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相关试卷

1、阅读材料：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数i叫做虚数单位，那么形如 $a + b i$ （a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 $(2 + i) + (3 - 4 i) = (2 + 3) + (1 - 4) i = 5 - 3 i$ ； $(3 + i) i = 3 i + i^{2} = 3 i - 1$ ．
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭．
若 $a + b i$ 是 ${(1 + 2 i)}^{2}$ 的共轭复数，求 ${(b - a)}^{2}$ 的值；

A、1 B、-1 C、4 D、49

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2、综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．

(1)、猜想证明
如图（1），在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在边 $A B$ ， $C D$ ， $A D$ ， $B C$ 上，且 $E F ⊥ G H$ ，请判断 $E F$ 和 $G H$ 的数量关系，并加以证明．

(2)、迁移探究
如图（2），在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ 上，且 $A E ⊥ B D$ ，求证： $\frac{A B}{A D} = \frac{B E}{E C}$ ．

(3)、拓展应用
如图（3），在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 上一点， $A G ⊥ B F$ 交 $B E$ 于点 $H$ ，交矩形 $A B C D$ 的边于点 $G$ ．当 $E F = 2 A F$ 时，请直接写出 $G H$ 的长．

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3、综合与实践：某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．

【测量工具】标杆、平面镜、测倾仪、皮尺

【活动过程】

(1)、活动1：测量校内旗杆的高度

如图①， $A B$ 和 $D E$ 是直立在地面上的两根立柱． $A B = 6 m$ ，某一时刻 $A B$ 在阳光下的投影 $B C = 4 m$ ， $D E$ 在阳光下的投影长为 $6 m$ ．

请你在图①画出此时 $D E$ 在阳光下的投影 $E F$ ，根据题中信息，求得立柱 $D E$ 的长为__________m．

(2)、活动2：测量悬停在空中的无人机离地面的高度

课题	测量悬停在空中的无人机离地面的高度
测量工具	平面镜、测倾仪和皮尺
测量示意图及说明		说明：如图② （1）所有点都在同一平面内；（2）F、P、D在同一条直线上， $E F ⊥ D F$ 于点F； $C D ⊥ D F$ 于点D；（3）平面镜放置于P处，且大小忽略；（4）测倾仪放置于D处，且高度 $C D = 1$ 米；（5）无人机看作点A．
相关数据	信息一，小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A．小亮眼睛到地面的铅直高度 $E F = 1.6$ 米，到平面镜的距离 $P F = 2.4$ 米；信息二：小莹在点D处利用测倾仪测得 $∠ A C Q = 45 °$ ，且 $D P = 39$ 米．

请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度．

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4、综合与探究
【问题情境】
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示的数分别为 $- 2$ 和8．
【实践探究】

(1)、线段 $A B$ 的长为______；

(2)、动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 $t (t > 0)$ 秒．
①当 $0 < t < 5$ 时，请用含t的代数式表示点 $P$ 表示的数，以及线段 $P A$ 、 $P B$ 的长；
②若点 $M$ 是线段 $P A$ 的中点，点 $N$ 是线段 $P B$ 的中点，说明线段 $M N$ 的长度与点 $P$ 的运动时间 $t$ 无关．

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5、综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为 $10 cm$ 的正方形 $A B C D$ 对折，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，得到折痕 $A C$ ．打开后，再将正方形 $A B C D$ 折叠，使点 $D$ 落在边 $B C$ 上的点 $P$ 处，得到折痕 $G H$ ，折痕 $G H$ 与折痕 $A C$ 交于点 $Q$ ．打开铺平，连接 $P Q$ ， $P D$ ， $P H$ ．若点 $P$ 的位置恰好使得 $P H ⊥ A C$ ．
（1） $∠ P D H =$ ___________ $°$ ；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的 $P$ 是 $B C$ 上任意一点，求 $∠ D P Q$ 的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为 $80 m$ 的菱形草坪 $A B C D$ ，其中 $∠ B C D = 60 °$ ．现打算在草坪中修建步道 $A C$ 和 $M N - N D - D M$ ，使得点 $M$ 在 $B C$ 上，点 $N$ 在 $A C$ 上，且 $M N = N D$ ．请问：步道 $M N - N D - D M$ 所围成的 $△ M N D$ （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由．

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6、为推动综合社会实践活动课程落地，我校拟组织初二年级学生开展研学旅行活动，计划组织八年级 $1600$ 名学生进行研学活动．为使研学路线更贴合学生成长需求，充分发挥研学育人实效，现通过投票方式提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个： $A$ 地：茶陵花湖谷， $B$ 地：方特， $C$ 地：韶山， $D$ 地：炎陵（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图．
由图中给出的信息解答下列问题：

