华东师大版数学八（下）第15章分式单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-02-04 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

1. 若 $a = - (- 0.3)^{2}$ ， $b = - 3^{- 2}$ ， $c = (- \frac{1}{3})^{0}$ ，则正确的为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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2. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（）

A、 $\frac{896}{30 - x} - 120 = \frac{896}{x}$ B、 $\frac{896}{30 - x} + \frac{896}{x} = 120$ C、 $120 + \frac{896}{x} = \frac{896}{30 + x}$ D、 $\frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x} + 120$

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3. 在解决问题“小喜在A、B两地间进行骑车训练，去时每小时行18千米，用了2.5小时；返回时用了3小时，每小时行多少千米?”时有四种方案，其中错误的方案是 ( ).
方案-： 18×2.5÷3
方案二： 2.5÷3×18
方案三：设每小时行x千米.18×2.5=3x
方案四：设每小时行x千米. $\frac{2.5}{3} = \frac{18}{x}$

A、方案- B、方案二 C、方案三 D、方案四

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4. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 $\{\begin{cases} x \geq - 2 x + 7 \\ 2 x - \frac{x - 1}{2} < a \end{cases}$ 无解，且使关于 $y$ 的分式方程 $\frac{3 - a y}{y - 2} + 2 = \frac{- 1}{2 - y}$ 有整数解，则所有符合题意的整数 $a$ 的值的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 \geq 2 (x + 2) \\ a - 2 x < - 5 \end{array}$ 的解集为 $x \geq 6$ ，且关于y的分式方程 $\frac{y + 2 a}{y - 1} + \frac{3 y - 8}{1 - y} = 2$ 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

A、5 B、8 C、12 D、15

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6. 若分式方程 $\frac{m - 1}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} = 0$ 有增根，则 $m$ 的值是（　　）

A、3 B、2 C、1 D、 $- 1$

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7. 下列等式一定成立的是（）

A、 $\frac{3}{4} = \frac{3 + a}{4 + a}$ B、 $\frac{a - c}{b - c}$ = $\frac{a}{b}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ D、 $\frac{2 x y}{y^{2}} = \frac{2 x}{y}$

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8. 某工厂生产质量为1g，5g，10g，25 g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20 g，若再放入一个25 g的球，此时箱子里球的平均质量变为21g，则x的值为 ( )

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如M={1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫作集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变).若集合N={x，1，2}，我们说M=N.已知集合A={1，0，a}，集合B= $\{\frac{1}{a}, ∣ a ∣, \frac{b}{a}\},$ 若A=B，则b-a的值是( ).

A、-1 B、0 C、1 D、2

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

10. 若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ ＝.

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11. 已知 $2 a^{2} - 7 = 2 a$ ，则代数式 $(a - \frac{2 a - 1}{a}) \div \frac{a - 1}{a^{2}}$ 的值为．

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12. 若关于x的方程 $1 + \frac{x}{2 - x} = \frac{2 m}{x^{2} - 4}$ 无解，则m的值是．

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13. 小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为 $x$ 元，可列分式方程为.

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14. 把电阻值分别为 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 。当 $R_{1} = 2 R_{2}$ 时， $\frac{R}{R_{2}} =$ 。

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15. 若关于x的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{4 x - 1}{3} < x + 1 \\ 2 (x + 1) \geq - x + a \end{matrix}$ 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{2 y - 2} = 1 - \frac{3}{1 - y}$ 的解为非负数，则a的取值范围为.

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三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

16. 解方程： $\frac{3}{x + 2} + 1 = \frac{x}{x - 2}$ ．

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17. 化简： $(\frac{a}{a - 1} - a) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 1}$ ．

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18. 小华在解分式方程 $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{?}{x - 2} = 3$ 时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．

(1)、她把这个数“？”猜成 $- 3$ ，请你帮小华解这个分式方程；

(2)、小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

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19. 柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征.近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩.已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克.求该村成立合作社前柿子的种植面积.（列分式方程解答)

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20. 新春佳节，大红灯笼高高挂．某超市购进甲、乙两种畅销的灯笼，已知购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼少50个，甲种灯笼的单价是乙种灯笼的2倍．

(1)、甲、乙两种灯笼的单价分别是多少元？

(2)、为满足消费者需求，在甲、乙两种灯笼单价不变的条件下，该超市准备再次购进甲、乙两种灯笼共100个，且总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种灯笼？

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21. 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题1：计算： $\frac{a - 1}{a^{2} - 1} + \frac{a}{a + 1}$
解：原式 $= \frac{a - 1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ ……第一步
$= a - 1 + a (a - 1)$ ……第二步
$= a^{2} - 1$ ……第三步
习题2：解方程： $\frac{2}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} + 1$
解：方程两边同乘 $x + 1$ ，得
$(x + 1) \frac{2}{x + 1} = (x + 1) \frac{x}{x + 1} + 1$ ……第一步
$x = 1$ ……第二步
经检验， $x = 1$ 是分式方程的解……第三步

(1)、解答过程中，习题1从第步开始出现错误，习题2从第步开始出现错误；

(2)、任选一个习题写出正确的解答过程．

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22. 列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买 $A$ ， $B$ 两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中 $B$ 型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套 $A$ 型号的“文房四宝”的价格比 $B$ 型号的“文房四宝”的价格高 $30 %$ ，求每套 $B$ 型号的“文房四宝”的价格．

(1)、某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号
总价（元）
单价（元/套）
购买套数
$A$ 型

$B$ 型
3000
$x$
$\frac{3000}{x}$

(2)、请你完整解答本题．

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23. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定：
（ $I$ ）方程的整数解称之为“暖根”；
（ $II$ ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
已知一元一次方程 $3 x + 2 = 2 (x + 2) - 1$ ①与分式方程 $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} = 1$ ②：

(1)、方程①有“暖根”吗？

(2)、方程②有“暖根”吗？

(3)、它们是“同源方程”吗？填（是或不是）

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24. 在教科书中，我们将不等式 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c} (a > b > 0, c > 0)$ 趣称为“糖水不等式”.

(1)、【模型推广】
“如果 $\frac{b}{a} < \frac{d}{c},$ 那么 $\frac{b}{a} < \frac{b + d}{a + c} < \frac{d}{c} (a > b > 0, c > d > 0) ”,$ 它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按a：c进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液.
由 $\frac{b}{a} < \frac{d}{c},$ 可判断bc ad(填写“>”或“<”)，请证明不等式 $\frac{b}{a} < \frac{b + d}{a + c}$ 成立.

(2)、【应用模型】
某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料：
果汁A：糖的浓度为8%；( $糖的浓度 = \frac{糖的质量}{果汁的质量}$ )
果汁B：糖的浓度为24%.
①若取相同质量的果汁A 和果汁B进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为 $\frac{8 + 24}{__} =____$ ．
②饮料公司需要生产一批320kg 的混合果汁，果汁A 和果汁B 的利润分别为5元/kg和12元/kg，要求混合果汁的糖的浓度不高于16%，如何生产能获得最大利润?最大利润是多少?

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型号	总价（元）	单价（元/套）	购买套数
$A$ 型
$B$ 型	3000	$x$	$\frac{3000}{x}$

华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试提升卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

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