相关试卷

1、已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、补全表格，并画出二次函数的图象；
x
…

…
y
…

…

(2)、观察该图象，直接回答以下问题：
①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围；
②当 $y < 0$ 时，写出x的取值范围．

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2、在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x = b^{2} (a > 0, b > 0)$ 的图解法是：如图，作 $Rt △ A B C$ ，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = \frac{a}{2}$ ， $A C = b$ ，在斜边上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，则 $A D$ 的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x = 16 (a > 0)$ 的图解，若 $\frac{B D}{A D} = \frac{3}{2}$ ，则a的值为．

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3、在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为 $3 m$ ，水池边与跳台支柱之间的宽度为 $1 m$ （见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面 $10 m$ ，运动过程中的最高点B距离水面 $11.25 m$ ，此时与点A的水平距离为 $0.5 m$ ．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为 $m$ ．

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4、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = A D$ ．点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上，若 $∠ E A D = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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5、若事件A为必然事件，则事件A发生的概率 $P (A) =$ ．

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6、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象与 $x$ 轴的一个交点 $A$ 位于 $(- 2, 0)$ 和 $(- 1, 0)$ 之间，顶点 $P$ 为 $(1, n)$ ．下列结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $3 b > 2 c$ ；④若该二次函数的图象与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$ ，且 $△ P A B$ 是等边三角形，则 $n = - \frac{3}{a}$ ．其中正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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7、如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点D是边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ B A E$ ，连接 $E D$ ．已知 $B D = 7$ ， $△ A E D$ 的周长是15，则 $△ A B C$ 的边长是（）

A、4 B、7 C、8 D、10

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8、如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，已知这个正六边形的边心距 $O M$ 的长为3，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、6

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9、数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）

A、白球 B、红球 C、黄球 D、黑球

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10、圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰兼隔断，既好看又实用，还带着浓浓的中式韵味．如图是一款圆形拱门屏风的示意图，其中拱门最下端 $A B$ 在地面上， $C$ 为 $A B$ 的中点， $D$ 为拱门最高点，线段 $C D$ 经过拱门所在圆的圆心 $O$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $1 m$ ， $C D = 1.8 m$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、 $0.6 m$ B、 $0.8 m$ C、 $1 m$ D、 $1.2 m$

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11、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、下列数学符号是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下：
【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示．
（1）在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $B E$ ，若 $B E = B C$ ，过 $C$ 作 $C F ⊥ B E$ 交 $B E$ 于点 $F ， S_{矩形 A B C D} = 20$ ．同学们猜想 $B E \cdot C F$ 是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明．
【深入探究】同学们分组进行探究， $A$ 组选用了菱形进行探究，如图2所示．
（2）在菱形 $A B C D$ 中，过 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $\frac{A F}{A E} = \frac{1}{3}$ ．
①求证： $△ A F E ∽ △ B E C$ ；
②若 $S_{菱形 A B C D} = 24$ 时，求 $E F \cdot B C$ 的值．
【拓展提升】 $B$ 组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决．
（3）在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 在边 $C D$ 上，且 $C E = 2$ ，点 $F$ 为边 $B C$ 上一点，连接 $E F$ ，过 $E$ 作 $E G ⊥ E F$ 交平行四边形 $A B C D$ 的边于点 $G$ ，若 $E F \cdot E G = 7 \sqrt{3}$ 时，请直接写出线段 $A G$ 的长．

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14、计算： $a^{2} \cdot {(3 a)}^{2} =$ ．

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15、如图，点 $A$ ， $B$ ， $O$ 分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量 $∠ A O B = 65 °$ ，公园在学校的北偏东 $27 °$ 方向，则实践基地在学校的（）方向．

A、南偏东 $38 °$ B、南偏西 $38 °$ C、北偏东 $38 °$ D、北偏西 $38 °$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，若 $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ D O E$ 与 $△ B O C$ 的面积之比为．

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17、综合与实践探究
【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ．
【初步探究】
（1）小鸣将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，连接 $B D 、 C E$ 后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证： $B D = C E$ ，且 $B D ⊥ C E$ ；
【深入探究】
（2）若 $∠ A D B = 90 °$ ， $O$ 点为 $B C$ 的中点，旋转过程中，当点 $D 、 E 、 O$ 在一条直线上时，如图②，求证： $O E = O D + \sqrt{2} B D$ ．

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18、综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直角三角板 $A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，将其顶点A放在直线 $l_{2}$ 上，并使边 $A B ⊥ l_{1}$ 于点D， $A C$ 与 $l_{1}$ 相交于点H．
（1）试判断边 $B C$ 与直线 $l_{1}$ 的位置关系并说明理由；
操作探究：
（2）如图2，将图1中三角板 $A B C$ 的直角顶点B放在平行线之间，两直角边 $A B$ ， $C B$ 分别与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点E，F，得到 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ ，试探究 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的数量关系并说明理由；
下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整．
解： $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ，理由：
过点B作直线 $B N ∥ l_{1}$ ，如图4所示．
因为 $l_{1} ∥ l_{2}$ （已知）
所以 $B N ∥ l_{2}$ （______________）
所以 $∠ 1 = ∠ A B N$ ， $∠ 2 =$ ________（______________）
因为________ $+ ∠ N B C = ∠ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$
所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$
深入探究：
（3）受小明启发，同学们继续探究下列问题．
在图2中作线段 $E O$ 和 $F O$ ，使它们分别平分 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的顶角，如图3，请直接写出 $∠ E O F$ 的度数．

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19、如图1，在△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， D为BC边上一点。速结AD、E为AD边上一点， DE=DB，连结BE， CE，记∠ABE=a。

(1)、用含a的代数式表示∠CAD。

(2)、若△CDE是以DE为腰的等腰三角形， BD=1，求AD的长。

(3)、如图2，延长BE交AC于点 F，(若 FC=7， AD=12，求BD的长。

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20、 “智造慈模”家电产品展明会上，某品牌进行机器人行走表演。甲、乙两机器人分别从A、B两地同时出发，相向商行。甲机器人到达B地后，停留3a，然后损拖返回A地，乙机器人到达A地即停止。甲、乙两机器人之间的距离y(相)与行走时间x(s)的函数图象如图所示。请根据上述信息，回答下列问题：

(1)、写出图中点M表示的实际意义。

(2)、求甲、乙两机器人的速度。

(3)、若点N的纵坐标为23，求点 N的横坐标。

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x	…						…
y	…						…