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相关试卷

1、进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制-X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X 进一位.十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，依此类推，X进制就是逢X 进一.为与十进制进行区分，我们常把用 X 进制表示的数a写成(a)x.类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数(1111)x中，右起第一位上的1表示1×X⁰，第二位上的1表示1×X¹，第三位上的1 表示 $1 \times X^{2} ，$ 第四位上的1 表示 $1 \times X^{3} ，$ 故 ${(1111)}_{X} = 1 \times X^{3} + 1 \times X^{2} + 1 \times X^{1} + 1 \times X^{0}$ 即：(1111)x转化为十进制表示的数为 $X^{3} + X^{2} +$ $X^{1} + X^{0} .$ 如：(1111)₂=1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰=15，(1111)₅=1×5³+1×5²+1×5¹+1× $5^{\circ} = 156 .$ 根据材料，完成以下问题：

(1)、把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：
${(101011)}_{2} =$ ； ${(302)}_{4} =$ ； ${(257)}_{8} =$ .

(2)、若一个五进制三位数(a4b)₅与八进制三位数(ba4)₈之和能被13整除(1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数)，求a 的值.

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2、【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B 表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a-b|，若a>b，则可简化为AB=a-b；线段AB 的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2} .$
【感受新知】如图1，数轴上点 A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点 A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为 t 秒(t>0).

(1)、求线段 AB 的中点表示的数；

(2)、求当t 为何值时， $P Q = \frac{1}{2} A B .$

(3)、【学以致用】
如图2，点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 N 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒(t>0).求当t为何值时， $M N = \frac{1}{2} A B ；$

(4)、【综合运用】
在(3)的条件下，求当t为何值时，线段MN 的中点C 与表示-3的点重合；

(5)、【拓展提升】
在(3)的条件下，若E 为MA 的中点，F为MB 的中点，点M 在运动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF 的长.

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3、数轴上有三点A，B，C，其中点A，B分别表示数-6，-2，现以点C 为折点将数轴向右折叠(如图)，若点A 的对应点A'落在数轴上，且A'与B 之间的距离是2，则点 C 表示的数是( )

A、-5 B、-4 C、-3 D、-5或-3

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4、将一个破损的刻度尺如图所示放在数轴上，刻度尺上的“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的-8和10，则数轴上的数40对应刻度尺上的cm.

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5、如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是 1 cm)，刻度尺上表示“0 cm”和“8cm”的刻度分别对应数轴上的是-3和x所表示的点，那么x 的值为( )

A、5 B、6 C、7 D、8

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6、如图，在一条可以折叠的数轴上，A和 B 表示的数分别是-2和6，C为A，B 之间的一点(不与A，B 重合)，以点C 为折点，将此数轴向右折叠，使点A 的对应点A'落在直线CB上，且满足 $A^{'} B = \frac{2}{3} B C ，$ 则点 C 表示的数为.

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7、如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B 表示的数分别是-14，10，现以点C为折点，将数轴向右折叠，若点A 的对应点A'落在直线CB上，并且A'B=6，则点C 表示的数是.

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8、如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5，b，4.某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点 B 对应刻度1.8cm，点C 对应刻度 5.4 cm.

(1)、在图1的数轴上，AC=个单位长度；在图2中，AC= cm；
数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的cm；

(2)、求在数轴上点 B 所对应的数b.

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9、如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点 A，B分别在直尺的 1 cm，9 cm处，若点 A对应-4，直尺的0 刻度位置对应-6，则点 B 对应的数为.

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10、对于有理数a，b，定义了一种新运算 $a ⋆ b = {\begin{matrix} 2 a - b (a \geq b) ， \\ a - \frac{2}{3} b (a < b) ， \end{matrix}$ 如：5★3=2×5-3=7，1★3= $1 - \frac{2}{3} \times 3 = - 1 .$

(1)、计算：①2★(-1)= ， (-4)★(-3)=；

(2)、若 $A = - x^{3} + 4 x^{2} - x + 1 ， B = - x^{3} + 6 x^{2} - x + 2 .$
①比较A 与B 的大小；
②若A★B=-3，求 $2 x^{3} + 2 x$ 的值.

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11、定义：我们把有序实数对(a，b，c)叫做关于x 的二次多项式 $a x^{2} + b x + c$ 的附属系数对，把关于x 的二次多项式 $a x^{2} + b x + c$ 叫做有序实数对(a，b，c)的附属多项式.

