相关试卷

1、某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图①，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成.如图②所示为遥控连杆在某次升起时的示意图，OB 为主动杆，AB 为辅助杆，OA 是指连杆处在水平静止状态时，此时点O，B，A 在同一直线上，OA∥DE(DE 表示地平线)，现测得整个连杆的长度OA=4.5m ，桩的高度OE=1m . B 是 OA的三等分点(OB>AB)，在升起过程中，辅助杆A'B'始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角 $∠ B O B^{'} = 8 0^{\circ} .$ 求：

(1)、 OB 的长度.

(2)、连杆在完全升起后辅助杆A'B'距离地面的高度(参考数据： $s i n 8 0^{\circ} \approx 0.98 ， c o s 8 0^{\circ} \approx$ 0.17，tan80°≈5.67).

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2、如图，斜坡AB 的长为100m，坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡比为1：5 的斜坡 BD(A，D，C 三点在地面的同一条垂线上)，那么由点 A 到点D 下降了m.

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3、如图，扇形 AOB 的半径OA=2，弦 AB =2 $\sqrt{3}$ ，则. $\hat{A B}$ 的长为.

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4、如图，某地修建一座高为5m 的天桥，如果斜坡AB 的坡比为1： $\sqrt{3}$ ，那么斜坡AB 的长为( )

A、10m B、 $10 \sqrt{3} m$ C、5m D、 $5 \sqrt{3} m$

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5、
【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”.
【判断尝试】

(1)、在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是；（填序号）

(2)、如图1，四边形ABCD是对直四边形，若 $∠ A = 9 0^{°}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $C D = 1$ ，则边BC的长是；

(3)、【操作探究】
如图2，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，AE⊥BC于点E ，请在边CD上找一点F ，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，直接写出EF的长是；

(4)、【拓展延伸】
如图3，在正方形ABCD中，AB=6，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD），再分别过点E、F作AB、BC的垂线交于点H ，连结AH、HG.
试说明：四边形AHGD为对直四边形.

(5)、【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°，∠D=45°.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是.

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6、阅读材料，并解决问题.
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x²+2x-35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x²+2x-35=0变形为x（x+2）=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）² ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+2²=4×35+4.因此，可得新方程（x+x+2）²=144.因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x²-4x-12=0（x＞0）的正确构图是.（从序号①②③中选择）

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x²+3x-2=0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ ，即x（）=1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
【拓展应用】一般地，对于形如x²+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a= ， b= ，求得方程的正根为.

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7、如图，在▱ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ，点E ， F分别是OB ， OD的中点，连接AE、CE、AF、CF.

(1)、求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)、若四边形AECF是矩形，∠BAC=90°， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求BC的长；

(3)、尺规作图：过点B作直线BP ，使得BP∥AE.（保留作图痕迹，不写作法.）

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8、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，0），B（0，1），C（-2，3）.

(1)、若△ABC经过平移后得到△A₁B₁C₁ ，已知点B的对应点B₁的坐标为（5，-2），请画出△A₁B₁C₁；

(2)、将△ABC绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°得到△A₂B₂C₂ ，请画出△A₂B₂C₂；

(3)、若将△A₂B₂C₂绕点P旋转可得到△A₁B₁C₁ ，则点P的坐标为 ▲

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9、先化简： $\frac{n^{2} + 4 n + 4}{n^{2} - 2 n} \div (\frac{2 n}{n - 2} - 1)$ ，再从-2、-1、0、1、2中选择一个合适的数作为n的值代入求值.

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10、解下列方程：

(1)、（x-2）²=9；

(2)、 $\frac{1 - x}{x - 3} = \frac{x}{2 x - 6} - 1$ .

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11、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，连接BD、CA ，若CA平分∠BCD ， $A C = 15 \sqrt{2}$ ， BC=5，则BD= .

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12、在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化.假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素.由于放射性衰变，其质量会逐年减少.到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克.设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x ，根据题意，可列出一元二次方程为：.（只列方程，不需求解）

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13、如图，▱ABCD的周长为60cm ， AC ， BD相交于点O ， EO⊥BD交AD于点E ，则△ABE的周长为cm.

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14、如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15、初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）.已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（　　）

A、16 B、17 C、18 D、19

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16、若α，β是方程x²+2x-2025=0的两个实数根，则α²+3α+β的值为（　　）

A、2023 B、2027 C、-2023 D、4050

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17、如图，在一个对边平行的纸条上有两点A ， B及线段AB的中点O ，以下操作和判断不正确的是（　　）

A、过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C ， D ，得到平行四边形ACBD B、过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C ， D ，得到菱形ACBD C、分别过点A ， B作对边的垂线，交对边于点C ， D ，得到矩形ACBD D、在点A ， B所在边的对边分别取C ， D两点，使得AC=BD ，得到平行四边形ACBD

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18、下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A、6x²y³=2x²•3y³ B、a（a+1）（a-1）=a³-a C、 $m^{2} - m + \frac{1}{4} = (m - \frac{1}{2})^{2}$ D、 $x^{2} + 1 = x (x + \frac{1}{x})$ .

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19、若a＜b ，则下列结论一定成立的是（　　）

A、-4a＞-4b B、 $\frac{a}{3} ＞ \frac{b}{3}$ C、 $\frac{a}{5} - 2 ＞ \frac{b}{5} - 2$ D、ac²＜bc²

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20、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点O为 $A C$ 的中点．在 $R t △ D B E$ 中， $∠ D B E = 90 °$ ， $D B = 3$ ， $B E = 4$ ，连接 $E O$ 并延长到点F ，使 $O F = E O$ ，连接 $A F$ ．

(1)、【初步感知】如图1，当点D ， E分别在 $A B$ ， $B C$ 上时，请完成填空： $∠ D A F =$ $°$ ； $\frac{A D}{A F} =$ ．

(2)、【深入探究】如图2，若将图1中的 $△ D B E$ 绕点B按逆时针方向旋转一定的角度 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $A D$ ， $C E$ ， $A E$ ， $C F$ ．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
②当四边形 $A E C F$ 的面积最小时，求线段 $A D$ 的长．

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