相关试卷

1、阅读与思考

下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．

探究利用函数图象解一元二次方程

我们知道，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象是一条抛物线，在求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标时，令 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，得到对应的一元二次方程．

当方程有两个不相等的实数根时，对应的抛物线与 $x$ 轴会有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与 $x$ 轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与 $x$ 轴没有交点．

综上所述，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根的情况，对应的就是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的位置关系．若 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有实数根，则实数根就是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标．

反之，我们可以利用二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标，求其对应的一元二次方程的根．

我还发现，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根可以看作一条抛物线与一条直线交点的横坐标，如一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根可以看作抛物线 $y = x^{2} - 3$ 与直线 $y = 2 x$ 的交点的横坐标．

理由如下：

如图，画出抛物线 $y = x^{2} - 3$ 与直线 $y = 2 x$ ．

由图象可知，抛物线 $y = x^{2} - 3$ 与直线 $y = 2 x$ 的交点坐标分别为 $(- 1, - 2), (3, 6)$ ．

．．．．．．

任务：

(1)、上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是．（从下面选项中选出两个即可）

A．分类讨论思想 B．统计思想 C．数形结合思想 D．转化思想

(2)、请补全小宣的推理过程．

(3)、一元二次方程

2 x^{2} + x = 3

的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是，直线对应的函数解析式是．

查看解析

2、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ D B E$ ，点 $A$ ， $C$ 旋转后的对应点分别为 $D$ ， $E$ ，连接 $D C$ ，分别交 $A B$ ， $E B$ 于点 $F$ ， $G$ ．若 $B C = 2$ ，求 $C D$ 的长．

查看解析
3、毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，因形状好似一棵树，故被称为毕达哥拉斯树．如图是数学社团的李想同学利用几何画板绘制的“勾股树”，电脑打印后为长 $20 cm$ ，宽 $16 cm$ 的矩形图片．他要给这个矩形图片装框挂在墙上，边框（粗细忽略不计）与矩形图片之间的距离等宽．若装框后整幅作品的面积为 $480 {cm}^{2}$ ，求装框后整幅作品外框的总长度．

查看解析
4、如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $B, C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ 和点 $C$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，连接 $A C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看解析
5、解下列方程：

(1)、 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ；

(2)、 $2 x - 4 = {(x - 2)}^{2}$ ．

查看解析
6、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5, B C = 3$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到矩形 $A E F G$ ，点 $B, C, D$ 旋转后的对应点分别为 $E, F, G$ ．若点 $E$ 落在边 $C D$ 上，延长 $C D$ 交 $F G$ 于点 $H$ ，连接 $A H$ ，则 $A H$ 的长为．

查看解析
7、景德桥是一座敞肩式单孔圆弧弓形石拱桥，位于山西省晋城市，始建于1189年，是山西省省级文物保护单位．如图所示是它的示意图，其拱桥可近似地用抛物线的一部分表示．若当水面宽度 $A B$ 为 $20 m$ 时，水面到拱顶的高度 $C O$ 为 $4 m$ ，则当水位在此基础上继续上涨 $1 m$ 时，水面的宽度为 $m$ ．（结果保留根号）

查看解析
8、某数学小组同学利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组同学设定的旋转角为．

查看解析
9、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的公共点是 $(- 5, 0), (3, 0)$ ，则这条抛物线的对称轴为．

查看解析
10、若一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 无实数根，请写出一个满足条件的一元二次方程：．

查看解析
11、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0, - 2)$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上， $∠ O B A = 30 °$ ．若把 $Rt △ O A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30^{\circ}$ ，得到 $Rt △ E A C$ ，点 $B$ 旋转后的对应点为 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(4, - 2)$ B、 $(2, 2)$ C、 $(2, 2 - 2 \sqrt{3})$ D、 $(2, 2 \sqrt{3} - 2)$

查看解析
12、用 $12 m$ 长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（）

A、 $6 m^{2}$ B、 $16 m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $36 m^{2}$

查看解析
13、新能源汽车以其环保性、经济性和智能性逐渐受到广大民众的青睐．某品牌新能源汽车2025年4月的销售量为25万台，6月销售量为36万台．若该品牌新能源汽车这两个月的月平均增长率为 $x$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $25 {(1 - x)}^{2} = 36$ B、 $25 {(1 + x)}^{2} = 36$ C、 $36 {(1 + x)}^{2} = 25$ D、 $25 + 25 (1 + x) = 36$

查看解析
14、把抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ 向右平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（）

A、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 1$ B、 $y = - {(x + 2)}^{2} - 1$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ D、 $y = - x^{2} + 1$

查看解析
15、如图， $D$ 为 $Rt △ A B C$ 斜边 $A B$ 的中点，以点 $D$ 为中心，把 $Rt △ A B C$ 逆时针旋转，使点 $C$ 落在点 $A$ 处，得到Rt $△ F E A$ ，点 $A, B, C$ 旋转后的对应点分别为 $F, E, A, A E$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ．若 $∠ B = 25 °$ ，则 $∠ C G A$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

查看解析
16、一元二次方程 $- 2 x^{2} - 12 x + 16 = 0$ 配方正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 17$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 17$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = - 1$

查看解析
17、已知函数 $y = x^{2}$ ，当 $x < - 2$ 时， $y$ 的取值范围为（）

A、 $y > 2$ B、 $y > 4$ C、 $y < 2$ D、 $y < 4$

查看解析
18、若点 $A$ 的坐标为 $(- 3, 2)$ ，则它关于原点对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(3, - 2)$

查看解析
19、剪纸是我国最古老的民间艺术之一，先后入选我国国家级非物质文化遗产名录和联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

查看解析
20、一元二次方程 $x (x - 1) = 0$ 的根为（）

A、 $x_{1} = x_{2} = 0$ B、 $x_{1} = x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = 0, x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 0, x_{2} = - 1$

查看解析