相关试卷

1、数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【提出问题】
问题 $1$ 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点 $A$ 出发，到一条笔直的河岸 $l$ 上的点 $C$ 饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作点 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ 与 $l$ 交于点 $C$ ，点 $C$ 就是饮马的地方，此时按路线 $A C - C B$ 走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：在 $l$ 上另取一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ， $B C^{'}$ ，只要证明 $A C + C B < A C^{'} + C^{'} B$ 即可．
问题 $2$ 如图②，要在河岸 $l$ 上建一座水泵房 $Q$ ，修建引水渠 $P Q$ ；使得 $Q$ 到村庄 $P$ 的距离最短．施工人员的做法是：过点 $P$ 作 $P Q ⊥ l$ 于点 $Q$ ，将水泵房建在 $Q$ 处，这样修建引水渠 $P Q$ 最短，既省人力又省物力．
（ $1$ ）请在图①中标出河岸 $l$ 中点 $C$ 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（ $2$ ）问题 $2$ 中所隐含的数学原理是_______．
【感悟方法，尝试应用】
（ $3$ ）如图③，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线．
①直接写出 $B D$ 与 $A B$ 的数量关系________．
②若 $A D = 4$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边的中点，点 $F$ 为 $A D$ 上一点，当 $B F + E F$ 的值最小时，在如图③上标注点 $F$ 的位置，并求出 $B F + E F$ 的最小值．
【迁移拓展，综合应用】
（ $4$ ）如图④，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 在斜边 $B C$ 上，且 $B C = 4 C D = 4$ ， $A E$ 是 $△ B A C$ 的角平分线，点 $F$ 、点 $G$ 分别为 $A C 、 A E$ 上一点，求 $D G + F G$ 的最小值．

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2、知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，等式变形可得 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ，基于此，请解答下列问题：

(1)、直接应用：若 $a b = 3, a + b = 3$ ，直接写出 $a^{2} + b^{2}$ 的值为______；

(2)、类比应用：若 $x (2 - x) = 1$ ，则 $x^{2} + {(2 - x)}^{2} =$ _______；（直接写结果）

(3)、知识迁移：两个全等的直角三角形， $Rt △ A B D ≌ Rt △ C B E$ ，其中 $∠ A B D = ∠ C B E = 90 °$ ．如图2所示放置，其中 $C$ ， $B$ ， $D$ 在一直线上，连接 $A C$ ， $D E$ ，若 $A E = 4$ ， $S_{△ A B D} = 10$ ，设 $A B = B C = a, B D = B E = b$ ，求四边形 $A C D E$ 的面积 $S$ 的大小．

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3、春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．
【筝形的定义】
两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形 $A B C D$ 满足 $A B = A D$ 且 $C B = C D$ ，则四边形 $A B C D$ 为筝形．
（ $1$ ）【任务 $1$ 】如图2是由小正方形组成的 $10 \times 5$ 网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形 $E F G H$ ；
【任务 $2$ 】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题：
命题 $1$ ：筝形有一组对角相等．
命题 $2$ ：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线．
命题 $3$ ：筝形的每一条对角线平分一组对角．
（ $2$ ）以上命题是真命题的有______个．
（ $3$ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明．

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4、2025年第十五届全国运动会吉祥物“雄雄”和“和和”以中华白海豚为设计原型，头顶三色水柱，融合了广东木棉红、香港紫荆紫、澳门莲花绿，象征着粤港澳三地同心同源、交融共生．它们因圆润的造型、憨态可掬的表情，备受广大网友的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A，B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用4500元购买用A材料生产吉祥物的数量是用3000元购买B材料生产吉祥物数量的3倍．求购买一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，AD是角平分线， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 62 °$ ， $D E ⊥ A C$ ．

(1)、求 $∠ A D E$ 的度数．

(2)、若 $D E = 3$ ，求点D到AB的距离．

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6、小雅同学计算一道整式除法：
$(a x^{3} y^{2} + b x^{2} y^{3}) \div (2 x y)$ ，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 $12 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4}$ ．

(1)、直接写出a、b的值： $a =$ ， $b =$ ．

(2)、请写出这道除法计算的过程和正确结果．

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7、一张正方形纸片的边长减少 $2 cm$ ，它的面积就减少 $20 {cm}^{2}$ ，这张正方形纸片的边长是 $cm$ ．

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8、在平面直角坐标系内点 $P (- 3 ， a)$ 与点 $Q (b, - 1)$ 关于y轴对称，则 $a + b$ 的值为.

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9、计算： $2025^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ ．

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10、因式分解： $2 m n^{2} + m n =$ ．

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11、若 $2^{2} = 4^{y}^{- 1}$ ， $27^{y} = 3^{x}^{+ 1}$ ，则 $x - y$ 等于( )

A、 $- 5$ B、3 C、 $- 1$ D、1

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12、若 $(x + m) (x - m) = x^{2} - 4$ ，则m的值是（）

A、2 B、4 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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13、如图， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ，且 $E$ 是 $A B$ 的中点，添加下列条件，不能说明 $△ A C E ≌ △ B D E$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ D$ B、 $∠ A = ∠ B$ C、 $C E = D E$ D、 $A C = B D$

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14、要使分式 $\frac{6}{x - 2}$ 有意义， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = 2$ B、 $x > 2$ C、 $x \neq 2$ D、 $x < 2$

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15、下列三条线段能够组成三角形的是（）

A、2、3、6 B、5、8、13 C、3、4、8 D、4、6、8

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16、世界最大的单口径球面射电望远镜位于中国贵州省黔南布依族苗族自治区，被誉为“中国天眼”，在其2025年发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00432秒．数据0.00432用科学记数法可以表示为（）

A、 $4.32 \times 10^{- 2}$ B、 $4.32 \times 10^{- 3}$ C、 $4.32 \times 10^{- 4}$ D、 $4.32 \times 10^{- 5}$

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17、综合与实践
如图是某校田径运动场平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间（即阴影部分）长方形的长为 $a m$ ，环形跑道内侧半圆的半径为 $r m$ ，跑道宽为 $c m$ ．

(1)、用含有 $a$ ， $r$ 的代数式表示跑道内侧的周长为______ $m$ ；

(2)、用含有 $a$ ， $r$ ， $c$ 的代数式表示跑道外侧的周长为______ $m$ ；

(3)、当 $a = 25$ ， $r = 10$ 时，求小强沿着跑道内侧跑一圈的路程．（ $π$ 取 $3$ ）．

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18、习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为 $%$ ．

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19、若一个反比例函数的图象经过 $P (4, - 6)$ ， $Q (n + 2, - 4)$ 两点，则n的值为（）

A、4 B、6 C、 $- 4$ D、 $- 6$

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20、小星学习了最短路径问题后，做了一个高为 $10 cm$ ，底面圆的周长为 $24 cm$ 的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点 $A$ 处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点 $A$ 相对的中点 $P$ 处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为 $12 \sqrt{3} cm$ ，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部 $A$ 处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点 $A$ 相对的点 $M$ 处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点 $B$ 处（此时 $A 、 B$ 两点重合）小星沿着 $A D$ 竖直方向将圆柱剪开，得到长方形 $A B C D$ （如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想 $M B$ 平分 $∠ A M C$ ，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为 $20 cm$ 的正方形纸片（如图④），点 $E$ 为 $B C$ 中点，他将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 对折到正方形内部 $△ A F E$ 的位置，并把线段 $A B$ 抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点 $F$ 处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．

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