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1、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 上一点， $E$ 为 $A C$ 中点，连接 $D E$ 并延长至点 $F$ ，使得 $∠ A D F = ∠ F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、你认为 $A D$ 与 $C F$ 相等吗？并说明理由；

(2)、若 $B E ⊥ A C$ ， $B D = 2$ ， $C F = 3$ ，求 $B C$ 的长．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，点 $E$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、用尺规作出 $B C$ 边上的高线 $A F$ ．

(2)、若 $∠ A B E = 27 °$ ， $∠ B A D = 35 °$ ，求 $∠ B E D =$ 度．

(3)、若 $△ B D E$ 的面积为10， $B C = 10$ ，则 $A F =$ ．

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3、如图， $A D$ ， $C E$ 是 $△ A B C$ 的两条高．

(1)、若 $∠ B = 50 °$ ， $∠ A C E = 10 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、 $A B = 4 c m$ ， $B C = 8 c m$ ， $C E = 6 c m$ ，求 $A D$ 的长．

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4、如图， $A D, C F$ 分别是 $△ A B C$ 的高和角平分线， $A D$ 与 $C F$ 相交于G， $A E$ 平分 $∠ C A D$ 交 $B C$ 于E，交 $C F$ 于M，连接 $B M$ 交 $A D$ 于H，且 $B M ⊥ A E$ ．有下列结论：① $∠ C M A = 120 °$ ；② $△ A B C$ 是等腰三角形；③ $B C = B H + 2 M H$ ；④ $S_{△ A H M} + S_{△ B F M} + S_{△ C E M} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ．其中，正确结论的个数有．

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5、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D， $D E ⊥ A B$ 于点E， $B F ⊥ A C$ 于点F， $D E = 3 c m$ ，则 $B F =$ $c m$ ．

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6、一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度 $a = 7 c m$ ，则 $D E$ 的长为 $c m$ ．

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7、已知一个三角形的两边长分别为 $2$ 和 $9$ ，且第三边长为奇数，则第三边的长为．

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8、如图，等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 长为6．面积是24，腰 $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点E、F．若点D为底边 $B C$ 的中点，点M为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ B D M$ 的周长的最小值是（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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9、如图，已知 $△ A B C ≌ △ D E B$ ，点E在 $A B$ 上，若 $∠ A = 40 °$ ， $∠ D B E = 75 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $105 °$ D、 $115 °$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，线段 $B C$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 8$ ，则 $△ A B E$ 的周长为（）

A、 $8$ B、 $10$ C、 $12$ D、 $16$

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11、在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段 $A D$ 在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 $A D$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、角平分线、中线、高线 B、角平分线、高线、中线 C、中线、角平分线、高线 D、高线、中线、角平分线

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12、用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（）

A、 $S S S$ B、 $A S A$ C、 $S A S$ D、 $A A S$

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13、已知 $△ A B C$ 中 $∠ B \neq ∠ C$ ，求证 $A B \neq A C$ ．若用反证法证这个结论，应首先假设（）

A、 $∠ B = ∠ C$ B、 $∠ A = ∠ B$ C、 $A B = A C$ D、 $∠ A = ∠ C$

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14、下列说法是真命题的为（）

A、同位角相等 B、对顶角相等 C、两点之间直线最短 D、如果两直线平行，那么同旁内角相等

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15、小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（）

A、4 B、6 C、10 D、12

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16、如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ C A B$ 的平分线，且 $A B = A C + C D$ ．

(1)、求证： $∠ C = 2 ∠ B$ ．

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ， $A D = \sqrt{6}$ ，求 $A B$ 的长．

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17、如图， $D E ⊥ A B$ 于点E， $D F ⊥ A C$ 于点F， $B D = C D$ ， $B E = C F$ ．

(1)、求证： $D E = D F$ ；

(2)、已知 $A C = 20$ ， $B E = 4$ ，求 $A B$ 、 $E C$ 的长．

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18、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， P是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $∠ A P D = 90 °$ ．

(1)、求证： $A B + C D = B C$ ．

(2)、如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 45 °$ ， P是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $∠ A P D = 90 °$ ．那么 $A B$ ， $C D$ ， $B C$ 之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明；

(3)、在（2）的条件下，若 $A D = 2$ ， $∠ A P B = 30 °$ ，请直接写出 $B C$ 的长．

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19、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $C D = 12$ ， $A D = 13$ ．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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20、如图，铁路上 $A$ ， $B$ 两点相距 $25 k m$ ， $C$ ， $D$ 为两村庄， $D A ⊥ A B$ 于 $A$ ， $C B ⊥ A B$ 于 $B$ ，已知 $D A = 15 k m$ ， $C B = 10 k m$ ，现在要在铁路 $A B$ 上建一个土特产品收购站 $E$ ，使得 $C$ ， $D$ 两村到 $E$ 站的距离相等．

(1)、 $E$ 站应建在 $A$ 站多少 $k m$ 处？

(2)、求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积．

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