相关试卷

1、抛物线 $y = 4 {(x - 3)}^{2} + 7$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3, 7)$ B、 $(3, - 7)$ C、 $(- 3, 7)$ D、 $(- 3, - 7)$

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2、 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、定义：在 $Rt △ A B C$ 中，若斜边长为c，则称 $Rt △ A B C$ 是c系直角三角形．
例：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，则称 $Rt △ A B C$ 是5系直角三角形．
【任务一：概念理解】①若 $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 是_____________系直角三角形；
②若 $△ A B C$ 是 $\sqrt{5}$ 系直角三角形， $A B = 1$ ，请在图2中画出一个满足条件的 $△ A B C$ ；
【任务二：实践应用】如图3，在以O为原点的平面直角坐标系中， $M (1, 1)$ ，点N在直线 $y = 2 x + 4$ 上， $Rt △ O M N$ 是以M为直角顶点的a系直角三角形，求a的值；
【任务三：拓展提升】已知 $D (- 1, - 1)$ ， $E (1, 3)$ ， $Rt △ D E F$ 是 $2 \sqrt{10}$ 系直角三角形，直线 $l : y = k x + b (k \neq 0)$ 上有且仅有两个满足条件的点F，请在图4中画出一个符合题意的 $Rt △ D E F$ ，并求出k所有可能的取值．

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4、综合与实践
【问题背景】为了对体育节 $4 \times 100$ 米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级 $10$ 个班，分男、女子组进行比赛．
【数据统计】
A．八年级男子组 $4 \times 100$ 米接力成绩统计如下：（单位：秒）
$55.7 、 54.7 、 56.5 、 55.5 、 56 、 56.3 、 54.4 、 56.4 、 56.6 、 54.9$
B．三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的箱线图如下：
【数据分析】
（1）箱线图中x的值为_____________；
（2）比较三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可）
发现：_______________________________________________________
原因：_______________________________________________________
【进阶分析】在 $4 \times 100$ 米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此 $4 \times 100$ 米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的 $100$ 米单项用时之和．
（3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中 $0 \leq x \leq 16$ ），已知当 $x = 8$ 时， $t = 1.0$ ；当 $x = 12$ 时， $t = 1.4$ ．并且接力比赛用时满足：
$4 \times 100$ 米接力成绩 $=$ 四人 $100$ 米单项时间总和 $-$ 三次交接棒总节约时间
①求t关于x的函数表达式；
②已知九（1）班四名选手的 $100$ 米单项用时总和为 $56.4$ 秒，则九（1）班 $4 \times 100$ 米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为 $\underset{˙}{y} \underset{˙}{=} \underset{˙}{k} \underset{˙}{x} \underset{˙}{+} \underset{˙}{b}$ 的形式）
③九（2）班四名男子选手的 $100$ 米单项用时总和比九（3）班快 $1.4$ 秒，但 $4 \times 100$ 米接力成绩比九（3）班慢 $1.3$ 秒，且两个班的交接棒训练时间之和为 $13$ 小时．求九（3）班的交接棒训练时长．

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5、2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中， $∠ G H N : ∠ F G E = 2 : 1$ ， $∠ H G F = 140 °$ ， $G E ∥ M N$ ．

(1)、求 $∠ G H M$ 的度数；

(2)、若 $G H ∥ D E$ ， $∠ A B C = 150 °$ ， $∠ B C E = 68 °$ ， $∠ G E C = 118 °$ ，求证： $G H ∥ A B$ ．

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6、如图，点M，N的坐标分别为： $M (- 2, 1)$ ， $N (6, 2)$ ．

(1)、请在网格中作出平面直角坐标系 $x O y$ ；

(2)、若第一象限内的点P到x轴的距离为4，且 $N P ∥ y$ 轴，请在图中描出点P，并写出点P的坐标；

(3)、在（2）的基础上，作出 $△ M N P$ ，再在图中画出 $△ M N P$ 关于x轴对称的图形 $△ M^{'} N^{'} P^{'}$ （点 $M^{'}$ ， $N^{'}$ ， $P^{'}$ 分别对应点M，N，P）．通过分析两个三角形对应点间的横、纵坐标之间的关系，你能得出什么结论？

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7、小明解关于x，y的二元一次方程组

\{\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 9 ① \\ 3 x - 4 y = 5 ② \end{array}

时的过程如下：

第1步： $① - ②$ 得 $x - y = 4$ ③

第2步： $③ \times 3$ 得 $3 x - 3 y = 12$ ④

第3步： $① - ④$ 得 $x = - 3$

第4步：将 $x = - 3$ 代入③得 $- 3 - y = 4$ ，即 $y = - 7$

所以原方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 7 \end{array}$

(1)、你认为小明的做法从第_____________步开始出现错误；

(2)、请写出正确的解法．

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8、定义两种新运算： $[a, b, c]$ 为 $a, b, c$ 的中位数； $(a, b, c)$ 为 $a, b, c$ 的算术平均数．
例如：①因为 $2 \leq 3 \leq 5$ ，所以 $[3, 2, 5] = 3$ ；② $(3, 4, 8) = \frac{3 + 4 + 8}{3} = 5$ ．
则函数 $y_{1} = [x + 2, - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}, - 2 x + 4]$ 与 $y_{2} = (3 x + 6, - x + 2, - 6 x + 12)$ 的交点坐标为．

