相关试卷

1、若关于x的方程 $(x + h)^{2} + k = 0$ （ $h, k$ 均为常数）的解是 $x_{1} = - 3, x_{2} = 2$ ，则关于x的方程 $(x + h - 3)^{2} + k = 0$ 的解是.

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2、已知 $1 < x < 2$ ，则式子 $\sqrt{(x - 1)^{2}} + | x - 2 |$ 化简的结果为.

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3、计算： $(1 - \sqrt{2})^{2024} \times (\sqrt{2} + 1)^{2025} =$ .

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4、我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式_____；
（2）已知 $S = x^{2} + 9 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数， $k$ 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个 $k$ 值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知 $a^{2} + 6 a b + 10 b^{2} + 2 b + 1 = 0$ ，求 $a - b$ 的值；
（4）已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $- x^{2} + \frac{7}{3} x + y - 2 = 0$ ，求 $5 x - 3 y$ 的最值．
【实际应用】（5）已知 $△ A B C$ 的三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + b - 2 \sqrt{a - 1} - 4 \sqrt{b - 2} = 3 \sqrt{c - 3} - \frac{1}{2} c - 5$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有： $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ， $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$ ．用配方思想方法，解答下面问题：

(1)、已知： $x + \frac{1}{x} = 5$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值；

(2)、已知： $x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求 $3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}$ 的值；

(3)、已知： $\sqrt{a} - \sqrt{2 b} = 3$ ， $\sqrt{a b} = 2$ ， $(a \geq 0, b \geq 0)$ ，求 $a + 2 b$ 的值．

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6、如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台 $E F G H$ ，其面积为 $\sqrt{6400}$ 平方米，长为 $\sqrt{128}$ 米．

(1)、求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）

(2)、为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 $\sqrt{2}$ 米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台 $A B C D$ 的总面积．

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7、如图，线段 $O A$ 、 $O B$ （ $O A ＜ O B$ ）的长是方程 $x^{2} −6 x +8=0$ 的两根，点 $P$ 是y轴正半轴上一点，连接 $P A$ ，以点P为中心，将线段 $P A$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $P Q$ ，连接 $B Q$ ，当线段 $B Q$ 取最小值时点P的坐标是，此时线段 $B Q$ 的最小值为．

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8、关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - 4 x - \frac{2}{3} = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \leq - 6$ B、 $k \geq - 6$ 或 $k \neq 0$ C、 $k > - 6$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \geq - 6$

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9、实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ${(\sqrt{a})}^{2} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} - |b - a|$ 的结果是（）

A、 $a - 2 b - c$ B、 $c - a$ C、 $- a + 2 b + c$ D、 $a - c$

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10、计算 ${(\sqrt{10} + 3)}^{2025} {(\sqrt{10} - 3)}^{2024}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{10} - 3$ B、 $\sqrt{10} + 3$ C、 $- 3$ D、3

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11、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出与 $△ A B C$ 关于直线l成轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、直线l把线段 $C C^{'}$ ______；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积；

(4)、在直线l上找一点P，使得 $P B + P C$ 的长最小．

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12、解答：

(1)、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，求 $A B$ 的长．

(2)、在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{7}$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $A B = 3$ ，判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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13、解一元一次不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 > x \\ \frac{1}{3} x < 2 \end{array}$ ．并把解集表示在数轴上．

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14、已知函数 $y = 2 x + 2 m - 2$ 是正比例函数，则 $m =$ ．

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15、当 $x = - 6$ 时，二次根式 $\sqrt{4 - 2 x}$ 的值为．

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16、不等式组 $\{\begin{cases} x > - 1 \\ x < m \end{cases}$ 有3个整数解，则m的取值范围是（）

A、2＜m＜3 B、2≤m＜3 C、2＜m≤3 D、2≤m≤3

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17、已知点 $(- 2, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ 在函数 $y = 2 x + 1$ 图象上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、无法确定

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18、如图， $▱ A B C D$ 的顶点 $A$ ， $C$ ， $D$ 在同一个圆上，点 $E$ 在 $\overset{⌢}{A C}$ 上，且 $A D = A E$ ，连结 $C E$ 并延长交 $A B$ 于点 $F$ ，连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 于点 $G$ ，交圆于点 $H$ ，连结 $A E$ ， $D E$ ．

(1)、若 $B C = 10$ ， $D E = 12$ ，求 $S_{△ A D E}$ ．

(2)、若 $D E$ 为圆的直径，
①求 $∠ A B E$ 的度数；
②求证： $H G = B E$ ．

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19、已知二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的图像经过点 $(2, - 4)$ ，与 $x$ 轴交于点 $(4, 0)$ ．

(1)、求二次函数的表达式．

(2)、若在 $m \leq x \leq 5$ 范围内二次函数有最大值为 $\frac{7}{2}$ ，最小值为 $- \frac{9}{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

(3)、若把二次函数的图象沿 $x$ 轴平移 $n$ 个单位，在自变量 $x$ 的值满足 $2 \leq x \leq 3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 的最小值为 $- 3$ ，求 $n$ 的值．

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20、周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段 $O D$ 和折线 $A - E - B - C$ 分别表示小佳和小乐离甲小区的路程 $s$ （千米）与时间 $t$ （分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求小佳骑电动车的速度．

(2)、求线段 $B C$ 所在直线的函数表达式．

(3)、小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．

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