沪科版数学九年级上册二次函数重难点题型梳理-在线组卷题库

1. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $8 a + c < 0$ ；④ $5 a + b + 2 c > 0$ ，正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③m为任意实数，则 $a + b \leq m (a m + b)$ ；④ $a - b + c > 0$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ ．其中正确的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 已知二次函数 $y = k x^{2} + 2 x + c (k, c$ 为常数， $k \neq 0)$ ，当 $y > 0$ 时， $- 1 < x < 2$ ，则二次函数 $y = k x^{2} - 2 x + c$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像过点 $(- 3, 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ．下列四个结论：① $a + b + c = 0$ ；②若点 $(m, y_{1})$ ， $(- m - 2, y_{2})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} = y_{2}$ ；③若m为任意实数，则 $a m^{2} + b m + c \leq - 4 a$ ；④对于任何实数k，关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = k (x + 1)$ 必有两个不相等的实数根，其中正确的（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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5. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与x轴交于两点 $(- 1, 0)$ ， $(x_{1}, 0)$ ，且 $2 < x_{1} < 3$ .下列结论：
① $a b c > 0$ ；② $2 a + c < 0$ ；③ $4 a - b + 2 c < 0$ ；④若m和n是关于x的一元二次方程 $a (x + 1) (x - x_{1}) + c = 0$ $($ $a \neq 0$ ）的两根，且 $m < n$ ，则 $m < - 1$ ， $n > 2$ ；⑤关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > \frac{c}{x_{1}} x + c$ $($ $a \neq 0$ ）的解集为 $0 < x < x_{1}$ .其中正确结论的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a 、 b 、 c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）的对称轴是直线 $x = 1$ ，且抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标是 $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交点坐标是 $(0, m)$ 且 $2 < m < 3$ ．有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $9 a - 3 b + c > 0$ ；③ $\frac{9}{4} < y_{最大值} < \frac{27}{8}$ ；④关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c - 2 = 0$ 必有两个不相等实根；⑤若点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，
且 $n < x_{1} < n + 1 < x_{2} < n + 2 < x_{3} < n + 3$ ，当 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ 时，则 $n$ 的取值范围为 $- \frac{3}{2} < n < 0$ ．
其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ （b ， c为常数），

(1)、若抛物线与x轴正半轴的交点坐标是（1，0），对称轴为直线 $x = - 2$ ，求抛物线的解析式；

(2)、若 $c = 3 b$ ，设函数图象的顶点坐标为 $(m, n)$ ，当b的值变化时，求m与n的关系式；

(3)、已知二次函数图象经过 $(h - 1, - 4), (h + 1, - 4)$ 两点，若 $- 7 ⩽ y ⩽ - 3$ 时，总有 $p ⩽ x ⩽ q$ ，求q－p的取值范围．

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8. $a, b, c$ 都是实数，且 $c - b = a^{2} - 2 a + 1, b + c = 3 a^{2}$ $- 4 a + 6$ ，则 $a, b, c$ 之间的大小关系是 ( )

A、 $a < b \leq c$ B、 $b < a \leq c$ C、 $b \leq c < a$ D、 $c < a \leq b$

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9. 在二次函数 $y = x^{2} - 2 t x + 3 (t > 0)$ 中，

(1)、若它的图象过点 $(2, 1)$ ，则t的值为多少？

(2)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，y的最小值为 $- 2$ ，求出t的值：

(3)、如果 $A (m - 2, a), B (4, b), C (m, a)$ 都在这个二次函数的图象上，且 $a < b < 3$ ，求m的取值范围．

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10. 如图，在平面直角坐标系中 $y = - \frac{3}{4} (x - 4) (x + 1)$ ，与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（A在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是 $B C$ 上方抛物线上一点，连结 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，连结 $A C, C P$ ，记 $△ A C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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11. 对于一个函数，当自变量 $x$ 取 $a$ 时，函数值 $y$ 也等于 $a$ ，则称 $a$ 是这个函数的不动点．已知二次函数 $y = - 2 x^{2} + 6 x + m$ ．
（1）若2是此函数的不动点，则 $m$ 的值为．
（2）若此函数有两个相异不动点 $a$ 与 $b (a \neq b)$ ，且 $a < - 2 < b$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如： $A (1, 2)$ ， $B (- 2, - 4)$ ， $C (0, 0)$ 等都是“二倍点”.在 $- 3 < x < 1$ 的范围内，若二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ 的图像上至少存在一个“二倍点”，则 $c$ 的取值范围是．

