相关试卷

1、阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1 ， (\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3 ，$ 它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如 $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} =$ $\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3} .$ 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化.
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式是， $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得.

(2)、计算：
① $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{27} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} .$
② $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2003} + \sqrt{2004}}$ .

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2、

(1)、已知a<0，化简 $\sqrt{4 - {(a + \frac{1}{a})}^{2}} - \sqrt{4 + {(a - \frac{1}{a})}^{2}} =$ .

(2)、当 1≤x≤2 时，经化简， $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} =$ .

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3、生活观察甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次：

菜价 3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
1千克
3 元
第二次：

菜价2 元/千克
质量
金额
甲
1千克
▲元
乙
▲千克
3 元

(1)、完成上表.

(2)、计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价(均价=总金额÷总质量).

(3)、数学思考 设甲每次买质量为m 千克的菜，乙每次买金额为 n 元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价 ${\bar{x}}_{甲} ， {\bar{x}}_{乙} .$ 比较x甲， xz的大小，并说明理由.

(4)、知识迁移 某船在相距为s 的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t₁；如果水流速度为p时(p $(v + p)$ ，逆水航行速度为(v-p)，所需时间为t₂.请借鉴上面的研究经验，比较t₁ ， t₂的大小，并说明理由.

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4、已知 $f (x) = \frac{x}{1 + x} ，$ 求下式的值：
$f (\frac{1}{2004}) + f (\frac{1}{2003}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2003) + f (2004) .$

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5、甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以a km/h的速度行走，另一半时间以b km/h的速度行走；而乙用a km/h的速度走了一半的路程，另一半的路程以b km/h的速度行走(a，b均大于0，且a≠b)，则( ).

A、甲先到达 B、乙先到达 B地 C、甲、乙同时到达B地 D、甲、乙谁先到达B地不确定

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6、设有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则 $\frac{1}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{1}{c^{2} + a^{2} - b^{2}} + \frac{1}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$ 的值是( ).

A、正数 B、负数 C、零 D、不能确定

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7、设实数a，b，c 满足 $a + b + c = 3 ， a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 ，$ 则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2 - c} + \frac{b^{2} + c^{2}}{2 - a} + \frac{c^{2} + a^{2}}{2 - b} =$ ( ).

A、9 B、6 C、3 D、0

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8、若 $\frac{7 n + 15}{n - 3}$ 为整数，则整数n 可能取的值有个.

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9、已知 $\frac{4 x^{2} + 8 x + 3}{{(x - 1)}^{3}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{{(x - 1)}^{3}} ，$ 其中A，B，C 为常数，则 3A+2B+C=.

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10、如图所示，将形状大小完全相同的“ $▱$ ”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“ $▱$ ”的个数为a₁ ，第2幅图中“ $▱$ ”的个数为a₂ ，第3幅图中“ $▱$ ”的个数为a₃……以此类推，若 $\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{2}{a_{3}} + \dots + \frac{2}{a_{n}} = \frac{n}{2020}$ (n为正整数)，则n 的值为.

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11、观察以下等式：
第1个等式： $\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} \times \frac{0}{2} = 1 .$
第2个等式： $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 1 .$
第3个等式： $\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} = 1 .$
第4个等式： $\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = 1 .$
第5个等式： $\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{6} = 1 .$
……
按照以上规律，解决下面的问题：

(1)、写出第6个等式：.

(2)、写出你猜想的第n个等式： (用含 n的等式表示)，并证明.

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12、方程 $\frac{x + 3}{x + 1} - y = 0$ 的整数解有( )组.

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、若 $\frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{a}{2 n - 1} + \frac{b}{2 n + 1}$ 对任意自然数n都成立，则a= ， b=；
计算 $m = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{19 \times 21} =$ .

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14、

(1)、要使分式 $\frac{a^{2} - 4}{1 + \frac{1 + 3 a}{2 a}}$ 没有意义，则a 的值为.

(2)、当m=时，分式 $\frac{(m - 1) (m - 3)}{m^{2} - 3 m + 2}$ 的值为零.

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15、分子为1的真分数叫作“单位分数”，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如 $\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} .$

(1)、把 $\frac{7}{12}$ 写成两个单位分数的和.

(2)、研究真分数 $\frac{13}{x}$ ，对于某些x的值，它可以写成两个单位分数的和.
例如当x=42时， $\frac{13}{42} = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} .$
你还能找出多少x 的值，使得 $\frac{13}{x}$ 可以写成两个单位分数的和?

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16、分式中的欧拉公式：
欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也留下了他的足迹.下面是分式中的欧拉公式，请证明：
$\frac{a^{r}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{r}}{(b - c) (b - a)} + \frac{c^{r}}{(c - a) (c - b)} = {\begin{array}{l} 0 (r = 0, 1 时) \\ 1 (r = 2 时) \\ a + b + c (r = 3 时) \end{array}$ .

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17、 A，B两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同.其中，A家庭每次购买25千克，B家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问：谁的购买方式合算?

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18、已知实数a，b，c 满足a+b+c=0， abc=4.那么 $\frac{1}{a} +$ $\frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的值( ).

A、是正数 B、是零 C、是负数 D、可正可负

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19、

(1)、若分式 $\frac{3 x^{2} - 12}{x^{2} + 4 x + 4}$ 的值为0，则x的值为.

(2)、如果整数a(a≠1)使得关于x的一元一次方程 $a x - 3 = a^{2} + 2 a + x$ 的解是整数，则该方程所有整数解的和为.

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20、如图，点B 是反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x⟩ 0)$ 图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作垂线，垂足为 A，C.反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x⟩ 0)$ 的图象经过OB 的中点M，与AB，BC 分别相交于点 D，E.连接 DE 并延长交x轴于点F，点G 与点O关于点C 对称，连接BF，BG.

(1)、填空：k=.

(2)、求△BDF 的面积.

(3)、求证：四边形 BDFG 为平行四边形.

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	菜价2 元/千克
	质量	金额
甲	1千克	▲元
乙	▲千克	3 元