(1)、关于x 的二次多项式 $3 x^{2} + 2 x - 1$ 的附属系数对为；

(2)、有序实数对(2，a，1)的附属多项式与有序实数对(1，-2，4)的附属多项式的差中不含一次项，求a 的值.

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12、定义：若a+b=2，则称a 与b 是关于2的平衡数.

(1)、3与是关于2的平衡数，7-x 与是关于2的平衡数；

(2)、若 $a = x^{2} - 4 x - 1 ， b = x^{2} - 2 (x^{2} - 2 x - 1) + 1$ 判断a 与b 是否是关于2的平衡数，并说明理由.

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13、对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.例如：数轴上点 A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点 B 是点A，C 的“联盟点”.

(1)、若点 A 表示数-2，点 B 表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为C₁ ， C₂ ， C₃ ，其中是点 A，B 的“联盟点”的是；

(2)、点A 表示数-10，点B 表示的数是30，点P 为数轴上的一动点.若点 P 在线段AB 上，且点 P 是点 A，B的“联盟点”，求此时点 P 表示的数.

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14、【概念学习】求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^④ ，读作“-3 的圈4 次方”，一般地，把 $\underset{n 个 a}{\underset{︸}{a \div a \div a \div \dots \dots \div a}} (a \neq 0)$ 记作 $a^{ⓝ}$ ，读作“a 的圈n次方”.

(1)、【初步探究】
填空： $2^{③} =$ ； ${(- \frac{1}{2})}^{④} =$ ；

(2)、【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如： $2^{④} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} .$
想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式， $a^{ⓝ} =$ ；

(3)、算一算： ${(- \frac{1}{3})}^{④} \times {(- \frac{1}{2})}^{③} - {(- \frac{1}{3})}^{⑧} \div 3^{6}$

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15、如图，数轴上有A，B，C三点，点 A，B 表示的数分别为-8，2，点 C 在点B 的右侧，AC-AB=2.线段 EF=a(点E 在点F 的左侧，a>0)，线段EF 从点A 出发，以1个单位长度每秒的速度向 B 点运动(点F 不与B 点重合)，M是EC 的中点，N是BF 的中点，在EF 运动过程中，MN 的长度始终为1，求 a 的值.

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16、如图，线段AB 和线段CD 都在数轴上，AB=2，CD=4，开始时，点A 在数轴上表示的数是-8，点C 在数轴上表示的数是16.线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，运动时间为 t秒.

(1)、运动后，点A 表示的数是 ▲ ；点 C 表示的数是 ▲ (用含 t 的代数式表示)；若AC=8，求t 的值；

(2)、若Q 是BC 的中点，P 是AD 的中点，求运动过程中线段 PQ 的长.

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17、如图，在数轴上，点A 表示的数为-10，点B 表示的数为11，点C 表示的数为18.动点 P 从点A 出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点 Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动时间为 t 秒.

(1)、在点 Q 出发后到达点B 之前，当t 为何值时，点P 到点O 的距离与点Q 到点B 的距离相等；

(2)、在点 P 向右运动的过程中，N为数轴上一动点，且到 A，P两点的距离相等.在点 P 到达点C 之前，求2CN-PC 的值.

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18、如图，有理数-8，4，0在数轴上对应的点分别为A，B，C.点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点Q 到达点A 时，两点停止运动.求点 P，Q 在运动过程中，当t 为何值时AP=3CQ?

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19、如图，在数轴上点 A 表示数为-3，点B 表示数为9，AB 表示A，B两点之间的距离.点 P 从点A 以3个单位长度每秒向右运动，点Q 同时从点B 以2个单位长度每秒向左运动，若AP+BQ=2PQ，求此时运动的时间t.

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20、【综合与实践】数学活动课上，李老师让同学们在纸条上画一个数轴，并按照以下操作进行探究.

(1)、【探究一】平移
把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动4个单位长度，再向右移动1个单位长度.这时笔尖的位置表示的数是；

(2)、一机器人从点 M 开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，…，依此规律跳，当它跳 101次时正好落在原点上，则点 M 表示的数是；

(3)、【探究二】折叠
如图1，折叠纸条使数轴上表示-1的点与表示5的点重合，则折叠点表示的数是；

(4)、如图2，若将此纸条沿A，B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折4次后，再将其展开，则最左端的折叠点表示的数为；

(5)、如图3，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B 表示的数分别是-11，8，现以点C 为折叠点，将数轴向右折叠，若点 A 落在数轴上且到点B 的距离为1，求点 C 表示的数.

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