相关试卷

1、定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”.

(1)、下面的图形中是“N字平行四边形”的有：（）；

A、正方形 B、矩形 C、有一个角是60°的菱形 D、有一个角是60°的平行四边形 E、有一个角是45°的平行四边形

(2)、在“N字平行四边形”中，∠A=45°，AB>BC，则 $\frac{A B}{B C} =$ ；

(3)、如图1，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B=75°，AB=AC=8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若□AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值；

(4)、如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB=2AF，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值.

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2、在一元二次方程求根公式出现之前，人们利用“图解法”求解一元二次方程.根据欧几里得的《几何原本》中记载，形如 $x^{2} + a x = b^{2} (a⟩ 0, b > 0)$ 的方程的图解法如下：如图1，以a/2和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取. $B D = B C = \frac{a}{2},$ 则AD的长就是所求方程的正根.
小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析：
在Rt△ABC中， $B C = \frac{a}{2},$ AC=b，则 $A B = \sqrt{B C^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + b^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2},$
$∴ A D = A B - B D = \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} - \frac{a}{2},$ 当x=AD时，即 $x = \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} - \frac{a}{2},$
则有 $x^{2} + a x = x (x + a) = (\frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} - \frac{a}{2}) (\frac{\sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}}{2} + \frac{a}{2}) = \frac{a^{2} + 4 b^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4} = b^{2},$
∴AD的长就是所求方程的正根.

(1)、若a=6，b=4，则图1中线段AD的长为；

(2)、利用以上方法解关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x = 36$ 时，若构造后的图形满足AD=2BD，求m的值；

(3)、如图2，利用以上方法解关于x的一元二次方程. $x^{2} + 8 x = 9$ 时，过点D作矩形DEFG，使得点E，F，G分别落在AC，CB，BA上，求 $\frac{D E}{E F}$ 的值.

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3、某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示.已知AB=42米，AD=20米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺地毯防污的面积为456平方米，

(1)、求道路的宽是多少米?

(2)、该美食节共有摊位50个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位.当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为10125元?

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4、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE.过点O，E作直线BC的垂线，垂足分别为F，G.

(1)、求证：四边形OEGF是矩形；

(2)、若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，求矩形OEGF的面积.

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5、如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（-2，3），B（-3，1）.

(1)、 △O₁A₁B₁与△OAB是以P点为位似中心的位似图形，点O₁ ， A₁ ， B₁都在格点上，则点P的坐标为；

(2)、以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的△OA₂B₂ ，使它与△OAB的相似比为2：1.

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6、解一元二次方程 $x^{2} - 4 x = 5$ 时，两位同学的解法如下：
嘉嘉同学：

$x^{2} - 4 x = 5,$
x（x-4）=5，
x=1或x-4=5，
$∴ x_{1} = 1$ 或 $x_{2} = 9 .$
琪琪同学：
a=1，b=-4，c=5，

$b^{2} - 4 a c = 16 - 20 = - 4,$

$∵ b^{2} - 4 a c < 0,$
∴此方程无实数根.

(1)、你认为他们的解法是否正确?直接写出判断结果；
嘉嘉同学的解法，琪琪同学的解法.（填“正确”或者“不正确”）

(2)、请选择合适的方法解一元二次方程3x（x-4）=（x-4）.

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7、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD=4，CD=8，则AC=.

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8、如图，把3个相同的矩形填充到菱形ABCD中，如果测得每个矩形的周长为4 $\sqrt{2}$ cm，那么菱形ABCD的周长为cm.

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9、若m是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则 $m^{2} - m + 2020$ 的值为.

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10、分解因式： $4 m^{2} - 64 =$ .

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11、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G， $B G = 4 \sqrt{2}$ ，则△CEF的周长为（）

A、7 B、8 C、8.5 D、9

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12、中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧.在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（AP）.由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（ACE）平放在地面上，沿AC方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上.如图，点A、B、P位于同一直线上，∠ACB和∠AQP均为直角.测得AC=4尺，BC=3尺，AQ=20丈，则点A到点P的距离为（）

A、15丈 B、16丈 C、20丈 D、25丈

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13、如表是某同学求代数式 $a x^{2} + b x$ （a，b为常数，且a≠0）的值的情况.根据表格中的数据，可知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个根为（）
x
…
0
1
2
3
…

$a x^{2} + b x$
…
0
3
8
15
…

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为100cm的菱形画框.完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（）

A、 B、 C、 D、

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15、下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{2} + a = 3 a^{3}$ B、 ${(- a)}^{2} \div a = a$ C、 ${(- a)}^{3} \cdot a^{2} = - a^{6}$ D、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$

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16、电子社保卡是实体社保卡的线上版本，具有与实体社保卡相同的法律效力.下面是电子社保卡小程序中的一组图标，文字上方的部分是轴对称图形的是（）

A、综合服务 B、社会保障 C、人才人事 D、常用服务

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17、衡量手机信号强弱最准确的指标是RSRP，即参考信号接收功率（单位：dBm），其数值范围通常在-50dBm到-130dBm之间，绝对值越小，表示信号越强.下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（）

A、-72 B、-78 C、-83 D、-96

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18、如图(1)，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C(0，5)，直线y=-x+1与该抛物线交于D (-1， 2)， E两点.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、平移线段 CD，若点 C的对应点 C落在抛物线上，点D 的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标.

(3)、如图(2)，将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点 Q，连接PQ交DE于点 G.
①当四边形DPEQ 是菱形时，请直接写出点 P 的坐标；
②在点 P 的运动过程中，求线段PQ的最大值.

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19、“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.
【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根为x₁ ， x₂(x₁ ， x₂为横坐标和纵坐标得到点M(x₁ ， x₂)，则称点M为该一元二次方程的衍生点.

(1)、【初步思考】
若一元二次方程为 $x^{2} - 7 x + 6 = 0,$ 请直接写出该方程的衍生点M的坐标为.

(2)、【尝试应用】
若关于x的一元二次方程为 $x^{2} - 2 (m + 2) x + m^{2} + 4 m = 0 .$
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根：并求出该方程的衍生点M的坐标.
②由①得到的所有衍生点M 都在同一条直线上，则直接写出直线解析式y₁= ▲ .
③在②的条件下，若已知另一个函数 $y_{2} = x^{2} - 5 x + 6,$ 请求出y₁-y₂的最大值.

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20、【综合与实践】在海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬.小明妈妈买来一块长5m、宽2m的加厚不透明的布料，用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间(如图 (1)，地面是长方形，布料接头部分忽略不计)，小明发现高2m 的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化.设临时换衣间的长方形地面的一边长为 xm，临时换衣间地面面积为ym² ，请你帮小明解决以下问题：

(1)、求出y与x之间的函数关系式.

(2)、x为何值时，临时换衣间的地面面积最大?最大面积是多少?

(3)、如图(2)，小明发现离洗浴地不远处有一栋长10m、高5m的建筑外墙.若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗?若能，请结合具体数据进行说明.

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x	…	0	1	2	3	…
$a x^{2} + b x$	…	0	3	8	15	…