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1、如图，已知正方形 $A B C D$ ，以 $A B$ 为腰向正方形内部作等腰 $△ A B E$ ，其中 $A B ＝ A E$ ，过点E作 $E F ⊥ A B$ 于点F，若点P是 $△ A E F$ 的内心， $A B = 4$ ，连接 $C P$ ，则 $C P$ 的最小值是．

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2、如图，把 $△ A B C$ 绕着点 $A$ 顺时针方向旋转 $30 °$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点 $C$ 恰好在 $B^{'} C^{'}$ 上，则 $∠ C^{'} =$ $°$ ．

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3、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 2025 x - 2026 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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4、下列说法中正确的是（）

A、直径是弦 B、长度相等的两条弧是等弧 C、相等的圆心角所对的弧相等 D、平分弦的直径垂直于弦

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5、嘉嘉用软件绘制抛物线 $y = 2 x^{2}$ 时，将“ $2$ ”按成了“ $- 2$ ”，和原图象相比，发生改变的是（）

A、开口大小 B、开口方向 C、对称轴 D、顶点坐标

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6、下列事件中是随机事件的是（）

A、太阳从东边升起 B、三角形任意两边之和大于第三边 C、抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上 D、水中捞月

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7、若关于 $x$ 的一元二次方程的根为 $x = \frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \times 3 \times (- 5)}}{2 \times 3}$ ，则这个方程是（）

A、 $3 x^{2} + x - 5 = 0$ B、 $3 x^{2} - x - 5 = 0$ C、 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ D、 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$

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8、若方程“ $□ - 3 = 4 x$ ”是关于 $x$ 的一元二次方程，则“□”可以是（）

A、 $2 y^{2}$ B、 $2 x^{2}$ C、 $- 2 x$ D、 $2^{2}$

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9、已知，在直线 $l$ 上，线段 $A B = 6$ ，线段 $C D = 2$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，点 $C$ 在点 $D$ 的左侧）．

(1)、在图1中，若线段 $B C = 1$ ，求线段 $A D$ 的长度；

(2)、如图2，点 $P$ 、 $Q$ 分别为 $A D$ 、 $B C$ 的中点，求线段 $P Q$ 的长度；

(3)、如图3，若线段 $C D$ 从点 $B$ 开始（点 $C$ 与点 $B$ 重合）以1个单位长度每秒的速度向右运动，同时，点 $M$ 从点 $A$ 开始以2个单位长度每秒的速度向右运动，点 $N$ 是线段 $B D$ 的中点，若 $M N = 2 D N$ ，求线段 $C D$ 运动的时间．

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10、有这样一道题“如果代数式 $5 a + 3 b$ 的值为 $- 7$ ，那么代数式 $2 (a + b) + 4 (2 a + b)$ 的值是多少？”爱动脑筋的小敏同学解题过程如下：
解：原式 $= 2 (a + b) + 4 (2 a + b) = 2 a + 2 b + 8 a + 4 b = 10 a + 6 b = 2 (5 a + 3 b) = 2 \times (- 7) = - 14$ ．
小敏同学把 $5 a + 3 b$ 作为一个整体求解，整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题：
【简单应用】
（1）已知 $a^{2} + 2 a = 3$ ，则 $2 a^{2} + 4 a + 2020 =$ ___________；
（2）已知 $a - 2 b = - 5$ ，求 $3 (a - b) - 7 a + 11 b + 2000$ 的值；
【拓展提高】
（3）已知 $a^{2} + 2 a b = - 9, a b - 2 b^{2} = 24$ ，求代数式 $2 a^{2} + \frac{5}{2} a b + 3 b^{2}$ 的值．

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11、我们规定，若关于 $x$ 的一元一次方程 $a x = b$ 的解为 $a + b$ ，则称该方程为“合并式方程”，例如： $3 x = - \frac{9}{2}$ 的解为 $- \frac{3}{2}$ ，且 $- \frac{3}{2} = 3 + (- \frac{9}{2})$ ，则方程 $3 x = - \frac{9}{2}$ 是合并式方程．

(1)、判断 $\frac{2}{3} x = 1$ 是否是合并式方程，并说明理由；

(2)、若关于 $x$ 的一元一次方程 $7 x = m - 3$ 是合并式方程，求 $m$ 的值．

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12、某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同，2月份的销售量比1月份增加 $10 %$ ，每辆车的售价比1月份降低了80元，2月份与1月份的销售总额相同，求1月份的售价．

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13、已知： $A = 4 x^{2} - 4 x y + y^{2}, B = x^{2} + x y - 5 y^{2}$ ．

(1)、化简： $A - 2 B$ ；

(2)、求当 $x = 2, y = - 1$ 时， $(3 A - 2 B) - (2 A + B)$ 的值．

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14、解方程： $\frac{2 x + 1}{2} - 1 = 3 - \frac{2 - x}{4}$ ．

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15、计算： ${(- 1)}^{2025} - 9 \div (- \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times 24$ ．

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16、如图，已知 $A$ 、 $B$ 两点在数轴上，点 $A$ 表示的数为 $- 10$ ， $O B = 3 O A$ ．点 $M$ 以每秒3个单位长度的速度从点 $A$ 向右运动，点 $N$ 以每秒2个单位长度的速度从点 $O$ 向右运动（点 $M$ 、 $N$ 同时出发），则经过秒，点 $M$ 、 $N$ 分别到原点 $O$ 的距离相等．

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17、如图，已知直线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O C$ 平分 $∠ A O E$ ，若 $∠ E O B = 54 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为．

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18、若 $|a - \frac{1}{2}| + {(b + 5)}^{2} = 0$ ，则 $a b$ 的值为．

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19、若单项式 $5 a^{2} b^{m - 1}$ 与 $- 2 a^{2 n} b^{3}$ 的和仍然是单项式，则 $m + n =$ ．

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20、比较大小： $- \frac{5}{7}$ $- \frac{4}{5}$ （填写“ $>$ ”或“ $<$ ”）．

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