华东师大版数学八（下）第15章分式单元测试基础卷

试卷更新日期：2026-02-04 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

1. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入1320个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用1小时输完，这两名操作员每分钟各能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意，下列方程正确的是（ )

A、 $\frac{1320}{2 x} = \frac{1320}{x} + 1$ B、 $\frac{1320}{2 x} = \frac{1320}{x} - 1$ C、 $\frac{1320}{2 x} = \frac{1320}{x} + 60$ D、 $\frac{1320}{2 x} = \frac{1320}{x} - 60$

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2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000074”用科学记数法表示为（）

A、0.74×10^-4 B、7.4×10^-4 C、7.4×10^-5 D、74×10^-6

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3. 计算 $\frac{3 x}{x - y} \cdot \frac{x - y}{3 y}$ 的结果是（）

A、 $\frac{y}{x}$ B、 $\frac{x}{y}$ C、 $- \frac{y}{x}$ D、 $- \frac{x}{y}$

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4. 计算： ${(- 3)}^{- 3} =$ （）

A、27 B、 $\frac{1}{27}$ C、 $- \frac{1}{27}$ D、 $- 27$

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5. 把分式 $\frac{2 x - 3 y}{x + y}$ 中的x ， y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的4倍 B、扩大为原来的8倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ D、不变

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6. 下列分式为最简分式的是（）

A、 $\frac{2 a}{3 a^{2} b}$ B、 $\frac{a}{a^{2} - 3 a}$ C、 $\frac{a + b}{a^{2} + b^{2}}$ D、 $\frac{a^{2} - a b}{a^{2} - b^{2}}$

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7. “若关于x的方程

\frac{a x}{3 x - 9} = \frac{12}{3 x - 9} + 1

无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：

尖尖：

去分母得： $a x = 12 + 3 x - 9$ ，

移项得： $a x - 3 x = 12 - 9$ ，

合并同类项得：

$(a - 3) x = 3$ ，

$∵$ 原方程无解，

$∴ a - 3 = 0$ ，

$∴ a = 3$ ．

丹丹：

去分母得： $a x = 12 + 3 x - 9$ ，

移项，合并同类项得： $(a - 3) x = 3$ ，

解得： $x = \frac{3}{a - 3}$ ，

$∵$ 原方程无解， $∴ x$ 为增根，

$∴ 3 x - 9 = 0$ ，解得 $x = 3$ ，

$∴ \frac{3}{a - 3} = 3$ ，解得 $a = 4$ ．

下列说法正确的是（）

A、尖尖对，丹丹错 B、尖尖错，丹丹对 C、两人都对 D、两人的答案合起来才对

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

8. 某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为 $9.5 \times 1 0^{n}$ ，这里的n值为．

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9. 当x时，分式 $\frac{1}{x - 5}$ 有意义.

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10. 已知： $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}$ （ $x, y, z$ 均不为零），则 $\frac{x + 3 y}{2 y - 3 z} =$ ．

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11. 已知 $\frac{x + 5}{(x + 1) (x - 3)} = \frac{A}{x + 1} - \frac{B}{x - 3}$ ，则 $A =$ ， $B =$ ．

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12. 我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为．

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三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

13. 解方程： $\frac{1}{x - 2} = \frac{x - 1}{2 - x} + 3 .$

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14. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}) \div \frac{x - 2}{x^{2} + x}$ 其中 $x = 3$ ．

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15. 根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了 $25 %$ ，设更新设备前每天生产 $x$ 件产品．解答下列问题：

(1)、更新设备后每天生产________件产品（用含 $x$ 的式子表示）；

(2)、更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品．

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16. 小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算： $\frac{4}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a - 2}$ ． ”

(1)、老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？

(2)、请你写出正确的计算过程，并求出当 $a = 1$ 时原式的值．

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17. 一块麦田有m hm² ，甲收割完这块麦田需 n h，乙比甲少用0.5h就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时?

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18. 小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析。

豆包给出分析：

这个解答从第 ▲ 步开始出现错误；

虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误。

正确解答为： $\frac{x ² + 2}{x + 1} - \frac{3}{1 + x}$ ，其中x=1

解：原式=

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19. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．

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20. 定义新运算：对于任意实数a，b（其中 $a \neq 0$ ），都有 $a \otimes b = \frac{1}{a} - \frac{a - b}{a}$ ，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如 $2 \otimes 3 = \frac{1}{2} - \frac{2 - 3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ．

(1)、求 $(- 2) \otimes 3$ 的值；

(2)、若 $x \otimes 2 = 1$ ，求x的值．

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21. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.”
【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3} .$ 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
如 $\frac{x - 1}{x + 1}, \frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式； $\frac{3}{x + 1}, \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式).
如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}; \frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x (x - 1) + (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$
解决下列问题：

(1)、【理解知识】分式 $\frac{2025}{x}$ 是分式（填“真”或“假”)；

(2)、【掌握知识】将假分式 $\frac{x + 2}{x + 3}$ 化为带分式；

(3)、【运用知识】求所有符合条件的整数x 的值，使得分式 $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x - 1}$ 的值为整数.

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华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试基础卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

华东师大版数学八（下）第15章分式单元测试基础卷