相关试卷

1、【发现问题】
在数学活动课上，同学们研究两个等边三角形的位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系．
【问题探究】
如图（a），在等边三角形 $A B C$ 和等边三角形 $D E F$ 中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以 $A D = B E$ ， $A D ∥ B C$ ．
【类比分析】
（1）如图（b），点 $E$ 在 $A B$ 上，点 $C$ 与点 $F$ 重合，求证： $A D = B E$ ， $A D ∥ B C$ ；
【学以致用】
（2）点 $E$ 在 $A B$ 上，连接 $E F$ ，以 $E F$ 为边向上作等边三角形 $D E F$ ， $B E = 2 A E$ ．
①如图（c），点 $F$ 在 $A C$ 上，当点 $D$ ， $E$ 在 $A C$ 的异侧， $A E = A D$ ，求 $\frac{A F}{C F}$ 的值；
②点 $F$ 在 $A C$ 上，当点 $D$ ， $E$ 在 $A C$ 的同侧， $A E = k A D$ ，请利用备用图，画出图形，求 $\frac{A F}{C F}$ 的值；
【拓展应用】
（3）如图（d），点 $E$ 在 $A B$ 上，点 $F$ 在 $B C$ 上，连接 $E F$ ，以 $E F$ 为边向右作等边三角形 $D E F$ ．若 $B E = 2 A E$ ， $A B = 12$ ，请直接写出 $A D$ 的最小值．

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2、如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是．

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3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于 $A (- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, 3)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，过点B的直线 $l : y = x - 1$ 与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接 $M B 、 M D$ ，设点M的纵坐标为n，当 $M B = M D$ 时，求n的值；

(3)、如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转 $90 °$ 后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点D，点O是边 $A B$ 上一点，以点O为圆心、 $O B$ 长为半径作圆， $⊙ O$ 恰好经过点D，交 $A B$ 于点E．

(1)、求证：直线 $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点E为 $A O$ 的中点， $A D = 3$ ，求阴影部分的面积；

(3)、连接 $D E$ ，若 $s i n ∠ D B A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $c o s A$ 的值．

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5、 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．

(1)、求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？

(2)、根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？

(3)、在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价 $a (60 \leq a \leq 100)$ 元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是边 $B C$ 、 $A B$ 、 $A C$ 上的动点，则 $△ D E F$ 周长的最小值是．

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7、如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在x轴上，点B的坐标为 $(1, 0)$ ．点E在边 $C D$ 上．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为 $(0, 3)$ ．则点E的坐标为．

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8、对于x、y定义了一种新运算G，规定 $G (x, y) = x + 3 y$ ．若关于a的不等式组 ${\begin{array}{l} G (a, 1 - 2 a) \geq - 2 \\ G (- 2 a, 1 + 4 a) > P \end{array}$ 恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是．

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9、已知实数a，b满足 $a + b = 2$ ，则 $a^{2} - b^{2} + 4 b =$ ．

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10、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象与一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图象相交于 $A (a, 6)$ 、 $B (- 6, 1)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、当 $x < 0$ 时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式 $k_{2} x + b - \frac{k_{1}}{x} \geq 0$ 的解集；

(3)、过直线 $A B$ 上的点C作 $C D ∥ x$ 轴，交反比例函数的图象于点 $D$ ．若点 $C$ 横坐标为 $- 4$ ，求 $△ B O D$ 的面积．

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11、在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔 $A D$ 的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角 $(∠ A B D)$ 为 $45 °$ ，在C处测得桥塔顶部A的仰角 $(∠ A C D)$ 为 $30 °$ ，又测得 $B C = 80 m$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，求桥塔 $A D$ 的高度（结果保留根号）．

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12、内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级
成绩 $(x)$
人数
$A$
$95 < x \leq 100$
$m$
$B$
$85 < x \leq 95$
24
$C$
$75 < x \leq 85$
14
$D$
$x \leq 75$
10
根据统计图表中的信息解答下列问题：

(1)、表中 $m =$ ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为度．

(2)、若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？

(3)、现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．

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13、如图，点B、F、C、E在同一条直线上， $A C = D F, ∠ A = ∠ D, A B ∥ D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、若 $B F = 4, F C = 3$ ，求 $B E$ 的长．

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14、

(1)、计算： ${(π - 1)}^{0} + | - 3 | + \sqrt{16} - t a n 45 °$ ；

(2)、化简： $\frac{3 x + 4}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$ ．

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15、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8, A D = 6$ ，点E、F分别是边 $A D 、 C D$ 上的动点，连接 $B E 、 E F$ ，点G为 $B E$ 的中点，点H为 $E F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的最大值是．

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16、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦．半径 $O C ⊥ A B$ 于点D，且 $A B = 8, O C = 5$ ．则 $D C$ 的长是．

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17、在英文单词“ $b a n a n a$ ”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是．

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18、对于正整数x，规定函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x + 1 (x 为奇数) \\ \frac{1}{2} x (x 为偶数) \end{array}$ ．在平面直角坐标系中，将点 $(m, n)$ 中的 $m$ ， $n$ 分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中 $m$ ， $n$ 均为正整数）．例如，点 $(8, 5)$ 经过第 $1$ 次运算得到点 $(4, 16)$ ．经过第 $2$ 次运算得到点 $(2, 8)$ ，经过第 $3$ 次运算得到点 $(1, 4)$ ，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点 $(2, 1)$ 经过第 $2025$ 次运算后得到点是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(4, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, 4)$

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19、若关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a < 2$ C、 $a \leq 2$ 且 $a \neq 1$ D、 $a < 2$ 且 $a \neq 1$

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20、按如下步骤作四边形 $A B C D$ ：（1）画 $∠ E A F$ ；（2）以点 $A$ 为圆心， $1$ 个单位长为半径画弧，分别交 $A E$ 、 $A F$ 于点 $B$ 、 $D$ ：（3）分别以点 $B$ 和点 $D$ 为圆心， $1$ 个单位长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ；（ $4$ ）连接 $B C$ 、 $D C$ 、 $B D$ ．若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数是（）

A、 $64 °$ B、 $66 °$ C、 $68 °$ D、 $70 °$

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等级	成绩 $(x)$	人数
$A$	$95 < x \leq 100$	$m$
$B$	$85 < x \leq 95$	24
$C$	$75 < x \leq 85$	14
$D$	$x \leq 75$	10