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1、阅读下面材料：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

(1)、【概念理解】：如图①，若AD＝1，AD＝DB＝DC， $B C = \sqrt{2}$ ，则四边形ABCD （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；

(2)、【性质应用】：如图①，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC＝90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD＝4，AB＝3时，BC²＝；

(3)、【深度理解】：如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC＝90°，∠ADE＝90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明AC与BE的数量关系；

(4)、【拓展提高】：如图③，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD＝1，AB＝2，∠BAD＝45°，求AC的长．

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2、如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（4，3），C（2，0）．

(1)、在平面直角坐标系中画出△ABC；

(2)、请画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；并写出△A₁B₁C₁各顶点坐标；

(3)、已知P为x轴上一点，若△ACP的面积为4，请直接写出所有符合题意的点P的坐标．

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3、如图是小明所在学校的平面示意图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知实验楼的位置是（﹣4，2），行政楼的位置是（3，﹣3）．

(1)、根据题意，画出相应的平面直角坐标系；

(2)、分别用坐标表示出餐厅、艺术楼的位置；

(3)、若学校宿舍楼的位置是（﹣5，4），音乐楼的位置是（﹣4，﹣4），在图中标出它们的位置．

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4、已知2a+1的平方根是±3，a+b﹣5的立方根是1，c是 $\sqrt{29}$ 的整数部分．

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求a+3b+c的算术平方根．

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5、计算：

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{32}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 2)^{2}$ ；

(3)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6} + 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

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6、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，过点A作AE⊥AD，且AD＝AE，连接BE，DE．则DE的长度为．

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7、一个正数a的平方根是2x﹣8和5x+15，那么x的值为．

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8、点（﹣5，3）到x轴上的距离是．

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9、数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE＝a，HG＝b，则正方形BDFA的面积是（　　）

A、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{2}$ B、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ C、a²﹣b² D、a²+b²

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10、如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $\frac{3}{2} \sqrt{5}$

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11、如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2），黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标为（　　）

A、（2，﹣2） B、（2，1） C、（1，2） D、（2，2）

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12、已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A、a²＝b²﹣c² B、a＝6，b＝8，c＝10 C、∠A＝∠B+∠C D、∠A：∠B：∠C＝5：12：13

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13、估计 $\sqrt{23}$ 的值应在（　　）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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14、在实数﹣3.14159，π，0， $\sqrt[3]{9}$ ， 2.10010001， $\sqrt{4}$ 中，是无理数的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15、平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）在（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、探究：如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

(1)、用含x的代数式表示，AC+CE＝；

(2)、请问点A、C、E满足时，AC+CE的值最小；

(3)、根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值．

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17、观察下列等式：
① $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ ＝ $- 1 \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ ＝ $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；
② $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ＝ $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}$ ＝ $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ ；
③ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ＝ $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - \sqrt{5})}$ ＝ $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ …
回答下列问题：

(1)、利用你观察到的规律，化简： $\frac{1}{5 + \sqrt{23}}$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + … + \frac{1}{3 \sqrt{11} + \sqrt{101}}$ ．

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18、如图，某小区的两个喷泉 $A ， B$ 位于小路 $A C$ 的同侧，两个喷泉之间的距离 $A B$ 的长为 $250 m$ ．现要为喷泉铺设供水管道 $A M ， B M$ ，供水点 $M$ 在小路 $A C$ 上，供水点 $M 到 A B$ 的距离 $M N$ 的长为 $120 m ， B M$ 的长为 $150 m$ ．

(1)、求供水点 $M$ 到喷泉 $A$ 需要铺设的管道长；

(2)、试说明 $∠ B M A = 90 °$ ．

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19、如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）.

(1)、在图中画出△ABC，△ABC的面积是；

(2)、若点P与点C关于x轴对称，则点P的坐标为；

(3)、已知Q为y轴上一点，若△ACQ的面积为8，求点Q的坐标.

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20、长方形OABC放在数轴上，OA=2，OC=1，以A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P，则点P表示的数为．

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