相关试卷

1、数学活动：

在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸得出了过点P画直线 $A B$ 的平行线的方法，折纸过程如下．①-②-③-④．

张华在任务1的条件下继续探究．他在 $P 、 Q$ 两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从 $P D$ 开始绕点 $P$ 顺时针旋转至 $P C$ 后立即回转，灯 $Q$ 射线从 $Q A$ 开始绕点 $Q$ 顺时针旋转至 $Q B$ 后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是 $1 °$ /秒， $3 °$ /秒，若灯P射线转动20秒后，灯 $Q$ 射线开始转动．在灯 $P$ 射线第一次到达 $P C$ 之前，当灯 $Q$ 转动 $t$ 秒时，灯 $P$ 射线 $P N$ 转动到如图的位置．

张华按照上面要求转动灯 $P$ 、灯 $Q$ 过程中，发现当 $t$ 取某个值时，两灯的光束可以互相平行．

问题解决：

(1)、任务1：

通过上述的折纸过程，图②的折痕 $P Q$ 与直线 $A B$ 的位置关系是．如图． $∠ 1 = ∠ 2 =$ ．则 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系为．

(2)、任务2：

①用含 $t$ 的式子表示 $∠ D P N =$ ，

②当 $t = 45 s$ 时，两条射线的夹角为．

(3)、任务3：

灯 $P$ 射线第一次到达 $P C$ 之前，求满足条件的 $t$ 的所有值并说明理由．

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2、2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武 $BOT$ ）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买 $A 、 B$ 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．

(1)、求 $A 、 B$ 两种型号智能机器人的单价．

(2)、该企业现计划用960万元采购 $A$ 型和 $B$ 型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．

(3)、每台A型机器人每月维护费 $0.5$ 万元，每台B型机器人每月维护费 $0.3$ 万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？

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3、已知 $2 a - 7$ 和 $a + 4$ 是某正数 $m$ 的两个平方根， $b - 12$ 的立方根为 $- 2$ ， $c$ 是 $\sqrt{19} - 3$ 的小数部分．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $|2 b - m| + {(4 a + c)}^{2}$ 的值．

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4、解方程；

(1)、 $2 {(x - 1)}^{2} = 8$

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 3 \\ 3 x - 5 y = 11 \end{matrix}$

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5、如图，已知 $A C ∥ F E, ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．
求证： $∠ F A B = ∠ B D C$ ．请将下面证明过程补充完整：
证明： $∵ A C ∥ E F$ （已知）
$∴ ∠ 1 + ∠ F A C = 180 °$ （①                  ）
又 $∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ （②                  ）
$∴$ ③                  （④                  ）
$∴ F A ∥ C D$ （⑤                  ）
$∴ ∠ F A B = ∠ B D C$ （⑥                  ）

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{16} + \sqrt[3]{8} - \sqrt{{(- 5)}^{2}}$

(2)、 $|\sqrt{2} - 3| + {(- 1)}^{2026} - \sqrt[3]{125}$ ．

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7、 $\sqrt{9}$ =； $\sqrt[3]{- 64}$ = ．

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8、如图，有下列条件能判断直线 $a ∥ b$ 的有（）
① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $∠ 3 + ∠ 4 = 180 °$ ；③ $∠ 5 + ∠ 6 = 180 °$ ；④ $∠ 2 = ∠ 3$ ．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9、已知平面直角坐标系中有点 $A (- 2, 1)$ ，过点 $A$ 作直线 $A B ⊥ x$ 轴，如果 $A B = 3$ ，则点 $B$ 的坐标为（　　）

A、 $(- 2, 4)$ 或 $(- 2, - 2)$ B、 $(1, 1)$ 或 $(- 5, 1)$ C、 $(1, 4)$ 或 $(- 5, - 2)$ D、 $(1, 1)$

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10、下列方程中，是二元一次方程的是（）

A、 $x^{2} + x = 2$ B、 $x + 3 x = 8$ C、 $2 x + y = 6$ D、 $x + \frac{1}{y} = 4$

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11、无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数中无理数是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt[3]{8}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、3.14

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12、如图1，正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在线段 $O D$ 上，连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，过 $B$ 作 $B N ⊥ A P$ 于点 $N$ ，交 $A O$ 于点 $M$ ．

(1)、求证： $O M = O P$ ；

(2)、若 $B C = B P$ ，求证： $P N + N M = \frac{\sqrt{2}}{2} P A$ ；

(3)、如图2，当 $M$ 是 $A O$ 的中点时，线段 $E F$ （点 $E$ 在点 $F$ 的左边）在直线 $B D$ 上运动．连接 $A F$ 、 $M E$ ，若 $A B = 4$ ， $E F = \sqrt{2}$ ，求出 $A F + M E$ 的最小值．

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13、在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 为边向形外作正方形 $A C E D$ ，正方形 $B C F G$ ，正方形 $A B N M$ ．

(1)、如图1过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $M N$ 于 $Q$ ，若矩形 $A H Q M$ 的面积为20，求正方形 $A C E D$ 的面积．

(2)、如图2，在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 为边向形外作矩形 $A C E D$ ，矩形 $B C F G$ ，矩形 $A B N M$ ，过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $M N$ 于 $Q$ ，交 $D E$ 的延长线于点 $P$ ．若记矩形 $A C E D$ 的面积为 $m$ ，矩形 $A H Q M$ 的面积为 $n$ ，当 $C P = \frac{\sqrt{2}}{2} Q H$ 时，直接写出 $m$ 与 $n$ 间的数量关系．

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14、如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $O$ 为对角线 $A C$ 的中点，过点 $O$ 作 $E F ⊥ A C$ 分别交边 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，垂足为 $O$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C E$ 为菱形；

(2)、在 $B C$ 的延长线上取一点 $G$ ，使 $C G = O C$ ，连接 $O G$ ．若 $F$ 为 $B C$ 的中点，且 $∠ G = 15 °$ ， $A B = 4$ ，求 $△ F O G$ 的面积．

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15、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 并延长，与 $C D$ 的延长线相交于点 $F$ ．求证： $D F = C D$ ．

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16、宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形．如图，黄金矩形 $A B C D$ 中， $\frac{A B}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，以宽 $A B$ 为边在其内部作正方形 $A B F E$ ，得到黄金矩形 $C D E F$ ．依此作法，四边形 $C F G H$ 、四边形 $F G M N$ 也是黄金矩形．依次以点 $F$ ， $G$ ， $M$ 为圆心，以 $B F$ ， $G E$ ， $M H$ 为半径画四分之一的圆，则称曲线 $B E H N$ 叫作“黄金螺线”．若 $A D = 4$ ，则“黄金螺线” $B E H N$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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17、如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　）

A、25° B、30° C、45° D、60°

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19、如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口 $A$ 出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口 $A$ 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A、20海里 B、10海里 C、30海里 D、25海里

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20、函数 $y = \frac{1}{x - 7}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（　　）

A、 $x > 7$ B、 $x \geq 7$ C、 $x < 7$ D、 $x \neq 7$

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