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相关试卷

1、解方程：

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 36$

(2)、 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

(3)、 $2 {(x + 3)}^{2} = x (x + 3)$

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2、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + x + m^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $0$ ，则 $m$ 的值为．

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3、【综合与实践】

双关联线段

【概念理解】

如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是 $60 °$ ，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．

例如，下列三个图中的线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线形成的夹角中有一个角是 $60 °$ ，若 $A B = C D$ ，则下列各图中的线段 $C D$ 都是相应线段 $A B$ 的双关联线段．

【问题解决】

问题1：如图1，在矩形ABCD中， $A B < A D$ ，若对角线 $A C$ 与 $B D$ 互为双关联线段，

则 $∠ A C B =$ ______ $°$ ．

问题2：如图2，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在边 $B C, C A$ 的延长线上，且 $A E = C D$ ，连接 $A D, B E$ ．

求证：线段 $A D$ 是线段 $B E$ 的双关联线段．

证明：延长 $D A$ 交 $B E$ 于点F．

$∵ △ A B C$ 是等边三角形， $∴ A B = A C$ ， $∠ B A C = ∠ A C B = 60 °$ ．

$∵ ∠ B A C + ∠ B A E = 180 °$ ， $∠ A C B + ∠ A C D = 180 °$ ， $∴ ∠ B A E = ∠ A C D$ （______填写依据）．

$∵ A E = C D$ ， $∴ △ A B E ≌ △ C A D$ ．

$∴ B E = A D$ ， $∠ E = ∠ D$ ．

补全余下证明过程

任务：

(1)、问题1中的

∠ A C B =

______

°

，问题2中的依据是______．

(2)、补全问题2的证明过程；

(3)、在问题（2）的基础上，若

C D : B D = 1 : 3

，求

E F : F B

的值．

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4、下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为 $x = a$ 的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．

各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把高次转化为低次，把复杂转化为简单．

运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程，

例如，一元三次方程 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$ ，第一步，因式分解： $x (x^{2} + 2 x - 3) = 0$ ，第二步，转化为两个方程： $x = 0$ 或 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ，第三步，解得： $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 3$ ， $x_{3} = 1$ ．

(1)、类比：方程

x^{3} + 6 x^{2} - 7 x = 0

的解是：

x_{1} = 0

，

x_{2} =

______，

x_{3} =

______；

(2)、拓展：用“转化”思想解方程：

\sqrt{4 x + 13} = x + 2

；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪

A B C D

的长

A D = 21 m

，宽

A B = 8 m

，点

P

在

A D

上（

A P > P D

），小明把一根长为

27 m

的绳子一端固定在点

B

，把绳长拉直并固定在

A D

上的一点

P

处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点

C

处，求

D P

的长．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $B C$ 、 $A C$ 的中点，过点 $A$ 作 $A F ∥ B C$ 交 $D E$ 的延长线于 $F$ 点，连接 $A D$ 、 $C F$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ C F$ 于点 $G$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是平行四边形．

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，若四边形 $A D C F$ 是菱形，求 $D G$ 的值．

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6、解方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

(2)、 $x (x - 1) = 2 - 2 x$

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7、先化简，再求值： $\frac{1}{m - 1} - \frac{m^{2} - 2 m}{1 - m}$ ，其中 $m = 3$ ．

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8、新学期开学，九年级（1）班有男生26人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则该班选中一名男生当值日班长的概率是．

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9、如图所示，小高同学在练习本上画直线 $a ∥ b ∥ c$ ，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若 $A C = 2$ ， $C E = 3$ ， $B D = 1.5$ ，则 $B F$ 的值是（　　）

A、 $3.5$ B、 $3.75$ C、4 D、 $4.25$

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10、【探索发现】如图1，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线 $D E$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ．过 $B$ 作 $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $△ B E C ≌ △ C D A$ ，我们称这种全等模型为“ $k$ 型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 $y = k x + 6 (k \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、如图2，当 $k = - 2$ 时，在第一象限构造等腰直角 $△ A B E$ ， $∠ A B E = 90 °$ ；
①直接写出 $O A =$ ______， $O B =$ ______；
②点 $E$ 的坐标______；