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13. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ （a，b是常数， $a \neq 0$ ）．

(1)、若 $a = 2$ 时，图象经过点 $(1 ， 1)$ ，求二次函数的表达式．

(2)、写出一组a，b的值，使函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．

(3)、已知，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象和直线 $y = a x + 4 b$ 都经过点 $(2 ， m)$ ，求证： $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ ．

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14. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ 的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、如果抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ 经过（1，3）.
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；

(3)、如果抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ 在“G区域”内有4个整点，求a的取值范围，

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15. 2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4 $m$ （水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5 $m$ 时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5 $m$ ，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05 $m$ ，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？

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16. 排球场的长度为 $18 m$ ，球网在场地中央且高度为 $2.24 m$ ．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）近似满足函数关系 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ．

(1)、某运动员第一次发球时，测得水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：
水平距离 $x / m$
$0$
$2$
$4$
$6$
$11$
$15$
竖直高度 $y / m$
$2.48$
$2.72$
$2.8$
$2.72$
$1.82$
$0.38$
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ；
②判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．

(2)、该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）近似满足函数关系 $y = - 0.02 {(x - 4)}^{2} + 2.88$ ，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．

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17. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．

(1)、求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？

(2)、A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

(3)、在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）

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18. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第 $x$ 天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为 $y = {\begin{array}{l} m x - 76 m (1 \leq x < 20 ， x 为正整数) ， \\ n (20 \leq x \leq 30 ， x 为正整数) ， \end{array}$ 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是 $W$ 元．

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

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19. 某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价 $y$ （元 $/$ 千克）与采购量 $x$ （千克）之间的函数关系如图中折线 $A B - B C - C D$ 所示（不包括端点 $A$ ）．

(1)、当 $100 < x < 200$ 时，直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；

(2)、若甲种蔬菜的种植成本为 $4$ 元/千克，采购量不超过 $200$ 千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？

(3)、在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利 $418$ 元？

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20. 近段时间，位于汇川区泗渡镇泗渡农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．请阅读以下材料，帮助农户解决问题．
材料1：某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中 $A D = 52$ 米， $A B = 30$ 米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．
材料2：当售价为60元 $/ kg$ 时，每天可销售40 $kg$ ，该农户调查发现，决定降价销售，若销售单价每降低1元，每天可多销售2千克．已知每千克草莓的成本为20元．

(1)、若三个大棚的面积是1400 $m^{2}$ ，求道路的宽度；

(2)、当售价定为多少元时，利润最大？并求出最大利润．

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21. 如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

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22. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 3 x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，并且与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、直接写出直线 $B C$ 的解析式为；

(3)、若点 $M$ 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为 $t$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $B C$ 于点 $N$ ，设 $M N$ 的长为 $h$ ，求 $h$ 与 $t$ 之间的函数关系式及 $h$ 的最大值；

(4)、在 $x$ 轴的负半轴上是否存在点 $P$ ，使以 $B$ ， $C$ ， $P$ 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点 $P$ 的坐标；如果不存在，说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 是常数）经过点 $A (1, 0)$ ，点 $B (0, 3)$ ．点 $P$ 在此抛物线上，其横坐标为 $m$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、当点 $P$ 在 $x$ 轴上方时，结合图象，直接写出 $m$ 的取值范围；

(3)、若此抛物线在点 $P$ 左侧部分（包括点 $P$ ）的最低点的纵坐标为 $2 - m$ ．
①求 $m$ 的值；
②以 $P A$ 为边作等腰直角三角形 $P A Q$ ，当点 $Q$ 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点 $Q$ 的坐标．

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24. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，作直线 $B C$ ．动点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $M$ ，交直线 $B C$ 于点 $N$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求抛物线的解析式和直线 $B C$ 的解析式；

