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1、若不等式(组)只有 $n$ 个正整数解( $n$ 为自然数)，则称这个不等式(组)为 $n$ 阶不等式(组)．
我们规定：当 $n = 0$ 时，这个不等式（组 $)$ 为0阶不等式（组 $)$ ．
例如：不等式 $x + 1 < 6$ 只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 2 \\ 2 x - 3 < 7 \end{array}$ 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：

(1)、 $x < \frac{1}{2}$ 是阶不等式； ${\begin{array}{l} x > 1 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ 是阶不等式组；

(2)、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 a < 0 \\ 2 + 3 x ⩾ \frac{x + 9}{2} \end{array}$ 是4阶不等式组，求 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x ⩾ p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解有 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ 其中 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < \dots$ 如果 ${\begin{array}{l} x ⩾ p \\ x < m \end{array}$ 是 $(m - 3)$ 阶不等式组，且关于 $x$ 的方程 $2 x - m = 0$ 的解是 ${\begin{array}{l} x ⩾ p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解 $a_{3}$ ，请求出 $m$ 的值以及 $p$ 的取值范围．

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2、如图，已知： $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ D = ∠ C$ ，
求证： $∠ A = ∠ F$ ．
证明： $∵ ∠ 2 = ∠ 3 ($ $)$ ，
$∠ 1 = ∠ 2 ($ $)$ ，
$∴$ （等量代换），
$∴$ $/ /$ （同位角相等，两直线平行），
$∴ ∠ 4 = ∠ C ($ $)$ ，
$∵ ∠ D = ∠ C$ （已知），
$∴ ∠ 4 =$ （等量代换），
$∴ D F / / A C ($ $)$ ，
$∴ ∠ A = ∠ F ($ $)$ ．

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3、先化简，再求值： $(2 a - b)^{2} - (3 a - 2 b) (3 a + 2 b) + 5 a (a - b)$ ，其中 $\sqrt{2 a - 4} + (b + 1)^{2} = 0$ ．

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4、计算：

(1)、 $2 a^{2} b \cdot (- 4 a b^{2}) + (2 a b)^{3}$ ；

(2)、 $(- 1)^{2026} + \sqrt{9} - \sqrt[3]{- 8} + | 3 - \sqrt{5} |$ ．

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5、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq 1 \\ \frac{x}{3} + \frac{x - 3}{6} < 1 \end{array}$ ．

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6、已知两个整式 $M = x + y$ ， $N = x - y$ ，将整式 $M$ 与整式 $N$ 求和后得到整式 $A_{1} = 2 x$ ．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果 $A_{1}$ 加上 $M + 2 N$ 的结果记为 $A_{2}$ ，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果 $A_{2}$ 加上 $2 M + 3 N$ 的结果记为 $A_{3}$ ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 $A_{3}$ 加上 $3 M + 4 N$ 的结果记为 $A_{4}$ ，记作第四次求和操作， $\dots$ ，以此类推．根据以上材料，回答下列问题：

(1)、计算： $A_{2} =$ （用含 $x$ ， $y$ 的代数式表示）；

(2)、当 $n$ 为大于3的正整数时， $(A_{n} - A_{3}) [(m - 2) x^{2 + | k - 1 |} - (m - 1) y] + x^{m} y^{| k + 1 |}$ 是关于 $x$ ， $y$ 的五次三项式（其中 $m$ 和 $k$ 均为整数且 $m + k > 3)$ ，则 $m + k$ 的值为．

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7、若 $x^{2} + (a - 2) x + 9$ 是完全平方式，则常数 $a$ 的值是．

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8、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，将三角板按如图方式放置，直角顶点在 $l_{2}$ 上，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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9、若代数式 $x - 3$ 的值为正数，则 $x$ 的值可以等于（写一个即可）．

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10、甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为 $x$ 元，每个蛋糕的售价为120元，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $56 ⩽ x < 76$ B、 $56 ⩽ x < 80$ C、 $60 ⩽ x < 76$ D、 $60 ⩽ x < 80$

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11、若 $x + y = 3$ ， $x y = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为（）

A、8 B、5 C、7 D、6

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12、下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{16}$ 的平方根是 $\pm 4$ B、8的立方根是 $\pm 2$ C、 $(- 3)^{2}$ 的算术平方根是3 D、 $\sqrt{64} = \pm 8$

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13、学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是（）

A、 B、 C、 D、

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14、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} - a^{2} = a$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 $(2 a + 1) (2 a - 1) = 2 a^{2} - 1$ D、 $(a^{3})^{2} = a^{6}$

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15、下列图形中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是同旁内角的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、若 $a < b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + 3 > b + 3$ B、 $2 a > 2 b$ C、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$ D、 $- 3 a > - 3 b$

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17、下列各数中，不是无理数的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $0.1010010001 \dots$ （每两个1之间依次多一个0）

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18、如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，-3），以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P，连结AP.若C为AP的中点，连结OC，则OC的最小值为.

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19、【特例感知】

(1)、如图1，在△ABC中，∠ABC＝120°，BC＝2，AB＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，则CD＝；

(2)、【类比迁移】
如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，且满足点B，C，E三点共线．若∠BED＝90°，请猜想BE，DE，AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由．

(3)、【问题解决】
如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足∠BAC＝90°，点D为公园中的观景点，若 $A D = 200 \sqrt{2}$ 米，CD＝200米，计划修建一条观赏栈道BD，要使得栈道尽可能地长，求四边形ABCD的面积．

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20、【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
4
2
0
﹣2
a
2
…

(1)、a＝；

(2)、描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；

(3)、【拓展应用】
若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系：；

(4)、结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集：．

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x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	6	4	2	0	﹣2	a	2	…