相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $⊙ O$ 分别切 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F .$ 若 $∠ D O E = 140 °$ ，则 $∠ C =$ $° .$

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2、不等式 $\frac{1 - 2 x}{3} \leq 3$ 的解为．

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3、分解因式： $2 m^{2} - 8 m =$ ．

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4、如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，以其三边为边向外作正方形 $.$ 作 $△ J I H$ ≌ $△ A B C$ ，且 $H J / / A C$ ，达 $\cdot$ 芬奇通过四边形 $B C G D$ 旋转与四边形 $B H J A$ 重合的思路证明了勾股定理 $.$ 若 $A J = 8$ ，四边形 $B C G D$ 的面积 $\frac{25}{2} .$ 则 $B C$ 的长是( )

A、 $4$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

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5、抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x - 5$ 经过 $A (- 4, y_{1})$ ， $B (- 3, y_{2})$ ， $C (1, y_{3})$ 三点，且该抛物线与 $x$ 轴的交点位于 $y$ 轴两侧，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是( )

A、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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6、如图，圆锥的底面半径 $O B = 5$ ，高 $O A = 12$ ，该圆锥的侧面积是( )

A、 $60 π$ B、 $85 π$ C、 $65 π$ D、 $90 π$

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7、如图所示电路中，随机闭合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 中的两个，能让其中一个灯泡发光的概率是 ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $1$

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8、对某班同学课外活动最喜欢的项目进行问卷调查 $($ 每人选一项 $)$ ，绘制成如图所示的统计图 $.$ 已知参与问卷的总人数为 $60$ 人，则选“踢毽子”的人数为( )

A、 $9$ 人 B、 $12$ 人 C、 $15$ 人 D、 $24$ 人

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9、如图是一个正方体的平面展开图，若“家”字为正方体的上面，则该正方体下面的字是( )

A、我 B、在 C、温 D、州

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10、计算 $(- x^{2}) \cdot x^{3}$ 的结果是( )

A、 $x^{3}$ B、 $- x^{5}$ C、 $x^{6}$ D、 $- x^{6}$

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11、 $D e e p S e e k$ 发布后，截止至 $2025$ 年 $2$ 月，其国内月度下载量约为 $45900000$ 次 $.$ 其中数据 $45900000$ 用科学记数法表示为( )

A、 $459 \times 10^{5}$ B、 $45.9 \times 10^{6}$ C、 $4.59 \times 10^{7}$ D、 $0.459 \times 10^{8}$

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12、数 $2$ ， $- 1$ ， $0$ ， $- \sqrt{2}$ 中，最小的是( )

A、 $2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $- \sqrt{2}$

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13、如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ， $A (- 1,0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ B C$ 交于 $B C$ 点 $Q$ ，点 $K$ 是直线 $B C$ 上的动点，连接 $A K$ ， $P K$ ，当 $\sqrt{2} P Q$ 最大时，求出此时 $p$ 的坐标及 $A K - P K$ 的最大值；

(3)、如图 $2$ ，点 $D$ 的坐标 $(0, - 1)$ ，将该抛物线沿射线 $C B$ 方向平移 $2 \sqrt{2}$ 个单位得新抛物线 $y_{1}$ ，点 $E$ 为新抛物线 $y_{1}$ 上的一个动点，满足 $∠ A C O + ∠ A B C + ∠ D B E = 90 °$ ，直接写出点 $E$ 的坐标．

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14、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿 $B \to A \to C$ 方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度匀速运动，到达点 $C$ 时停止运动，连接 $M B$ ， $M C .$ 点 $N$ 以每秒 $\frac{1}{2}$ 个单位长度的速度从点 $C$ 出发，沿 $C \to A$ 方向匀速运动，至点 $A$ 停止 $.$ 两点同时出发，设运动时间为 $x$ 秒 $(0 < x < 9)$ ，过点 $N$ 作 $N E ⊥ B C$ 于点 $E . △ M B C$ 的面积为 $y_{1}$ ， $△ A B C$ 的周长与 $△ N E C$ 的周长之比为 $y_{2}$ ．

