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1、甘肃敦煌100兆瓦熔盐塔式光热电站是全球最高，聚光面积最大的熔盐塔式光热电站．这种发电站通过大量“定日镜”将太阳光反射到中心处的吸热塔，将其内的熔盐加热至600多摄氏度后发电．图2是“定日镜”反射太阳光的模型：线段 $A C$ ， $B C$ 表示两个“定日镜”．两条平行的光线 $F D$ ， $G E$ 经过镜子反射后，都射向点H．且满足 $∠ A D F = ∠ C D H$ ， $∠ B E G = ∠ C E H$ ．下面我们探究模型中角的数量关系：

(1)、特殊情形：如图1，若点D，H，E在同一直线上， $∠ A D F = 50 °$ ，求 $∠ D E G$ 的度数；

(2)、一般情形：如图2，若 $∠ A D F = ∠ C D H = α$ ， $∠ B E G = ∠ C E H = β$ ．
①求 $∠ D H E$ 与 $∠ C$ 的度数（用含α，β的代数式表示）；
② $∠ D H E$ 与 $∠ C$ 的数量关系为：________；

(3)、推广拓展：如图3，加入第三面“定日镜” $B P$ ，平行光 $M N$ （ $M N ∥ F D ∥ G E$ ）经过反射后射向点H．已知 $∠ P N H = ∠ B N M$ ， $∠ D H E = k ∠ E H N$ ，请直接写出 $∠ B$ 与 $∠ C$ 的数量关系（用含k的等式表示）．

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2、春节期间，小明因能够背诵《前赤壁赋》获得东坡赤壁景区的门票及赠书《苏东坡谪居黄州》，图书封面为长方形，长与宽的比为 $4:3$ ，面积为 ${324cm}^{2}$ ．

(1)、请求出图书封面的长 $A B$ 和宽 $B C$ 分别是多少？

(2)、景区内文创店为游客的图书加盖纪念章，小明选择了一个面积为 $9 {πcm}^{2}$ 圆形印章“东坡古韵”和一个面积为 $25 {cm}^{2}$ 正方形印章“逢考必过”，计划在图书扉页的长方形 $E F G H$ 框内盖章，已知长方形 $E F G H$ 的边 $E H$ 是封面宽 $B C$ 的 $\frac{1}{2}$ ，边 $G H$ 是封面长 $A B$ 的 $\frac{1}{4}$ ，请问小明应选择哪个印章才能保证完整地印在长方形 $E F G H$ 框内？

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3、如图，三角形 $A B C$ 三个顶点的坐标分别是 $A (9, 4)$ ， $B (5, 6)$ ， $C (8, 2)$ ，将三角形 $A B C$ 平移，得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中任一点 $D (x_{0}, y_{0})$ 平移后的对应点为 $D_{1} (x_{0} - 4, y_{0} - 3)$ ．

(1)、请画出三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、线段 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 的关系是________；

(3)、平移过程中线段 $A B$ 扫过的面积是________；

(4)、如图，点P是 $A B$ 的中点，在边 $B C$ 上画点M，使得 $∠ A_{1} P M = ∠ B_{1} A C$ ．

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4、根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
如图， $B D ⊥ A C$ ， $∠ A + ∠ A D E = 180 °$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，试说明： $E F ⊥ A C$ ．
证明： $∵ ∠ A + ∠ A D E = 180 °$ （已知），
$∴ A B ∥ D E$ （________）．
$∴ ∠ 1 =$ （________）（________）．
$∵ ∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
$∴ ∠ 2 =$ （________）（________）．
$∴ B D$ $∥$ ________（内错角相等，两直线平行）．
$∵ B D ⊥ A C$ （已知），
$∴ ∠ B D C = 90 °$ （________）．
$∵ B D ∥ E F$ （已证），
$∴$ （________） $= ∠ B D C = 90 °$ （两直线平行，同位角相等）．
$∴ E F ⊥ A C$ （垂直的定义）．

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5、如图，直线 $A B$ ， $E F$ 相交于点O． $O C ⊥ A B$ ，垂足为O．

(1)、图中 $∠ A O E$ 的对顶角是________， $∠ B O E$ 的邻补角是________；

(2)、若 $∠ A O E : ∠ B O E = 1 : 5$ ，求 $∠ C O F$ 的度数．

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6、求下列各式中 $x$ 的值：

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 16$ ；

(2)、 $8 x^{3} + 27 = 0$ ．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{5^{2}} + \sqrt[3]{- 8}$ ；

