相关试卷

1、为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根 $6 m$ 高的灯柱的影长为 $3 m$ ，在同一时刻，他们测得树的影长为 $2 m$ ，则该树的高度为 $m$ ．

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2、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点 $P$ ，画射线 $A P$ 与 $B C$ 交于点 $D$ ，作 $D F ∥ A B$ 交 $A C$ 于 $F$ ， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $D F = 5$ ， $D E = 4$ ．则下列结论错误的是（）

A、 $C D = 4$ B、 $B E = \frac{16}{3}$ C、 $B D = \frac{10 \sqrt{2}}{3}$ D、 $A D = 4 \sqrt{5}$

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3、以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（）与第一个三角形相似．

A、 $△ D E F$ B、 $△ G H I$ C、 $△ J K L$ D、 $△ M N O$

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4、已知a，b均为一元二次方程 $x^{2} + 10 x + 9 = 0$ 的根，则 $(a + 1) (b + 1)$ 的值为（）

A、0 B、20 C、 $- 16$ D、2

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5、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列哪个条件能够使得 $▱ A B C D$ 是矩形（）

A、 $A B = A D$ B、 $∠ A B C = ∠ B C D$ C、 $∠ A B D = ∠ C B D$ D、 $A O ⊥ B O$

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6、

(1)、【探索发现】如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边 $A_{1} O$ 与边 $A B$ 相交于点 $E$ ，边 $C_{1} O$ 与边 $C B$ 相交于点 $F$ ，连接 $E F$ ．在实验与探究中，小新发现无论正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 绕点 $O$ 怎样转动， $A E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明 $△ A O E ≌ △ B O F$ 即可推导出来．
①请你猜想 $A E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系是 ▲ ．
②小新对图1的进一步研究中发现，延长 $E O$ 与 $D C$ 交于一点 $G$ ，通过证明 $△ A O E ≌ △ C O G$ 也可推导出 $A E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系，请你证明 $△ A O E ≌ △ C O G$ ．

(2)、【类比迁移】
如图2，矩形 $A B C D$ 的中心 $O$ 是矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $A_{1} O$ 与边 $A B$ 相交于点 $E$ ， $C_{1} O$ 与边 $C B$ 相交于点 $F$ ，连接 $E F$ ，矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕着点 $O$ 旋转，判断 $A E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系并进行证明；

(3)、【拓展应用】
如图3，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5 c m$ ， $B C = 12 c m$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 的中点， $∠ E D F = 90 °$ ，它的两条边 $D E$ 和 $D F$ 分别与直线 $A C ， B C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ， $∠ E D F$ 可绕着点 $D$ 旋转，当 $A E = 4 c m$ 时，请直接写出线段 $C F$ 的长度．

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7、【问题背景】
某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型 $F = \frac{k S}{d}$ 来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万 $m^{2}$ ）；d表示购物中心到居民区的距离（单位： $k m$ ）；k为常数且 $k > 0$ ．

(1)、【模型应用】
已知当 $S = 3$ 万 $m^{2}$ ， $d = 4$ $k m$ 时， $F = 60$ 次，则 $k =$ ；

(2)、甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万 $m^{2}$ 和4.5万 $m^{2}$ ，它们到同一居民区的距离之比为 $2 : 3$ ，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离；

(3)、【模型修正】
实际调研发现，当距离 $d > 5$ km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： $F = {\begin{array}{l} \frac{k S}{d} & (0 < d \leq 5) \\ \frac{k S}{d^{2}} & (d > 5) \end{array}$
【模型分析】
现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万 $m^{2}$ 的购物中心，且到居民区距离d限定在 $4 k m \leq d \leq 7 k m$ ，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次，求整数d的值．

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8、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O， $O A = O C ， O B = O D$ ，且 $A E ∥ B D$ ， $B E ∥ A C$ ， $O E = A B$ ．

(1)、试判定四边形 $A B C D$ 的形状；

(2)、若 $∠ A D C = 60 °$ ， $B E = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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9、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 5, 4)$ ， $B (- 3, 0)$ ， $C (0, 2)$ ，将 $△ A B C$ 先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 三点的坐标；

(2)、连接 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ，则这两条线段的位置关系是，数量关系是；

(3)、求 $S_{△ A B C}$ ．

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10、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4} \div (x - 2 - \frac{2 x - 4}{x + 2})$ ，选一个你喜欢的数字作为 $x$ 的值代入求值．

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11、解不等式组并在数轴上表示出解集： ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} (x + 3) < 2 \\ \frac{x + 2}{2} > \frac{x + 3}{3} \end{array}$ ；

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12、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $B C$ 上，连接 $E F$ ，将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 翻折，使点 $B$ 的对应点 $D$ 落在 $A C$ 的延长线上，若 $D E$ 平分 $∠ A D F$ ，则 $E B$ 长为．

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13、如图，第一象限内有两点 $P (m - 5, n) ， Q (m, n - 4)$ ，将线段 $P Q$ 平移，使点 $P 、 Q$ 分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是．

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14、若分式 $\frac{7}{x + 6}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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15、如图①，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 20 c m$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A - B - C$ 以 $1 c m / s$ 的速度匀速运动到点 $C$ ，图②是点 $P$ 运动时，线段 $O P$ 的长 $y (c m)$ 随时间 $t (s)$ 变化的函数关系图象，其中 $E$ ， $F$ 分别是两段曲线的最低点，则 $A D$ 的长为（）

A、 $10 c m$ B、 $12 c m$ C、 $14 c m$ D、 $16 c m$

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16、一次函数 $y_{1} = k x - 1 (k \neq 0)$ 与 $y_{2} = - x + 5$ 的图象如图所示，满足不等式 $k x - 1 < - x + 5$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x < 3$ C、 $x > 3$ D、 $x > 5$

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17、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ B、 $x^{2} + 5 x + 4 = {(x + 2)}^{2} + x$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2) + 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$

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18、【问题呈现】
如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段DE、DF、AD之间的数量关系．

(1)、【问题初探】
爱动脑筋的艾坤发现，通过证明 ≌ ，可以得到结论．请直接写出线段DE、DF、AD之间的数量关系；

(2)、【问题引申】
如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，∠EPF＝60°，其他条件不变，请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【问题解决】
如图3，在（2）的条件下，∠MPN的两边分别与菱形ABCD的边AD和CD所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF旋转至 $D F = \sqrt{3}$ 时，请直接写出DE的长度．

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19、【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如x²+2x﹣35＝0，可变形为x（x+2）＝35．如图1，构造一个长为x+2、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为（x+x+2）的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为（x+x+2）² ，也可表示为4×35+2² ，由此可得新方程：（x+x+2）²＝144，易得这个方程的正数解为x＝5．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根!

(1)、尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x²+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为 $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ ，即x（）＝1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为；

(2)、【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程x²+bx＝c（b＞0，c＞0）的正数解（用含b，c的代数式表示）．

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20、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = B E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是矩形；

(2)、若 $A D = 10$ ， $E C = 4$ ，求 $A C$ 和 $E O$ 的长度．

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