与坐标轴的交点坐标．

(2)、根据图像直接回答：
①当 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围；
②当 $y > - 3$ 时， $x$ 的取值范围．

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14、如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形 $A B C D E F$ ， $⊙ O$ 是它的外接圆．

(1)、求 $∠ B A F$ 的度数

(2)、连接 $O C$ ， $O D$ ，作 $O G ⊥ C D$ ．若劣弧 $C D$ 的长为 $\frac{2}{3} π$ ，求 $O G$ 的长

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15、有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{18}$ ，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．

(1)、直接写出小丽取出的卡片恰好是 $\sqrt{3}$ 的概率；

(2)、小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．

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16、如图，在半径为2的 $⊙ O$ 中，弦 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $C$ 为弦 $A B$ 所对优弧上的动点．连接 $C A$ ， $C B$ ，过点 $A$ 作 $A C$ 的垂线与 $C B$ 所在的直线交于点 $D$ ．
（1） $\overset{⌢}{A B}$ 的度数为；
（2）在点 $C$ 运动的过程中， $△ A B D$ 的面积的最大值为

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17、已知点 $Q (m ， n)$ 在抛物线 $y = 2 x^{2} + a x + a$ 上，当 $m \geq - 1$ 时，总有 $n \geq 2$ 成立，则 $a$ 的取值范围是

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18、如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，若半径 $O A = 9 cm, ∠ A O B = 120 °$ ，则图2的周长为 $cm$ ．

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19、在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关 $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．

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20、把二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x$ 改写成形如 $y = a {(x - m)}^{2} + k$ 的形式为.

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