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9、如图，直线 $y = - x + 4$ 与 $y = k x + b$ 的交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 4 \\ - k x + y = b \end{matrix}$ 的解为．

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10、外语节演讲比赛决赛共有三个环节：主题演讲、即兴问答和才艺展示，三个环节的成绩在综合成绩中的权重分别是 $40 %$ ， $50 %$ ， $10 %$ ，某同学三个环节的分数分别为90分，80分，85分，则该同学的综合成绩是分．

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11、说明命题“m的绝对值是正数”是假命题的反例是 $m =$ ．

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12、小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定：
①台球桌面设计为腰长为4的等腰 $Rt △ A O B$ ；
②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角．
如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点 $P (2, 0)$ 出发，撞击 $A B$ 边上的M点后反弹，再撞击 $O B$ 边上的点N反弹，最后回到点P．则M点的坐标为（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(2.5, 1.5)$ C、 $(3, 1)$ D、 $(1.5, 2.5)$

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13、图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为 $22 .4cm$ ．已知配套吸管的长度为 $27 .6cm$ ，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 $5cm$ （不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（）

A、 $3cm$ B、 $4cm$ C、 $6cm$ D、 $8cm$

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14、工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9名工人参与制作，每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 20 x = 50 y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 20 x = 2 \times 50 y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 2 \times 20 x = 50 y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 2 \times 50 x = 20 y \end{array}$

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15、若关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} x + 9 y = 4 k - 4 \\ 9 x + y = 6 k + 4 \end{array}$ 的解满足 $x + y = 3$ ，则k的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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16、如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（）

A、4，5，6 B、5，7，12 C、5，9，16 D、6，12，15

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17、学校生物种植园中有

10

盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将

10

盆植物的株高（单位：

cm

）从小到大排序后分成两组，共有

9

种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下：

序号	分组情况	组内离差平方和
$1$	第一组 $1$ 个，第二组 $9$ 个	$44$
$2$	第一组 $2$ 个，第二组 $8$ 个	$28$
$3$	第一组 $3$ 个，第二组 $7$ 个	$16.67$
$4$	第一组 $4$ 个，第二组 $6$ 个	$20.35$
$5$	第一组 $5$ 个，第二组 $5$ 个	$28$
$6$	第一组 $6$ 个，第二组 $4$ 个	$31.22$
$7$	第一组 $7$ 个，第二组 $3$ 个	$39.52$
$8$	第一组 $8$ 个，第二组 $2$ 个	$52.42$
$9$	第一组 $9$ 个，第二组 $1$ 个	$62$

则 $10$ 盆植物的最优分组序号是（）

A、

1

B、

3

C、

5

D、

9

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18、青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，已知瓶身左侧的A点的横纵坐标均为无理数，则点A坐标可能是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- \sqrt{5}, \sqrt{2})$ D、 $(- \sqrt{5}, - \sqrt{2})$

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19、定义：若数轴上有两个点位于一点两侧，且到该点的距离相等，则称这两个点是关于该点的“联盟点”．
【初步感知】
（1）在数轴上，若点B表示的数是5，点M表示的数是3，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则点A表示的数是_______；
（2）在数轴上，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，点M表示的数是m，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则a，b，m满足的数量关系是______；
【问题探究】
如图1，点O为原点，点M表示的数是3，如果点C所表示的数是 $c (c < - 3)$ ，点C关于O点的“联盟点”是点D，点C关于点M的“联盟点”是点E，求线段DE的长度；
【拓展延伸】
如图2，点F表示的数是1，点P，Q分别从数轴上表示的数是3和 $- 2$ 的点出发向右匀速运动，点P的速度是1个单位长度/秒，点Q的速度是k个单位长度/秒，设运动时间为t秒．点F关于点P的联盟点为点G，点G关于点Q的联盟点为点H，是否存在一个k值，使得FH为定值．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

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20、“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．
【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$ 的结果进行探究．具体操作如图：
分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：
直观发现：小正方形的数量和依次为 $1 \times 2$ ， $2 \times 3$ ， $3 \times 4$ ， $4 \times 5$ ， …
因此空白部分的小正方形的数量和依次为 $\frac{1 \times 2}{2}$ ， $\frac{2 \times 3}{2}$ ， $\frac{3 \times 4}{2}$ ， $\frac{4 \times 5}{2}$ ， …
（1）请你归纳总结： $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + n =$ ____；
【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：
（2）连续奇数的和
请你归纳总结： $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1) =$ _______；
（3）连续偶数的和
请你在网格中画出第④个图，并归纳总结： $2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2 n =$ ____；
【应用】
（4）利用以上结论，计算 $(101 + 103 + 105 + \dots + 199) + (202 + 204 + 206 + \dots + 300)$ 的值．

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