相关试卷

1、定义：若一次函数 $y = a x + b$ 和反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 交于两点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ ，满足 $x_{2} = k y_{1} (x_{1} < x_{2})$ ，则称 $y = a x^{2} + b x + c$ 为一次函数和反比例函数的“ $k$ 属合成”函数．

(1)、试判断一次函数 $y = x - 2$ 与 $y = \frac{3}{x}$ 是否存在“ $k$ 属合成”函数？若存在，求出 $k$ 的值及“ $k$ 属合成”函数；若不存在，请说明理由；

(2)、已知一次函数 $y_{1} = a x + b (b > 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 交于 $A, B$ 两点，它们的“ $- a$ 属合成”函数为 $y_{3}$ ，若点 $A$ 在直线 $y = - a x + 5$ 上，求 $y_{3}$ 的解析式；

(3)、如图，若 $y = a x + b$ 与 $y = - \frac{3}{2 x}$ 的“2属合成”函数的图象与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点（ $M$ 在 $N$ 点左侧），它的顶点为 $D (1, y_{0})$ ， $P$ 为第三象限的抛物线上一动点， $N P$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，将线段 $D E$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $D F$ ，射线 $M E$ 与射线 $F N$ 交于点 $G$ ，连接 $M P$ ，若 $∠ M G N = 2 ∠ M P N$ ，求点 $P$ 的坐标．

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2、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6, ∠ B = 60 °$ ，点 $E, F$ 分别是 $A B, A D$ 上的动点，满足 $A E = D F$ ，连接 $C E, C F, E F, E F$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ．

(1)、求 $∠ E C F$ 的度数；

(2)、填空：
① $\frac{A F}{C D} + \frac{A E}{A C} =$ ______________，② $\frac{A F}{C D} - \frac{F G}{E C} =$ ______________，③ $\frac{A G}{A E} + \frac{A G}{A F} =$ ______________；

(3)、记 $△ A E G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A F G$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ A E C$ 的面积为 $S_{3}$ ， $△ A F C$ 的面积为 $S_{4}$ ．
①若 $C F^{2} = 3 A F \cdot F D$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{3}}$ 的值；
②试判断 $\frac{S_{1}}{S_{4}} + \frac{S_{2}}{S_{3}}$ 的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．

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3、如图， $C$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点， $F$ 为 $\overset{⏜}{B C}$ 的中点，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $O F$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B E, B C, B C$ 交 $O F$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D F = 2, ∠ E O B = 60 °$ ，求线段 $O E$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

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4、北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系 $x O y$ ．如果她从点 $A (6, 10)$ 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度 $y$ （单位：m）与水平距离 $x$ （单位：m）近似满足函数关系式 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ．

(1)、在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下表：
水平距离 $x$ /m
6
$h$
7
7.5
竖直高度 $y$ /m
10
$11.25$
10
6.25
根据上述数据，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y = - 5 x^{2} + 60 x - 169$ ，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为 $d_{1}$ m，比赛当天入水点与原点的水平距离为 $d_{2}$ m，请比较 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的大小．

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5、如图，将平行四边形纸片 $A B C D$ 沿一条直线折叠，使点 $A$ 与点 $C$ 重合，点 $D$ 落在点 $G$ 处，折痕为 $E F$ ．

(1)、求证： $△ E B C ≌ △ F G C$ ；

(2)、若 $∠ E C B = 30 °$ ， $∠ A = 120 °$ ，试判断 $△ E C F$ 的形状，并说明理由．

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6、为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理．数据分成五组， $A$ 组： $50 \leq x < 60$ ； $B$ 组： $60 \leq x < 70$ ； $C$ 组： $70 \leq x < 80$ ； $D$ 组： $80 \leq x < 90$ ； $E$ 组： $90 \leq x \leq 100$ ．已知 $C$ 组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次随机抽查的样本容量为____________，并补全频数分布直方图；

(2)、抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为____________；

(3)、该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为 $4 : 6$ ，请你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数．

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7、小明晚上在路灯下的示意图如下，线段 $M N$ 表示直立的灯杆，灯泡 $P$ 在其上端某处，线段 $A B$ 表示一棵树，线段 $B C$ 表示它在地面上的影子，线段 $E F$ 表示小明．

(1)、请确定灯泡 $P$ 所在的位置，并画出小明站在 $E F$ 处的影子；

(2)、若小明的身高 $E F = 1.5 m$ ，当小明离灯杆的距离 $N F = 4 m$ 时，影子长为 $3 m$ ，求灯泡 $P$ 离地面的高度．

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8、解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 (x - \frac{1}{2}) \leq - x + 2 \\ x < \frac{2}{3} + 4 x \end{matrix}$ 并写出它的非负整数解．

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9、计算： ${(2025 - π)}^{0} + |1 - \sqrt{3}| + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 \sin 60 °$ ．

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10、有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母 $e$ 的卡片写有数字．

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11、如图，点 $A, B, C, D$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ C A D = 32 °, ∠ A B D = 46 °$ ，则 $∠ A D C =$ ．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以点 $A, B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，交于点 $M, N$ ，作直线 $M N$ 分别交 $B C, A B$ 于点 $D, E$ ，若 $∠ A D C = 72 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是．

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13、二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为 $3 cm$ 的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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14、因式分解： $a x - a x^{3} =$ ．

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15、魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 $A B C D$ ， $A F I J$ 和 $B F G H$ 都是正方形．如果图中 $△ B C E$ 与 $△ F D E$ 的面积比为 $\frac{16}{9}$ ，则 $\tan ∠ G F I$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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16、如图，矩形 $A B C D$ 的顶点D在 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的一个分支上，点 $E (- 1, 0)$ 和点 $F (0, 1)$ 在 $A B$ 边上， $A E = E F$ ，连接 $D F$ ， $D F$ $∥ x$ 轴，则k的值为（）

A、-2 B、-3 C、-4 D、 $- 2 \sqrt{2}$

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17、已知圆锥的底面半径为 $6$ ，母线长为 $10$ ，则圆锥的侧面积是（）

A、 $30$ B、 $60π$ C、60 D、 $30 π$

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18、人体的正常体温大约为 $36.5 ℃$ ，如果低于正常体温 $0.5 ℃$ 记作 $- 0.5 ℃$ ，那么高于正常体温 $1 ℃$ 应该记作（）

A、 $- 1 ℃$ B、 $+ 1 ℃$ C、 $35.5 ℃$ D、 $37.5 ℃$

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19、将边长均为 $6cm$ 的等边三角形纸片 $A B C 、 D E F$ 叠放在一起，使点E、B分别在边 $A C 、 D F$ 上（端点除外），边 $A B 、 E F$ 相交于点G，边 $B C 、 D E$ 相交于点H．

(1)、如图1，当E是边 $A C$ 的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；

(2)、如图2，若 $E F ∥ B C$ ，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

(3)、如图3，当 $A E > E C$ ， $F B > B D$ 时， $A E$ 与 $F B$ 有怎样的数量关系？试说明理由．

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20、如图（1），抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为 $(- 2, 0)$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作 $D E ⊥ x$ 轴于E，连接 $C D$ ，以 $O E$ 为直径作 $⊙ M$ ，如图（2），试求当 $C D$ 与 $⊙ M$ 相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

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水平距离 $x$ /m	6	$h$	7	7.5
竖直高度 $y$ /m	10	$11.25$	10	6.25