相关试卷

1、下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6

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2、下列二次根式为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{12}$

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3、【阅读材料】
我们知道，多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 可以因式分解为 $(a + b)^{2}$ .当一个二次三项式(如 $a^{2} + 6 a + 8$ )不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
$a^{2} + 6 a + 8 = (a^{2} + 6 a + 9) - 9 + 8$
$= (a + 3)^{2} - 1$
$= [(a + 3) + 1] [(a + 3) - 1]$
$= (a + 4) (a + 2)$ .
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：

(1)、填空：
$a^{2} - 2 a - 3 = (a^{2} - 2 a +$ ①) -② $- 3$
= $(a - 1)^{2} - 4 = [(a - 1) + 2] [(a - 1) - 2]$
$= (a + 1) (a - 3)$ .
$a^{2} - 6 a + 5 = a^{2} - 6 a +$ ③ -④+ 5 $= (a - 3)^{2} - 4 = (a - 1) (a - 5)$ .

(2)、将下列各式因式分解：
① $a^{2} - 4 a + 3 =$ ▲；
② $x^{2} - 2 n x + n^{2} - 4$ .

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4、下面是小明解不等式， ${\begin{array}{l} \frac{1 - 2 x}{3} + 1 \geq 0, \\ 3 (1 - x) > 2 x - 4 \end{array}$ 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：不等式①，去分母，得 $1 - 2 x + 3 \geq 0$ ，（第一步）
移项，合并同类项，得 $- 2 x \geq - 4$ ，（第二步）
系数化为1，得 $x \geq 2$ ，（第三步）
解不等式②，得 $x < \frac{7}{5}$ ，（第四步）|
所以原不等式组无解. （第五步）
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、第一步去分母的依据是.

(2)、在解答过程中，从第步开始出错，错误原因是.

(3)、解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{1 - 2 x}{3} + 1 \geq 0, \\ 3 (1 - x) > 2 x - 4 \end{array}$

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5、如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 .

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6、如图，八角窗花的窗格是中国古代建筑中一抹独到的风景，其外观是一个正八边形，则它的每一个外角为 $^{°}$ .

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7、某企业要购进两款机器狗共5只.如图所示，已知 Cyber Dog 2 单价是 1.3 万元/只，Unitree Go 2 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则 Cyber Dog 2 最多可以购进（）

A、1 只 B、2 只 C、3 只 D、4 只

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8、如图，一次函数 $y_{1} = x + b$ (b是常数)，与正比例函数 $y_{2} = k x$ (k是常数， $k \neq 0$ ) 的图象相交于点 M(2， 1)，则关于x的不等式 $k x > x + b$ 的解集是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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9、如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也.合矩以为方，中规乃行”.如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若 $A O = C O$ ，且 $B O = D O$ ，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（）

A、对角线互相平分 B、两组对边分别相等 C、一组对边平行且相等 D、两组对边分别平行

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10、下列分式是最简分式的是（）

A、 $\frac{1}{x - y}$ B、 $\frac{4}{8 a}$ C、 $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$ D、 $\frac{x^{2} - x}{x}$

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11、已知 $x < y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x + 1 > y + 1$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $x - 2 > y - 2$ D、 $\frac{x}{2} < \frac{y}{2}$

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12、下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、综合与实践——万花筒里的数学
【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律.
【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称
【数学探究】
探究一：如图2，正方形 P 放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角 $∠ A O B$ 为 $9 0^{°}$ 时，正方形 P 关于镜子 OA 的轴对称图形是像 $P_{1}$ .

(1)、请你画出正方形 P 在镜子 OB 中的像 $P_{2}$ （不限作图工具）；

(2)、像 $P_{1}$ ，像 $P_{2}$ 会在镜子中再次轴对称成像，像 $P_{1}$ 关于 $O B_{1}$ 的轴对称图形是像 $P_{3}$ ，像 $P_{2}$ 关于 $O A_{1}$ 的轴对称图形是像 $P_{4}$ ，请分析像 $P_{3}$ 与像 $P_{4}$   重合（填写“是”或“否”）.

(3)、探究二：如图3，当“镜子门”张角 $∠ A O B$ 大小是 $36 0^{°}$ 的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的.
改变张角 $∠ A O B$ 的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格：
$∠ A O B$ 的度数x/度
45
60
72
90
120
观察到的图形数量y/个
8
6
▲
4
3
①在这个变化过程中，    ▲    是自变量，    ▲    是因变量；
②补充上述表格；
③请写出观察到的图形数量y与 $∠ A O B$ 的度数x的关系式：    ▲    .

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14、某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个.

(1)、小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个事件(填写“必然”、“随机”、“不可能”)

(2)、小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？

(3)、因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同.后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为 $\frac{1}{2}$ ，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量.

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别在边AB和AC上，过点C作 $C F ∥ A B$ 交DE的延长线于点F， $∠ D E C + ∠ A C B = 18 0^{°}$ ，

(1)、试说明： $∠ B = ∠ F$ （将过程补充完整，并写出每一步的推理依据）
解： ∵ $∠ D E C + ∠ A C B = 18 0^{°}$ ，（已知）
∴ $D F ∥ B C$ ，（ ▲ ）
∴ $∠ B = ∠ A D E$ ，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（已知）
∴ $∠ A D E =$ ▲ ，（ ▲ ）
∴ $∠ B = ∠ F$ .（等量代换）

(2)、若 $∠ C E F = 7 0^{°}$ ， $∠ A = 4 5^{°}$ ，求 $∠ B C F$ 的度数.

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16、先化简，再求值： $[(x + y)^{2} - (x + 3 y) (x - 3 y)] + 2 y$ ，其中 $x = 2$ ， $y = 1$ .

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17、计算：

(1)、 $4 \times (- 2)^{- 2} - (- 1)^{2025} + (π - 3)^{0}$ ；

(2)、 $3 m^{2} \cdot m^{4} + (2 m^{3})^{2}$ .

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18、转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ =.

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19、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若 $∠ 1 = 3 2^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是.

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20、计算： $2 m (m + 1) =$ .

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$∠ A O B$ 的度数x/度	45	60	72	90	120
观察到的图形数量y/个	8	6	▲	4	3