相关试卷

1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C = 10$ ， $∠ C = 30 °$ ，点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $C A$ 方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 匀速运动，同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 方向以每秒1个单位长度的速度向点 $B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 $D$ 、 $E$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(t > 0)$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ 、 $E F$ ．

(1)、 $D F =$ ________；（用含 $t$ 的代数式表示）

(2)、求证： $△ A E D ≌ △ F D E$ ；

(3)、当 $t$ 为何值时， $△ F D E$ 为直角三角形？

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2、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ F C E$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $A F$ 平分 $∠ B A D$ ，则 $A B$ 的长为________．

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3、如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得 $A B = 8 m$ ， $A D = 6 m$ ， $B C = 24 m$ ， $C D = 26 m$ ， $∠ A = 90 °$ ．

(1)、求 $B, D$ 之间的距离；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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4、如图， $Rt △ A B E$ 与 $Rt △ C D F$ 中， $∠ B$ ， $∠ D$ 是直角，边 $B E$ ， $D F$ 在一条直线上，且 $B F = D E$ ， $C F = A E$ ．
求证：

(1)、 $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、 $C F ∥ A E$ ．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 9 cm$ ， $A C = 12 cm$ ， $C D$ 是 $∠ A C B$ 的平分线， $D E ⊥ A C$ 于点E， $D E = \frac{1}{3} A C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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6、如图，一个圆柱体的高为 $20 cm$ ，底面周长为 $30 cm$ ．一只蚂蚁在点 $A$ 处，它要吃到点 $B$ 处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行cm．

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7、如图，在正五边形 $A B C D E$ 中，连接两条对角线 $A D$ ， $B D$ ，则 $∠ A D B$ 的度数为．

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8、如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的另一部分倒地后与地面成 $30 °$ 角，那么这棵树折断之前的高度是米．

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9、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ cm， $A D = 12$ cm，点 $P$ 在 $A D$ 边上以 $1 cm / s$ 的速度从点 $A$ 向点 $D$ 运动，点 $Q$ 在 $B C$ 边上，以 $4 cm / s$ 的速度从点 $C$ 出发，在 $C B$ 上运动到点 $B$ 后返回点 $C$ ，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以 $P$ ， $D$ ， $Q$ ， $B$ 四点为顶点的四边形为平行四边形时，点 $P$ 运动的时间为（）

A、2s B、 $\frac{24}{5}$ s C、4s D、5s

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10、在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，添加下列条件能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（　　）

A、 $A B = C D$ B、 $A D = B C$ C、 $A C = B D$ D、 $∠ B + ∠ A = 180 °$

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11、一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）

A、5 B、6 C、10 D、12

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12、在 $Rt △ A B C$ 中，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）

A、 $D C = D E$ B、 $A E = A C$ C、 $∠ A E D \neq 90 °$ D、 $∠ D A E = ∠ D A C$

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13、如图，要用“ $HL$ ”判定 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ A^{'} B^{'} C^{'}$ 全等的条件是（　　）

A、 $A C = A^{'} C^{'}$ ， $B C = B^{'} C^{'}$ B、 $∠ A = ∠ A^{'}$ ， $A B = A^{'} B^{'}$ C、 $A C = A^{'} C^{'}$ ， $A B = A^{'} B^{'}$ D、 $∠ B = ∠ B^{'}$ ， $B C = B^{'} C^{'}$

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14、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 110 °$ ， $∠ B$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $55 °$ C、 $50 °$ D、 $45 °$

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15、将一个含 $30 °$ 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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16、以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、3，4，5 C、6，8，15 D、5，12，17

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点D，过点O作 $A C$ 的平行线 $O E$ ，交 $B C$ 于点E，作射线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点F，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 3 C D$ ， $C D = 3$ ，求图中阴影部分的面积．

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18、问题背景：
（1）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图（1），将它放入一个直角三角形中， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，顶点D，E，F，G刚好落在三边上，求该直角三角形的面积．
问题提出与解决∶
（2）小颖同学受到启发，将该教具放入如图（2）所示的直角坐标系中，顶点A，B，C分别落在坐标轴上，如果反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过顶点D，求反比例函数的解析式．

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19、【项目学习】
配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式 $x^{2} + 8 x + 25$ 进行配方．
解：原式 $= x^{2} + 8 x + 16 + 9 = {(x + 4)}^{2} + 9$ ；
例2．求代数式 $- x^{2} + 4 x - 7$ 的最大值．
解：原式 $= - (x^{2} - 4 x + 4) - 3 = - {(x - 2)}^{2} - 3$ ，
∵ ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ ， ∴ $- {(x - 2)}^{2} \leq 0$ ， ∴ $- {(x - 2)}^{2} - 3 \leq - 3$ ， ∴ $- x^{2} + 4 x - 7$ 的最大值为 $- 3$ ．
【问题解决】
（1）若m，k，h满足 $2 m^{2} - 12 m + 11 = 2 {(m - k)}^{2} + h$ ，求 $k + h$ 的值．
【迁移应用】
（2）如图，有一块锐角三角形余料 $A B C$ ，它的边 $B C = 12$ 厘米，高 $A D = 8$ 厘米．现要用它裁出一个矩形工件 $P Q M N$ ，使矩形的一边在 $B C$ 上，其余的两个顶点分别在 $A B$ 、 $A C$ 上．
①设 $P N = x$ ，试用含x的代数式表示矩形工件 $P Q M N$ 的面积S；
②运用“配方法”求S的最大值．

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20、计算：

(1)、 $- 1^{2025} + \sqrt{27} - {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \div (- \frac{1}{2})$ ．

(2)、先简化，再求值 $(\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x - 1}{x - 2}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．

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