(2)、 $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + |\sqrt{2} - \sqrt{3}|$ ．

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8、已知直线 $A B ∥ C D$ ，现将一个含 $30 °$ 角的直角三角板 $P M N$ 如图放置，点P，N分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上， $∠ M P N = 90 °$ ， $∠ P N M = 30 °$ ，作 $∠ M P B$ 的角平分线 $P T$ ，直线 $P T$ 交 $C D$ 于点Q，点E是直线 $A B$ 上一定点，过E作直线 $E F$ 与三角板 $P M N$ 的一条直角边所在的直线平行，交直线 $C D$ 于点F，若 $∠ C F E = α$ ，则 $∠ P Q N =$ ．（用含α的代数式表示）．

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9、在平面直角坐标系中，点 $A (0, 2 m)$ ， $B (0, 4 m + 1)$ ， $C (0, 3 m + 2)$ ， $C D ⊥ y$ 轴，点 $D$ 的横坐标为 $2 m$ ．则下列说法：
$① A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在 $y$ 轴上；
$②$ 若 $m = 2$ ，则 $A C = 4 B C$ ；
$③$ 若 $A$ 是线段 $B C$ 的中点，则 $m = - 1$ ；
$④$ 若 $C D = 2$ ，则 $A B = 3$ ．
其中正确的是．（填写序号）

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10、如图，要把河里的水引到田地 $A$ 处，过点 $A$ 向河岸 $l$ 作垂线．垂足为 $B$ ．沿 $A B$ 挖渠能使所挖的渠道最短，理由是

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11、如图，将由 $5$ 个边长为 $1$ 的小正方形组成的图形沿着虚线剪拼成一个大正方形 $A B C O$ ，将正方形 $A B C O$ 的顶点 $O$ 与数轴的原点重合，以 $O$ 为圆心， $O R$ 和 $O A$ 的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点 $D$ ， $E$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $1$

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12、下列命题中，真命题的个数有（       ）
①两个无理数的和仍是无理数；       ②同旁内角互补；
③若 $a + b = 0$ ，则 $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$ ；       ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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13、如图，将长为 $7cm$ ，宽为 $5cm$ 的长方形 $A B C D$ 先向右平移 $2cm$ ，再向下平移 $1cm$ ，得到长方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $18 {cm}^{2}$ B、 $20 {cm}^{2}$ C、 $22 {cm}^{2}$ D、 $24 {cm}^{2}$

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14、北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为 $(1, - 3)$ ，表示“开阳”的点的坐标为 $(- 5, 4)$ ，则表示“天璇”的点的坐标为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(5, - 2)$ C、 $(- 2, 5)$ D、 $(10, 7)$

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15、下列计算中，正确的是（）

A、 ${(\sqrt[3]{5})}^{3} = 5$ B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、 $\pm \sqrt{4} = 2$ D、 $\sqrt{9} = \pm 3$

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16、武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图， $A M ∥ B C$ ．已知 $∠ A C B = 74 °$ ，则 $∠ M A C$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $56 °$ C、 $70 °$ D、 $74 °$

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17、在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（）

A、 $(5, - 3)$ B、 $(- 5, 3)$ C、 $(- 3, - 2)$ D、 $(4, 3)$

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18、下列各字的甲骨文写法中，能近似看成由其中部分图形平移而成的是（）

A、北 B、山 C、众 D、石

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19、下列四个数中，是无理数的是（）

A、 $\frac{23}{7}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $- 2$ D、3.14

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20、如图1，△ABC中， ∠A=30°， ∠ABC=90°. 点O是斜边AC中点，连接OB.点D为AB上一动点(不与端点A，B重合)，连接OD.将OD绕点O逆时针旋转120°得到OD'，连接DD'交OB于点M.

(1)、求证： $\frac{A O}{B D} = \frac{A D}{B M} .$

(2)、如图2，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接OE，将OE绕点O逆时针旋转 $12 0^{\circ}$ 得到OE'，连接EE'交OC于点N. 过点O作OF⊥BC于点F. 设k=ON：OM.
①当AD=BD时，求k的值.
②当AD≠BD时，k的值与问 (2) ①所求的值相等，求AD∶AB的比值.

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