(1)、所抽取的样本容量为___________，并补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中，最想去 $D$ 地的所对应的扇形圆心角的度数为___________ $°$ ；

(3)、请根据抽样调查的结果，估计该校八年级最想去韶山的学生有多少人？

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7、【背景材料】如图，数轴上点 $A$ 表示的数为 $- 1$ ，点 $B$ 表示的数为 $5$ ， $P$ 是数轴上的一点．
【探究发现】数轴是数形结合的重要工具，借助数轴可以更灵活地解决线段相关问题．如图，线段 $A B$ 的长为．因为 $| 5 - (- 1) | = 6$ 或 $| - 1 - 5 | = 6$ ，所以当点 $A$ ， $B$ 表示的数分别为 $a$ ， $b$ 时， $A$ 与 $B$ 两点之间的距离 $A B = | a - b |$ ．
【迁移应用】
（1）若点 $P$ 表示的数为 $x$ ，则 $P$ 与 $B$ 两点之间的距离 $P B =$ ．
（2）若点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 $t (t > 0$ ）秒，当 $t$ 为何值时， $P B = \frac{1}{2} A B ?$
【拓广探索】对数轴进行深入研究后，发现线段 $A B$ 的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．在（2）的条件下，将 $P A$ ， $P B$ 的中点分别记为点 $M$ ， $N$ ，在运动过程中，线段 $M N$ 的长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 $M N$ 的长．

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8、如图，某小区要在两块紧挨在一起的长方形地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位： $m$ ）．

(1)、半圆形花圃的面积为 $m^{2}$ （结果保留 $π$ ）；

(2)、求阴影部分的面积（用含 $x$ 的代数式表示）；

(3)、当 $x = 10$ 时，求阴影部分的面积（ $π$ 取 $3.14$ ，结果保留整数）．

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9、如图1，在某浅海海域中，有A，B，C，D四个海岛，已知A岛在B岛的正北方向上．某养殖户想承包该区域来养殖水产．如图2，该养殖户以A，B，C，D为顶点拉网围成四边形 $A B C D$ 的养殖区域，请帮他解决以下问题：

(1)、如图2，若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，写出一个与 $∠ 1$ 有关的结论：；

(2)、如图3，在（1）的条件下，该养殖户想拉出一张隔离网 $B E$ （点E在 $C D$ 上），若 $∠ A B E$ 是直角， $∠ 2 = 40 °$ ，求 $∠ A B C$ 的度数；

(3)、如图3，为更好地监测养殖情况，该养殖户打算在四边形 $A B C D$ 的养殖区域内建一个综合监测站，使监测站在B岛的北偏东 $50 °$ 方向上，并且在A岛的南偏东 $45 °$ 方向上，请在图3中确定监测站的位置（画出表示东、西、南、北的十字线）．

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10、如图，点 $C$ ， $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $A C = C B$ ， $C D = D B$ ．

(1)、 $C$ 是线段的三等分点， $A C$ 的长是 $D B$ 的倍；

(2)、已知 $A B$ 的长为 $8$ ，求 $A D$ 的长．

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11、小云在2026年1月的日历（如图）中圈出了相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为30，则这三个日期在该日历中的排布不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12、如图是一个长方体礼品盒的平面展开图，若礼品盒相对两个面上的数互为相反数，则 $m n p$ 的值为（）

A、 $- 6$ B、 $- 5$ C、5 D、6

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13、随着影视文化与旅游产业的跨界融合日益深入，“跟着电影去旅行”已成为当下备受追捧的旅游新风尚．怀柔作为“中国影都”，推出了13条主题鲜明的“春醒万物柔见美好”旅游路线，涵盖亲子游、研学游、明星打卡同款游等多元类型，为游客打造沉浸式影视文旅体验．某中学计划组织初一年级学生开展研学活动，拟从怀柔推出的13条“春醒万物柔见美好”旅游路线中，选取4个包含影视文化元素的研学实践基地作为备选．为了解学生对这4个基地的喜好情况，学校随机抽取初一年级50名学生进行了问卷调查．