(2)、当点 $P$ 在线段 $O B$ 上运动时，求线段 $M N$ 的最大值；

(3)、当点 $P$ 在线段 $O B$ 上运动时，若 $△ C M N$ 是以 $M N$ 为腰的等腰直角三角形时，求 $m$ 的值；

(4)、当以 $C$ 、 $O$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 $m$ 的值．

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25. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，点 $E$ 在抛物线上．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $E$ 在第一象限内，过点 $E$ 作 $E F ∥ y$ 轴，交 $B C$ 于点 $F$ ，作 $E H ∥ x$ 轴，交抛物线于点 $H$ ，点 $H$ 在点 $E$ 的左侧，以线段 $E F, E H$ 为邻边作矩形 $E F G H$ ，当矩形 $E F G H$ 的周长为11时，求线段 $E H$ 的长；

(3)、点 $M$ 在直线 $A C$ 上，点 $N$ 在平面内，当四边形 $O E N M$ 是正方形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 交x轴于点 $A (- 2, 0)$ 和点 $B (4, 0)$ ，交y轴于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点P是直线 $B C$ 下方抛物线上一动点，连接 $P C, P B$ ，当 $△ P B C$ 的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；

(3)、在（2）的条件下，若点N是直线 $B C$ 上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以 $P B$ 为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标：若不存在，请说明理由．

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27. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 在点 $B$ 左侧．点 $B$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, - 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点 $M$ 是抛物线对称轴上的一个动点时，求当 $M B + M C$ 最小时，点 $M$ 的坐标；

(3)、若点 $D$ 是线段 $A C$ 下方抛物线上的动点，求 $△ A D C$ 面积的最大值．

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28. 直线y $= - \frac{2}{3}$ x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y $= - \frac{4}{3}$ x²+bx+c经过点A，B．M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

(1)、求点B的坐标；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、点M在线段OA上运动，
①求线段PN的最大长度．
②连接AN，求△ABN面积的最大值．

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29. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长 $x$ （米），总占地面积为 $y (米^{2})$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式和自变量 $x$ 的取值范围．

(2)、现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少 $米^{2}$ ?

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30. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长 $12 m$ ）和 $21 m$ 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

(1)、方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 $A E = 1 m$ 的水池且需保证总种植面积为 $32 m^{2}$ ，试分别确定 $C G$ 、 $D G$ 的长；

(2)、方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 $B C$ 应设计为多长？此时最大面积为多少？

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31. 有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 $6 m$ ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 $0.35 m$ 时，透光面积最大值约为 $1.05 m^{2}$ ．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为 $6 m$ ，利用图3，解答下列问题：

(1)、若 $A B$ 为 $1 m$ ，求此时窗户的透光面积？

(2)、与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设 $A B$ 的长度为 $x m$ ，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．

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32. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （ $b, c$ 为常数）的图象经过点 $A (3,2)$ ，对称轴是直线 $x = \frac{3}{2}$ 。

(1)、求此二次函数的表达式。

(2)、求二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值。

(3)、当 $0 ⩽ x ⩽ t$ 时，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{9}{8}$ ，求 $t$ 的取值范围。

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33. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （b ， c为常数）的图象经过点 $A (- 3, 9)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若点 $B (1, 2)$ 向左平移m（ $m > 0$ ）个单位长度，向上平移（ $m + 4$ ）个单位长度后，恰好落在 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象上，求m的值并判断点 $C (m - 3, - m + 10)$ 是否落在 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像上；

(3)、当 $- 2 ⩽ x ⩽ n$ 时，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为2.25，求n的取值范围．

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34. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 m - 6$ （ $m$ 为常数）的图象与 $x$ 轴有交点，且当 $x \geq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是．

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沪科版数学九年级上册二次函数重难点题型梳理

一、二次函数与系数关系

二、二次函数与一元二次方程的关系

三、二次函数与解不等式

四、构造二次函数解决最值问题

五、二次函数的新定义问题

六、二次函数的应用（抛物线形问题）

七、二次函的数应用（利润问题）

八、二次函数的应用（存在性问题）

九、二次函数的应用（面积问题）

十、二次函数的应用（增减性问题）

水平距离 $x / m$	$0$	$2$	$4$	$6$	$11$	$15$
竖直高度 $y / m$	$2.48$	$2.72$	$2.8$	$2.72$	$1.82$	$0.38$