相关试卷

1、阅读下列解题过程：
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{2}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{2}{3}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{3}{4}$ ；
…

(1)、 $\sqrt{1 - \frac{9}{25}} =$ ， $\sqrt{1 - \frac{15}{64}} =$ ．

(2)、利用这一规律计算： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} \times \sqrt{1 - \frac{5}{9}} \times \sqrt{1 - \frac{7}{16}} \times \cdot \cdot \cdot \times \sqrt{1 - \frac{99}{2500}}$ ．

(3)、观察上面的解题过程，计算： $\sqrt{1 - \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}}}$ （ $n$ 为正整数）．

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2、阅读并解答：已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的值．
小熙根据二次根式的性质： ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ ，联想到了如下解法：
由 $x = \sqrt{5} + 2$ 得 $x - 2 = \sqrt{5}$ ，则 ${(x - 2)}^{2} = 5$ ，即 $x^{2} - 4 x + 4 = 5$ ， ∴ $x^{2} - 4 x = 1$ ．把 $x^{2} - 4 x$ 作为整体，得： $x^{2} - 4 x - 7 = 1 - 7 = - 6$ ．
请运用上述方法解决下列问题：

(1)、已知 $x = \sqrt{2} - 1$ ，求代数式 $x^{2} + 2 x + 7$ 的值．

(2)、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ ，对x进行分母有理化．

(3)、结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式 $- 2 x^{2} + 12 x - 8$ 的值．

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3、古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 $A B = 7 m$ ， $A C = 5 m$ ， $B C = 8 m$ ，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到 $0.1 m^{2}$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）？

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4、已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $b = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ．

(1)、求 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值；

(2)、求 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值．

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5、已知 $y = \sqrt{2 x - 5} + \sqrt{10 - 4 x} + 1$ ， $x$ ， $y$ 均为实数，求 $x \sqrt{2 x} \div \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值．

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{48} + \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(3)、 $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{75} - \sqrt{54} + \sqrt{96} - \sqrt{108}$ ；

(2)、 $\frac{1}{4} \sqrt{8} \div (2 \sqrt{\frac{1}{2}}) \times (- 2 \sqrt{2})$ ．

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, B C = 2, A C = 4$ ， D是 $A B$ 上的动点，过点D作 $D E ⊥ C D$ ，交AC于点E，将∆ADE沿直线 $D E$ 翻折，点A落在F处， $D F$ 交 $A C$ 于点G，则 $C G$ 长度的最小值为．

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9、在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，则 $B D$ 的长为．

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10、化简： $\sqrt{1 - 4 x + 4 x^{2}} - (\sqrt{2 x - 3})^{2} =$ ．

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11、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{a^{2}} + | b - a | =$ ．

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12、现定义一种新运算 $◎$ ：对于任意正有理数 $x 、 y$ ，都有 $x ◎ y = \sqrt{3 x} - 2 \sqrt{y}$ ．
例如： $9 ◎ 3 = \sqrt{3 \times 9} - 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$ ，则 $6 ◎ 8 =$ ．

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13、若 $a 、 b$ 为实数，且 $a = \sqrt{b - 5} + \sqrt{5 - b} + 3$ ，则 $a - b$ 的值为．

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14、计算 $\sqrt{5} \times \sqrt{7}$ 的结果是．

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15、若 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则 $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ 的值为（）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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16、如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 垂直平分 $O B$ ， $E$ 是垂足，若 $A B = \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长是（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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17、已知 $m$ 为实数，则代数式 $\sqrt{m + 3} - \sqrt{- m^{2}} - \sqrt{12 - 4 m}$ 的值为（）

A、0 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、无法确定

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18、 $\sqrt{2} x = \sqrt{14}$ 的解在（）

A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间

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19、下列二次根式中与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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20、下列各式是最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{12}$

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