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1、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC 的中点，EF⊥AC 于点F，G为EF的中点，连接 DG，则 DG 的长为.
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2、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图①、图②、图③中，AF，BE 是△ABC 的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”.设 BC=a，AC=b，AB=c.
(1)、特例探索如图 ①，当∠ABE = 45°，c = 2 时，a = ， b =；如图②，当∠ABE=30°，c=4时，a= ， b=.
(2)、归纳证明请你观察(1)中的计算结果，猜想a2 ， b2 ， c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图③证明你发现的关系式.
(3)、拓展应用如图④，在▱ABCD 中，点 E，F，G 分别是AD，BC，CD 的中点，BE⊥EG，AD=2 ， AB=3.求 AF 的长.
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3、如图①，P 是线段 AB 上的一点，在 AB 的同侧作△APC 和△BPD，使∠APC=∠BPD，PC=PA，PD=PB，连接CD，点E，F，G，H 分别是AC，AB，BD，CD 的中点，顺次连接E，F，G，H.
(1)、猜想四边形 EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由.(2)、当点 P 在线段AB 的上方时，如图②，在△APB 的外部作△APC 和△BPD，其他条件不变，(1)中结论还成立吗?说明理由.(3)、如果(2)中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由. -
4、如图，ABCD 是边长为6 的正方形，点E 在边AB上，BE=4，过点 E 作EF∥BC，分别交 BD，CD 于G，F 两点.若M，N 分别是DG，CE 的中点，则MN 的长为( ).
A、3 B、 C、 D、4 -
5、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C，AD⊥BC 于点 D，M 为 BC 的中点，AB=10cm，则MD 的长为.
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6、某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与B，C重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形 ADEF，连接CF.
(1)、观察猜想如图①，当点 D 在线段 BC上时，
①BC 与CF 的位置关系为；
②BC，CD，CF 之间的数量关系为(将结论直接写在横线上).
(2)、数学思考如图②，当点 D 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论①、②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.
(3)、拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G，连接GE，若已知AB= ， ， 请求出GE 的长.
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7、【问题解决】
如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，DE=AF，DE⊥AF 于点G.
(1)、求证：四边形ABCD 是正方形.(2)、延长CB 到点 H，使得BH=AE，判断△AHF 的形状，并说明理由.(3)、【类比迁移】如图②，在菱形ABCD 中，点E，F 分别在边AB，BC上，DE 与AF 相交于点G，DE=AF，∠AED=60°，AE=6，BF=2，求 DE 的长.
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8、如图，在正方形ABCD中，E 是边AB上的一动点(不与点A，B 重合)，连接DE，点A 关于直线DE 的对称点为 F，连接EF 并延长交BC于点G，连接DG，过点 E 作EH⊥DE 交 DG的延长线于点 H，连接BH.
(1)、求证：GF=GC.(2)、用等式表示线段 BH 与AE 的数量关系，并证明. -
9、如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点 F 在BC 上，∠EAF=∠DAE，则下列结论中正确的是( ).
A、∠EAF=∠FA B、B. C、AF=AE+FC D、AF=BC+FC -
10、如图，在正方形ABCD 外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P.若AE=AP=1，PB= ， 下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=.其中正确的序号是( ).
A、①③④ B、①②⑤ C、③④⑤ D、①③⑤ -
11、如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC，BD 的交点，点 E 在CD 上，且DE=2CE，过点C 作CF⊥BE 于点 F，连接OF，则OF 的长为.
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12、8.在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点(点E 不与点C，D重合)，连接BE.
[感知]如图①，过点 A 作AF⊥BE 交BC 于点 F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
(1)、 [探究]如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE 交BC 于点F，交AD 于点G.①求证：BE=FG.
②连接CM，若CM=1，则 FG 的长为 .(2)、[应用]如图③，取BE 的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE 交AD 于点G，连接EG，MG.若CM=3，则四边形GMCE 的面积为. -
13、如图，在正方形ABCD中，AB=6，G 是BC 的中点.将△ABG 沿AG 对折至△AFG，延长GF 交 DC 于点E，则 DE 的长为( ).
A、1 B、1.5 C、2 D、2.5 -
14、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点 E 作EF⊥AB 于点F，EG⊥BC 于点G，连接DE，FG.下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为3.其中正确的结论有( ).
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 -
15、如图，在正方形 ABCD 中，E 为AB 的中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC 交BD 于点O，则∠DOC 的度数为( ).
A、60° B、67.5° C、75° D、54° -
16、如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，点M 是边AD 上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD 于点N.若四边形 MOND 的面积是1，则AB 的长为.
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17、(1)、如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 BC 的中点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角∠DCG 的角平分线CF 于点 F.求证：AE=EF.
(2)、变式思考：⑴从特殊到一般
如图，当E 为 BC 上的任意一点或 BC 延长线上一点(除B 点外)，其余条件不变，结论“AE=EF”还成立吗?
⑵推广原题
如图，将“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”，F 为∠ACG 的平分线上一点，则当∠AEF 等于多少时，结论“AE=EF”成立?
⑶考查逆命题
如图，已知正方形边 BC 在直线MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE为边在直线MN 的上方作正方形AEFG，连接FC，求证：∠FCN=45°.
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18、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是DA 的中点，连接BE 与CF 相交于点 P.求证：AP=AB.
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19、
(1)、如图①，已知正方形 ABCD 和正方形CGEF(CG>BC)，B，C，G在同一直线上，M 为线段AE 的中点.探究：线段MD，MF的关系.(2)、如图②，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45°，使得正方形CGEF 对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点.试问：(1)中探究的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. -
20、如图①，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形.图②、图③、图④中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8.
(1)、理解与作图在图②、图③中，点E，F 分别在BC，CD 上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.
(2)、计算与猜想求图②、图③中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值.
(3)、启发与证明如图④，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF 交BC 的延长线于点M，试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想.