(1)、请直接写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数表达式，并注明自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中，画出函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 图象，并写出函数 $y_{1}$ 的一条性质；

(3)、结合图象，请直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围 $. ($ 近似值保留小数点后一位，误差不超过 $0.2)$

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15、【回归教材】
我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
已知：如图 $①$ ，直线 $M N ⊥ A B$ ，垂足为 $C$ ，且 $A C = B C$ ， $P$ 是 $M N$ 上的任意一点．
求证： $P A = P B$ ．

(1)、【定理证明】
请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程；

(2)、【定理应用】
如图 $②$ ， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ，若 $B D = D E$ ， $△ A B C$ 的周长为 $20$ ， $A C = 9$ ，求 $D C$ 长；

(3)、如图 $③$ ，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ，点 $E$ 是 $A D$ 上的一点， $A E = 6$ ， $B E$ 的垂直平分线交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，若 $G$ 是 $C D$ 的中点，求 $D E$ 的长．

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16、如图，已知 $B D$ 是 $R t △ A B C$ 的角平分线， $O$ 是斜边 $A B$ 上的动点，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ，与 $O A$ 相交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $B C = 4$ ， $B D = 5$ ，求 $A B$ 的长．

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17、某校从九年级甲班和乙班中，各随机抽取 $40$ 名同学进行 $1$ 分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把 $1$ 分钟跳绳完成个数用 $x$ 表示，并分成了四个等级，其中 $A$ ： $x \geq 215$ ， $B$ ： $200 \leq x < 215$ ， $C$ ： $185 \leq x < 200$ ， $D$ ： $0 \leq x < 185$ ，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题：
$①$ 甲班 $1$ 分钟跳绳个数的扇形统计图；
$②$ 乙班 $1$ 分钟跳绳个数频数分布统计表；
分组
$A$
$B$
$C$
$D$
频数
$2$
$a$
$20$
$4$
$③$ 乙班 $C$ 组数据从高到低排列，排在最前面的 $8$ 个数据分别是： $199$ ， $198$ ， $198$ ， $197$ ， $197$ ， $197$ ， $195$ ， $195$ ；
$④$ 甲班和乙班 $1$ 分钟跳绳个数的平均数、中位数、 $A$ 等级所占百分比如下表：
班级
平均数
中位数
$A$ 等级所占百分比
甲班
$213.5$
$201$
$m %$
乙班
$211.5$
$b$
$5 %$

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、已知该校九年级共有 $1600$ 名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于 $200$ 为优秀，请估计参加此次测试中 $1$ 分钟跳绳优秀的学生有多少人？

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18、阅读理解材料：已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ．
根据材料 $.$ 求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．
解：由题知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
$∴ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{(m + n)^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ ．
解决以下问题：

(1)、方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ．

(2)、已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - 3 m + 1 = 0$ ， $n^{2} - 3 n + 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的值．

(3)、已知实数 $p$ ， $q$ 满足 $p^{2} = 3 p + 2$ ， $2 q^{2} = 1 - 3 q$ ，且 $p \cdot q \neq 1$ ，求 $\frac{p q + p + 1}{q}$ 的值．

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19、

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 2 | + (2025 + π)^{0} + t a n 60 ° - (\frac{1}{2})^{- 2}$ ．

(2)、化简： $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a + 2} \div (1 - \frac{3}{a + 2})$ ．

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20、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 5$ ，正方形 $D E F G$ 的边长为 $\sqrt{5}$ ，它的顶点 $D$ ， $E$ ， $G$ 分别在 $△ A B C$ 的边上，则 $C D$ 的长为．

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班级	平均数	中位数	$A$ 等级所占百分比
甲班	$213.5$	$201$	$m %$
乙班	$211.5$	$b$	$5 %$

分组	$A$	$B$	$C$	$D$
频数	$2$	$a$	$20$	$4$