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1、如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，将 $A O$ 向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段 $B C$ ．连接 $A B$ 、 $A C$ 、 $O C$ ．

(1)、点 $B$ 的坐标为__________，点 $C$ 的坐标为__________；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在一点 $D$ ，使得三角形 $A B D$ 的面积等于三角形 $A O C$ 面积的一半？若存在，请求出点 $D$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，若 $P$ 是直线 $A B$ 上的一个动点，连接 $O P$ 、 $P C$ ，当点 $P$ 在直线 $A B$ 上运动时，直接写出 $∠ C P O$ ， $∠ B C P$ ， $∠ A O P$ 之间的数量关系

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2、
【阅读理解】我们都知道， $\sqrt{3}$ 是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{3}$ 的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用 $\sqrt{3} - 1$ 来表示 $\sqrt{3}$ 的小数部分，这个方法是因为 $1 < \sqrt{3} < 2$ ，所以 $\sqrt{3}$ 的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用 $\sqrt{3} - 1$ 来表示 $\sqrt{3}$ 的小数部分．
再比如，我们要估算一个体积为 $10 {cm}^{3}$ 的正方体的棱长：
$∵ 8 < 10 < 27$ ，即 $2 < \sqrt[3]{10} < 3$ ，
$∴ \sqrt[3]{10}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt[3]{10} - 2$ ．
根据上面问题的思路与方法，解决下列问题：
（1） $\sqrt{10}$ 的小数部分是________； $\sqrt[3]{28}$ 的整数部分是________．
【类比应用】
（2）如果 $\sqrt{6}$ 的小数部分为 $a$ ， $\sqrt[3]{17}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $a + b - \sqrt{6}$ 的值；
【思维拓展】
（3）如图，已知直线 $A B ∥ D E$ ， $∠ C B M = m ∠ A B M$ ， $∠ C D N = m ∠ N D E$ ，射线 $B M$ ， $D N$ 的反向延长线交于点 $F$ ，若 $x ∠ F + y ∠ C = 540 °$ ，且 $x$ 、 $y$ 分别为 $\sqrt[3]{65}$ 和 $\sqrt{2}$ 的整数部分，求出 $m$ 的值．

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3、计算： $- 1^{2026} + \sqrt{9} - \sqrt[3]{8} + |\sqrt{3} - 2|$ ．

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4、图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图， $A D ∥ B C$ ，使用打孔器时， $A D$ ， $D E$ ， $D C$ 分别移动到 $A D^{'}$ ， $D^{'} E^{'}$ ， $D^{'} C$ ．此时 $D^{'} E^{'} ∥ B C$ ， $D D^{'}$ 平分 $∠ A D C$ ，若 $∠ D D^{'} E^{'} = 72 °$ ，则 $∠ D C B =$ $°$ ．

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5、如图，三条直线 $A B ， C D ， E F$ 相交于点O，则 $∠ A O C + ∠ B O E + ∠ D O F =$ ．

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6、如图，在平面直角坐标系中， $O A_{1} = 1$ ，将边长为1的正方形的一边与 $x$ 轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点 $A_{2026}$ 的坐标为（）

A、 $(1014, 0)$ B、 $(1013, 1)$ C、 $(1013, 0)$ D、 $(1013, - 1)$

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7、两面镜子 $A B, B C$ 按如图所示的位置摆放，入射光线 $O M$ 经过镜子两次反射后的反射光线 $N O$ 平行于 $A B$ ，若 $O M ∥ B C$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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8、平面直角坐标系中若点 $P$ 的坐标为 $(5, - 2)$ ，则点 $P$ 到 $y$ 轴距离为（）

A、 $- 2$ B、2 C、5 D、 $- 5$

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9、如图所示， $F E ⊥ C D$ ， $∠ 1 = 65 ° 2 2^{'}$ ，当 $∠ 2 =$ （）时， $A B ∥ C D$ ．

A、 $24 ° 6 8^{'}$ B、 $24 ° 3 8^{'}$ C、 $25 ° 6 8^{'}$ D、 $25 ° 3 8^{'}$

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10、下列语句是真命题的是（）

A、同位角相等 B、两点之间，线段最短 C、过点 $P$ 作线段 $A B$ 的垂线 D、两个锐角互余

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11、如图，下列说法一定正确的是（）

A、 $∠ 1$ 和 $∠ 6$ 是邻补角 B、 $∠ 3$ 和 $∠ 4$ 是同旁内角 C、 $∠ 2$ 和 $∠ 8$ 是同位角 D、 $∠ 2$ 和 $∠ 5$ 是内错角

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12、下列各数中是无理数的是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、1.2 D、17

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13、下列的四个图形，能由如图平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图，五边形 $A B C D E$ 中， $∠ B = 120 °$ ， $∠ C = 110 °$ ， $∠ D = 105 °$ ，则 $∠ A + ∠ E =$ °．

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15、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $E F$ 过点O，交 $A D$ 于点F，交 $B C$ 于点E．若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A D = 5$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、4 B、6 C、3 D、1.5

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16、如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点A、B的坐标分别为 $(a, 0)$ 、 $(0, b)$ ，顶点C在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点D在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图象上．

(1)、当点C的坐标为 $(2, 8)$ 时，求a、b的值；

(2)、当 $k_{2} > k_{1}$ 时，求a、b应满足什么关系，请说明理由；

(3)、如图2，当 $k_{1} = k_{2}$ 时，在BC的延长线上取一点E，过点E作 $E F ⊥ E B$ 交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为 $E F$ 的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）．

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, ∠ A C B = 30 °$ ，点P在 $A C$ 边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作 $P Q ⊥ B P$ ，交射线 $B C$ 于点Q．

(1)、如图，若点Q在线段 $B C$ 的延长线上， $P C = C Q$ ，探索 $B Q$ 与 $C Q$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图，若点Q在线段 $B C$ 上， $B C = 10$ ， $\frac{P Q}{B P} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $B Q$ 的长．

(3)、如图，若 $A B = 3 \sqrt{3}$ ，求在运动过程中线段 $B Q$ 长度的最小值．

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18、
综合与实践
【问题背景】
某班同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将一张菱形纸片 $A B C D (∠ A D C > 90 °)$ 沿对角线 $B D$ 剪开，得到 $△ D A B$ 与 $△ D B C$ ．
【操作研究】
（1）数韵小组的同学们将图1中的 $△ D B C$ 以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $α$ ，得到如图2所示的 $△ D B^{'} C$ ，连接 $A C$ 、 $B B^{'}$ ，得到四边形 $A B B^{'} C$ ，且发现它是矩形，请你探索 $α$ 与 $∠ A D B$ 之间的数量关系，并证明这个结论．
【深入求索】
（2）理趣小组的同学们在数韵小组发现四边形 $A B B^{'} C$ 是矩形的基础上，量得 $A B = 20 cm$ ， $B D = 24 cm$ ，现将 $△ D B^{'} C$ 沿射线 $C A$ 方向平移 $x cm$ ，得到 $△ D^{'} B^{″} C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ 、 $B B^{″}$ ，使四边形 $A B B^{″} C^{'}$ 恰好为正方形，求x的值．

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19、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A (1, 0)$ 和点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的表达式及顶点 $D$ 的坐标；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上一动点，且在对称轴的右侧，过点 $P$ 作对称轴的垂线，垂足为 $Q$ ．求 $P Q - D Q$ 的最大值，并求此时点 $P$ 的坐标．

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20、如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ C$ ，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点D，且 $D E ⊥ B C$ ，垂足为E， $B E < C E$ ．

(1)、求证： $E D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $E D = 4$ ，求 $B E$ 的长．

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