(2)、如图3，当 $k$ 的取值变化，点 $A$ 随之在 $x$ 轴负半轴上运动时，在 $y$ 轴左侧过点 $B$ 作 $B N ⊥ A B$ ，并且 $B N = A B$ ，连接 $O N$ ，问 $△ O B N$ 的面积是否发生变化？若不变，求出 $△ O B N$ 面积；若变，请说明理由；

(3)、【拓展应用】如图4，当 $k = - \frac{3}{2}$ 时，直线 $l$ ： $y = - 4$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $P (n, - 4)$ 、 $Q$ 分别是直线 $l$ 和直线 $A B$ 上的动点，点 $C$ 在 $x$ 轴上的坐标为 $(10, 0)$ ，当 $△ P Q C$ 是以 $C Q$ 为斜边的等腰直角三角形时，求点 $Q$ 的坐标．

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11、如图， $O M$ 、 $O N$ 是两条公路， $∠ O = 30 °$ ，沿公路 $O M$ 方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路 $O N$ 方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心， $100 m$ 长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路 $O N$ 方向行驶的速度为5米/秒．

(1)、求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；

(2)、求卡车沿道路 $O N$ 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．

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12、某班级计划在这学期组织学生到某地研学，参加研学的班级人数估计为35至45人．甲、乙两家研学社的服务质量相当，且报价都是每人100元，经过协商，甲研学社表示可以给予每位学生七折优惠，乙研学社表示可先免去五位学生的研学费用，然后给予其余学生八折优惠．若班级参加研学的人数为x，向甲、乙两家研学社支付的费用分别为 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ ．

(1)、写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与x的关系式；

(2)、若班级参加研学的人数刚好为42人，选择哪家研学社更经济实惠？

(3)、该班级选择哪一家研学社支付的研学费用较少?

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13、如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B$ ．
（1）求 $A$ ， $B$ 两点的坐标；
（2）过 $B$ 点作直线 $B P$ 与 $x$ 轴相交于 $P$ ，且使 $O P = 2 O A$ ，求 $Δ A B P$ 的面积．

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14、已知直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 经过第一、三、四象限，那么直线 $y = - k x - b (k \neq 0)$ 经过第象限．

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15、如图， $△ A B C$ 和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，即 $∠ A B C = ∠ D B E = 9 0^{°}, B D = B E,$ BA=BC。

(1)、当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE，则线段AD与CE之间的关系是；

(2)、【类比探究】当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与CE的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图(3)，在四边形ABCD中， $∠ B A D = 9 0^{°}, A B = A D, B C = \frac{3}{4} C D,$ 连接 AC，BD， $∠ A C D = 4 5^{°},$ 点A到直线CD的距离为7，求 $△ B C D$ 的面积。

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16、在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A 出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为 ts。

(1)、当t=s时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；

(2)、在△DEF $△ D E F$ 中， $∠ E = 9 0^{°}, D E = 4 c m, D F = 5 c m, ∠ D = ∠ A 。$ 在 $△ A B C$ 的边上，若另外有一个动点Q，与点 P 同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA 运动，回到点A停止。在两点运动过程中的某一时刻，恰好 $△ A P Q ≅ △ D E F,$ 求点Q的运动速度。

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17、同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！

(1)、填空：如图①，若直角边a=1，直角边b=3，则斜边c=；

(2)、观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明 $a^{2} + b^{2} = c^{2};$

(3)、如图③所示，.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=CD=8，BC=AD=10，求EF 的长.

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18、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED。

(1)、求证： △MED为等腰三角形。

(2)、设∠BAC=x，∠EMD=y，请直接写出x、y之间的数量关系，并证明。

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19、如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位。

(1)、在图1中画出一个以AB为一边，面积为12的三角形；

(2)、在图2中画出一个以AB为腰的等腰三角形；

(3)、在图3中画出△ABC的角平分线BE(△ABC的三个顶点都在格点上)。按要求完成作图：
①仪用无刻度直尺；且不能用直尺中的直角：②保留作图痕迹：③标注相关字母。

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20、如图，在∠△ABC中， AB=AC.

(1)、用直尺和圆规作 BC上的中线AD；

(2)、若AB=5， BC=6，求中线 AD 的长.

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