相关试卷

1、综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为 $8 cm$ 的正方形 $A B C D$ 对折，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，得到折痕 $A C$ ．打开后，再将正方形 $A B C D$ 折叠，使得点 $D$ 落在 $B C$ 边上的点 $P$ 处，得到折痕 $G H$ ，折痕 $G H$ 与折痕 $A C$ 交于点 $Q$ ，打开铺平，连接 $P Q$ 、 $Q D$ 、 $P D$ ．
【探究提炼】
（1）如图1，点 $P$ 是 $B C$ 上任意一点；线段 $Q D$ 和线段 $P Q$ 存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接 $P H$ ，当 $P H$ 恰好垂直于 $A C$ 时，求线段 $C Q$ 的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为 $40 m$ 的菱形草坪 $A B C D$ ，其中 $∠ B C D = 60^{\circ}$ ．现打算在草坪中修建步道 $A C$ 和 $M N - N D - D M$ ，使得点 $M$ 在 $B C$ 上，点 $N$ 在 $A C$ 上，且 $M N = N D$ ．
①求 $∠ N M D$ 的度数；
②请问步道 $M N - N D - D M$ 所围成的 $△ M N D$ （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由．

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45 °$ ，点 $E$ 为 $B C$ 中点，动点 $P$ 从点 $E$ 出发，沿折线 $E B - B A$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度运动．作 $∠ P E Q = 90 °$ ， $E Q$ 交边 $A D$ 或边 $D C$ 于点 $Q$ ，连接 $P Q$ ．当点 $P$ 与点 $A$ 重合时，点 $P$ 停止运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒． $(t > 0)$

(1)、当 $P$ 在 $A B$ 上运动时，用含 $t$ 的式子表示出线段 $B P$ 的长；

(2)、当 $Q$ 点落在平行四边形 $A B C D$ 的某边中点上时，求 $\frac{P E}{P Q}$ 的值（用含t的代数式表示）；

(3)、作点 $E$ 关于直线 $P Q$ 的对称点 $F$ ，连接 $P F$ 、 $Q F$ ，当四边形 $E P F Q$ 和平行四边形 $A B C D$ 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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3、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 a x - a + 2 b = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ 为实数．

(1)、当 $a = 3$ ， $b = - 2$ 时，求方程两根的平方和．

(2)、当 $a < 0$ 时，若方程有一个根为 $2 a$ ，判断 $a$ 与 $b$ 的大小关系并说明理由．

(3)、若对于任何实数 $a$ ，此方程都有实数根，求 $b$ 的取值范围．

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4、如图，将平行四边形 $A B C D$ 绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形 $F E C G$ ，使点B落在 $A D$ 边上的点E处，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $B E$ 平分 $∠ A E C$ ．

(2)、如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

(3)、如图3，连接 $B G$ 交 $C E$ 于点H，求证：点H为 $B G$ 的中点．

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5、【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样分析与解答的：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ，
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}} =$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 a^{2} - 12 a - 1$ 的值．

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6、为激发学生对青春的热爱，展现学生的青春风采，提升学生的语言表达能力和文学素养，我校八年级举行“我是青春歌颂者”朗诵比赛，下面是十次评委为甲、乙两个班级的打分情况：甲班成绩如图所示，乙班 $10$ 次成绩依次是：7分、8分、8分、8分、6分、5分、5分、8分、5分、 $10$ 分．

(1)、请将下表填完整：

平均数
方差
中位数
甲班
7
$\begin{array}{l} 1.2 \end{array}$

乙班

$\begin{array}{l} 2.6 \end{array}$
$\begin{array}{l} 7.5 \end{array}$

(2)、现在要派其中的一个班级参加市里的朗诵比赛：
$①$ 若从平均数和方差分析，你认为派哪个班参加比较好？
$②$ 若从平均数和中位数分析，你认为派哪个班参加比较好？

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7、如图，在 $5 \times 5$ 的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．

(1)、在图1中画一个以 $A B$ 为边，面积为6的平行四边形 $A B C D$ ．

(2)、在图2中画一个以 $A B$ 为对角线，面积为4的平行四边形 $A E B F$ ．

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8、解方程：

(1)、 $2 {(x - 2)}^{2} = 18$ ；

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = (2 x + 1) (x - 3)$ ．

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9、计算：

(1)、 $3 \sqrt{24} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}$

(2)、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} + 2 (1 - \sqrt{6})$

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10、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $A F ⊥ D E$ ， G是 $B C$ 的中点，连接 $F G$ ，则 $F G =$ ．

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11、已知 $x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 m$ 是关于 $x$ 的完全平方式，则常数 $m =$ ．

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12、如图， $A B C D$ 是由 $A E F G$ ， $B E K H$ ， $C H K L$ ， $D G F L$ 无缝拼接而成， $S_{▱ A E F G} = 10 ， S_{▱ B E K H} = 36$ ， $S_{▱ C H K L} = 24 ， S_{▱ D G F L} = 30$ ，则四边形 $B F D K$ 的面积为．

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13、已知 $x = \sqrt{5}$ ，则计算 $\sqrt{{(3 - x)}^{2}} + \sqrt{{(2 - x)}^{2}} =$ ．

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14、若数据2， $x$ ， 4，8的平均数是4，则这组数据的众数是．

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15、一元二次方程 $x (x - 3) = 4$ 化成一般式为.

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16、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （其中 $a \cdot c \neq 0$ ，且 $a + b + c = 0$ ）有以下说法：
$①$ 方程必定有解； $②$ 若方程的两个解相等，则 $a = c$ ； $③$ 若 $x = c$ 是方程的解，则 $a = 1$ 或 $c = 1$ ．
其中正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $①$ $③$ C、 $② ③$ D、 $① ② ③$

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17、题目：“已知5个数据 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} [{(a - 6)}^{2} + {(b - 6)}^{2} + {(c - 6)}^{2} + {(d - 6)}^{2} + {(e - 6)}^{2}]$ ，小程的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}) - 36$ ．则小方，小程所列的式子（）

A、小方正确，小程错误 B、小方错误，小程正确 C、都正确 D、都错误

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18、2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首.2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房 $3.78$ 亿元收官，4月4日的单日票房达到 $1.2$ 亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（）

A、 $1.2 (1 + 2 x) = 3.78$ B、 $1.2 + 1.2 (1 + x) + 1.2 {(1 + x)}^{2} = 3.78$ C、 $1.2 {(1 + x)}^{2} = 3.78$ D、 $1.2 (1 + x^{2}) = 3.78$

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19、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 72 °$ ，点E为 $A B$ 边上一点，将 $△ A E D$ 沿直线 $D E$ 翻折，点A落在点F处，则 $∠ B E F + ∠ C D F$ 等于（）

A、 $108 °$ B、 $122 °$ C、 $144 °$ D、无法判断，与点E的位置有关

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20、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$ C、 ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} = 5$ D、 $\sqrt{3.6} = 0.6$

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	平均数	方差	中位数
甲班	7	$\begin{array}{l} 1.2 \end{array}$
乙班		$\begin{array}{l} 2.6 \end{array}$	$\begin{array}{l} 7.5 \end{array}$