相关试卷

1、综合与实践

发现生活中的锐角三角函数
背景信息	2025年1月10日，哈尔滨冰雪大世界一举夺得最佳旅游项目奖、最佳景区奖等5个金奖、其中新建的室外滑雪场更是吸引了万千游客，这引发了全国滑雪场项目的一波潮流，各地都在争相模仿打造滑雪小世界
生活素材	素材1	如图-1是某滑雪场儿童滑雪项目示意图，从 $C$ 处乘坐电梯到达 $A$ 处，然后沿滑雪道 $A B$ 滑下，再从 $B$ 处乘坐摆渡车返回 $C$ 处，其中滑雪道 $A B$ 长为200米， $∠ B = 30 °$ ，电梯 $A C$ 的坡度为 $4 ： 3$
	素材2	如图-2是成人滑雪项目的示意图，电梯顶端 $A$ 的高度同儿童滑雪项目一样，滑雪道有两段，前半段 $A D$ 的坡角为 $30 °$ ，后半段 $D B$ 的坡角为 $45 ° ， A D = B D$
解决问题	任务一	求儿童滑雪场中电梯 $A C$ 的长度和游客乘坐摆渡车路线 $B C$ 的长度	结果精确到 $0.1$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$
	任务二	求成人滑雪场中滑雪道的总长度

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2、如图，已知一次函数 $y = x + 6$ 与反比例函数 $y = - \frac{8}{x} (x < 0)$ 的图象交于A、B两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．

(1)、求A，B两点的坐标；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、点P在y轴上，且 $S_{△ A O P} = \frac{1}{2} S_{△ A O B}$ ，请求出点P的坐标．

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3、已知：关于x的二次函数 $y = - x^{2} + b x + 3$ 的图象过点 $(1, 4)$ ．

(1)、抛物线的对称轴顶点坐标；

(2)、求出函数图象与 $x$ 左侧交点的坐标，右侧交点坐标，与 $y$ 轴交点坐标；

(3)、当 $y > 0$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围；

(4)、此抛物线与直线 $y = k x + m$ 交于 $(- 2, - 5)$ 和 $(0, 3)$ 两点，当 $x$ 在范围内， $- x^{2} + b x + 3 \geq k x + m$

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4、已知 $O$ 是坐标原点， $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(3, 1)$ ， $(2, - 1)$ ．

(1)、在 $y$ 轴的左侧以 $O$ 为位似中心作 $△ O A B$ 的位似图形 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使新图与原图相似比为 $2 : 1$ ；

(2)、若点 $D (a, b)$ 在线段 $O A$ 上，直接写出由（1）变化后点 $D$ 的对应点 $D_{2}$ 的坐标为________

(3)、求出 $△ O A B$ 的周长________．

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5、如图，在 $Rt △ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 °$ ， $a = 4$ ， $c = 8$ ，解这个直角三角形．

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6、（1）解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ；
（2）计算 $sin 30 ° + {cos}^{2} 45 ° - \sqrt{3} tan 30 °$

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7、已知反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ ，当 $x \geq 4$ 时，y的取值范围是．

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8、某商品的进货单价为 $30$ 元 $/$ 个，当销售单价为 $40$ 元 $/$ 个时，每天能卖出 $40$ 个，若销售单价每上涨 $1$ 元 $/$ 个，则每天的销量就减少 $1$ 个．设该商品的销售单价为 $x$ 元 $/$ 个，每天的利润为 $y$ 元，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为（）

A、 $y = (x - 30) [40 - (40 - x)]$ B、 $y = (x - 40) [40 - (x - 40)]$ C、 $y = (10 + x) (40 + x)$ D、 $y = (x - 30) [40 - (x - 40)]$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8 cm$ ， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A C$ 于D，连接 $B D$ ，若 $\sin ∠ D B C = \frac{3}{5}$ ，则 $B C$ 的长是（）．

A、 $4 cm$ B、 $6 cm$ C、 $8 cm$ D、 $10 cm$

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10、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $tan A = 3$ ，则 $sin B$ 的值为（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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11、双曲线 $y = \frac{2 k - 1}{x}$ 的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（）

A、 $k > \frac{1}{2}$ B、 $k < \frac{1}{2}$ C、 $k = \frac{1}{2}$ D、不存在

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12、若 $sin ∠ A = \frac{1}{2}$ ，则锐角 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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13、观察下列各式：① $1 \times \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$ ；② $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ；③ $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；④ $\frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；…

(1)、根据上述规律写出第⑤个等式：______；

(2)、请写出第n个等式（用含n的式子表示）：

(3)、计算： $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{101} \times \frac{1}{102}$ ．

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14、一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位： $cm$ ）： $+ 4$ ， $- 2$ ， $+ 9$ ， $- 5$ ， $- 1$ ， $+ 8$ ， $- 3$ ．

(1)、此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？

(2)、在爬行的过程中，若每爬行 $1 cm$ ，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？

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15、计算：

(1)、 $(\frac{1}{9} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}) \times (- 18)$ ；

(2)、 $- 2^{3} + [18 - (- 3) \times 2] \div 4$ ．

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16、已知 $|a - 3| + {(b + 4)}^{2} = 0$ ，则 ${(a + b)}^{2025} =$ ．

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17、小明买单价为a元的铅笔n支，应支付元．

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18、用“<”“>”或“=”号填空： $- 5$ $- 4$ ．

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19、 $- 1 \frac{3}{5}$ 的绝对值是．

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20、历史上，数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号 $f (x)$ 来表示，把x等于某数a时的多项式的值用 $f (a)$ 来表示，例如 $x = - 1$ 时，多项式 $f (x) = x^{2} + 3 x - 6$ 的值记为 $f (- 1)$ ，那么 $f (- 1)$ 等于（）

A、 $- 8$ B、 $- 10$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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