$a$ ．调查问卷如下：

研学景点喜爱情况

问题1：以下4个研学景点中，你最喜爱的是（）．（单选）

A. 生存岛学生实践基地

B. 怀柔区卧龙岗龙盛源学生实践基地

C. 响水湖自然风景区实践基地

D. 高两河彩绘厂实践基地

问题2：你希望在研学过程中获得什么？（）（单选）

E．进行户外拓展及科普活动，学习自然知识

F．参加安全演练和野外求生模拟训练，培养生存能力

G．深度体验非遗文化魅力，进行手工制作提升艺术审美

H．感受乡村风情

$b$ ．问题1的50份答题结果如下所示：

$C C A C D C D C C A$ $C B C A D C B C A A$ $A C A B C D A C C B$ $C B A C A A D C A B$ $A C C A D B D C D A$

$c$ ．对问题1样本中50名学生喜爱的基地的人数进行统计，如下表所示：

基地	划记	人数	百分比
A	正正正	15
B	正丅	7	$14 %$
C
D		8	$16 %$
合计	——	50	$100 %$

$d$ ．对问题1结果情况绘制条形统计图，对问题2结果情况绘制扇形统计图，如右上图所示．请根据以上信息回答问题：

(1)、请将上述统计表和条形统计图补充完整；

(2)、若该校初一年级共有学生300人，估计初一年级喜爱响水湖自然风景区实践基地的有人；

(3)、“E”对应的扇形圆心角的度数为；

(4)、响水湖自然风景区内原始次生林茂密，野花、野草、野药材资源丰富，基地设置长城红馆、DIY香包制作、植物种植、草药识别等研学主题，学生可以在此享受登山乐趣的同时了解自然知识．根据问题1的调查结果，学校将选定响水湖自然风景区作为研学基地．结合问题2的调查结果，你认为学校会建议响水湖自然风景区增设主题的研学项目，你的理由是：

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14、端午节是我国的传统节日，民间历来有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”的实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩（分）
6
7
8
9
10
人数
1
2
$a$
$b$
2
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为 $8.5$ ．请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、 $a =$ ______________， $b =$ ______________；

(2)、样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为_____________分；

(3)、若该校七、八年级共640人，八年级的人数是七年级人数的 $\frac{4}{5}$ 还多10人，请你估计该校七、八年级一共约有多少人的成绩为10分．

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15、实验与操作：
【课本回顾】在北师大版七年级上册数学课本第122页，小亮通过折叠的方法，找到一个角的平分线．如图1，折痕 $A F$ 平分 $∠ B A M$ ；
【操作实践】若点O，E分别是长方形纸片 $A B C D$ 边 $A B ， A D$ 上的点，将长方形纸片沿 $O E ， O C$ 翻折，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处．

(1)、如图2，当点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $O A^{'}$ 上时， $∠ C O E$ 的度数为_____；

(2)、如图3，点 $B^{'}$ 落在 $∠ E O A^{'}$ 的内部，若 $∠ A O E = 36 ° ， ∠ B O C = 64 °$ ，求 $∠ A^{'} O B^{'}$ 的度数；

(3)、当点 $A^{'} ， B^{'}$ 均落在 $∠ C O E$ 的内部时，若 $∠ C O E = α$ ，请直接写出 $∠ A^{'} O B^{'}$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）．

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16、已知数轴上 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个点表示的数分别是 $- 10$ ， $b$ ， $c$ ，且满足： $|b + 2| + {(c - 10)}^{2} = 0$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点 $C$ 运动，同时，另一动点 $Q$ 也从点 $A$ 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动至点 $C$ 后，立刻以原来的速度返回到 $A$ 点停止，设点 $P$ 运动时间为 $t$ 秒．（ $t > 0$ ）

(1)、 $b =$ ___________， $c =$ ___________；

(2)、点 $P$ 在数轴上表示的数为___________（用含 $t$ 的代数式表示）；

(3)、当 $B$ 、 $Q$ 两点重合时，求 $t$ 的值；

(4)、当 $P$ 、 $Q$ 两点之间的距离为6时，直接写出 $t$ 的值．

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17、一个病人每天需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的收缩压为160个单位（“+”表示收缩压比前一天上升，“-”表示收缩压比前一天下降）
星期
一
二
三
四
五
收缩压的变化/个单位
+30
-20
+15
+5
-20

(1)、请算出星期五该病人的收缩压（要求先列式后计算）．

(2)、若收缩压大于或等于180个单位为重度高血压，该病人本周哪几天的血压属于这个范围？

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18、（1）化简： $3 x - 4 y - 3 x + 2 y$ ；
（2）解方程： $x = - 5 x$

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19、如图，平面上有A，B，C，D四个点．

(1)、画直线 $A B$ ，射线 $B D$ ，线段 $A C$ ，射线 $B C$ ；

(2)、写出图中所有以点B为顶点的角．（用图中字母表示，不添加其他的点和字母）

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20、边长分别为 $a$ 与 $4$ 的两个正方形按如图的样式摆放．

(1)、求图中阴影部分的面积 $S$ （用含 $a$ 的代数式表示）；

(2)、当 $a = 3$ 时，求图中阴影部分的面积．

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星期	一	二	三	四	五
收缩压的变化/个单位	+30	-20	+15	+5	-20